专题4.4 等比数列的概念（8类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4 等比数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：等比数列的定义】 2 【考点2：等比中项】 4 【考点3：等比数列的通项公式】 4 【考点4：等比数列的性质】 6 【考点5：等比数列的判定与证明】 6 【考点6：等比数列的单调性】 9 【考点7：等比数列的最大（小）项】 10 【考点8：等比数列的简单应用】 10 【知识梳理】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. [易错提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　 5．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 7．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 8．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【考点1：等比数列的定义】 【知识点：等比数列的定义】 1．（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 2．（24-25高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25高三上·吉林·期末）已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（   ） A．73 B．75 C．76 D．78 5．（24-25高二上·上海·课前预习）①1，，，，… ②，1，，1，… ③1，，，，… ④3，12，48，192，… 观察上述4个数列，它们有什么共同特点？ 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【考点2：等比中项】 【知识点：等比中项】 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）5和45的等比中项是 ． 2．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知和的等比中项为B，则B = . 3．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：等比数列的通项公式】 【知识点：等比数列的通项公式】 1．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等比数列，若，，则 . 2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在等比数列中，若，且公比，则该数列的通项公式 ． 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知，且则通项公式 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 5．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 6．（24-25高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【考点4：等比数列的性质】 【知识点：等比数列的性质】 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在等比数列中，若，则 . 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）等比数列的各项为正数，若，则 . 3．（河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知等比数列的前项的乘积为，若，则 ． 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的公比为q，且，数列中有连续四项是集合中的元素，则 . 5．（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（    ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 【考点5：等比数列的判定与证明】 【知识点：等比数列的判定方法】 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（多选）（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列； 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 5．（2025高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 【考点6：等比数列的单调性】 【知识点：等比数列的单调性】 1．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高三·全国·专题练习）若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·湖南·期末）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（   ） A． B． C．的最大值为 D． 【考点7：等比数列的最大（小）项】 【知识点：等比数列的最大（小）项】 1．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 2．（2024·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 3．（2024·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（多选）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 【考点8：等比数列的简单应用】 【知识点：等比数列的简单应用】 1．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 3．（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 等比数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：等比数列的定义】 2 【考点2：等比中项】 6 【考点3：等比数列的通项公式】 7 【考点4：等比数列的性质】 10 【考点5：等比数列的判定与证明】 12 【考点6：等比数列的单调性】 16 【考点7：等比数列的最大（小）项】 19 【考点8：等比数列的简单应用】 22 【知识梳理】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. [易错提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　 5．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 7．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 8．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【考点1：等比数列的定义】 【知识点：等比数列的定义】 1．（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 3．（24-25高三上·吉林·期末）已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列的概念可得，即，由等比数列的概念与计算可得结论. 【详解】因为数列是公差为的等差数列， 所以，且， 所以，则数列是公比的等比数列， 则. 故选：B. 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（   ） A．73 B．75 C．76 D．78 【答案】B 【分析】先由题意确定a，b的可能取值，然后采用分类讨论的方法计算可能的取法数，进而排除不符合题意的取法，即可求得答案. 【详解】由题意可知a的取值可从中选取， b的取值可从中选取， 且需满足， 当时，b的取法有12种；当时，b的取法有11种； 当时，b的取法有10种；当时，b的取法有9种； 当时，b的取法有8种，依次类推，当时，b的取法有1种； 则的可能取法有（种）， 其中当时，成等差数列，不合题意； 当时，成等比数列，不合题意； 当时，成等差数列，不合题意； 故满足题意的的取法有（种）， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答的关键要由题意确定a，b的可能取值，然后采用分类讨论的方法计算可能取法数，进而排除不符合题意的取法. 5．（24-25高二上·上海·课前预习）①1，，，，… ②，1，，1，… ③1，，，，… ④3，12，48，192，… 观察上述4个数列，它们有什么共同特点？ 【答案】每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等． 【分析】相邻两项相比可得答案 【详解】每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等． 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)是等比数列 (2)不是等比数列 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）由等比数列定义判断或证明即可. 【详解】（1）记数列为，则． ， 数列为等比数列，且公比为3； （2）记数列为，则，，，…， ， 数列不是等比数列． （3）当时，数列为不是等比数列； 当时，因为， 所以数列是等比数列，且公比为； 综上所述，当时，数列不是等比数列； 当时， 数列是等比数列. 【考点2：等比中项】 【知识点：等比中项】 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）5和45的等比中项是 ． 【答案】 【分析】利用等比中项公式即可得解. 【详解】设为5和45的等比中项， 则，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知和的等比中项为B，则B = . 【答案】 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 3．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列， 则，故， 故选：D 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可. 【详解】因为，，成等比数列，得，且，得，由余弦定理，. 故选：B 【考点3：等比数列的通项公式】 【知识点：等比数列的通项公式】 1．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等比数列，若，，则 . 【答案】 【分析】根据题意将，代入即可. 【详解】因为为等比数列，所以 故答案为：. 2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在等比数列中，若，且公比，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】设等比数列的首项为，根据条件，建立方程组，解得，即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，因为，所以， 两式相比得到，整理得到，解得或，又公比， 所以，代入，得到，所以， 故答案为：. 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知，且则通项公式 . 【答案】 【分析】先证明数列是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由，得， 所以数列为等比数列，公比为2， 又，所以， 即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【答案】 / 【分析】根据已知图形可分析出级雪花曲线的边长和边数分别成等比数列，由此可求边长和边数的通项公式，则周长也可求. 【详解】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为， 故答案为：；． 5．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【答案】(1)或 (2)6 【分析】(1) 已知等比数列的通项公式代入，求出q，最后求出； (2) 已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出，由，求 【详解】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 6．（24-25高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1)405； (2)5； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 【考点4：等比数列的性质】 【知识点：等比数列的性质】 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在等比数列中，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）等比数列的各项为正数，若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以，又， 所以，则，所以. 故答案为： 3．（河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知等比数列的前项的乘积为，若，则 ． 【答案】 【分析】由可得，再由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由可得：，所以， 又因为为等比数列，所以，所以, 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的公比为q，且，数列中有连续四项是集合中的元素，则 . 【答案】 【分析】由题意根据等比数列中项的特点，观察得出中连续四项，从而得到答案. 【详解】集合中有两个负数，三个正数， 由题意等比数列中连续四项为2个正数和2个负数， 由，所以中连续四项为，所以. 故答案为： 5．（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A 6．（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（    ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 【答案】ABC 【分析】 直接利用等比数列的性质和等比数列的定义判断即可. 【详解】由于数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为， 对于A：将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确； 对于B：取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为，故B正确； 对于C：从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为，故C正确； 对于D：数列是一个无穷等比数列，故数列仍是公比为的等比数列，故D错误． 故选：ABC． 【考点5：等比数列的判定与证明】 【知识点：等比数列的判定方法】 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义逐个判断即可得解. 【详解】数列是公比为的等比数列， ①不是定值，故不是等比数列； ②为定值，故是公比为的等比数列； ③为定值，故是公比为的等比数列； ④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个. 故选：C 2．（多选）（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】变形得到，证明出结论. 【详解】因为数列中，，， 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【答案】(1)4；8；5 (2)证明见解析 【分析】（1）运用递推公式求出; （2）运用等比数列定义证明即可. 【详解】（1）由 可得；；； （2）证明：由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； 5．（2025高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用反证法，根据，可得矛盾，即可求解， （2）代入化简可得，利用等比数列的定义，即可求证. 【详解】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本量法求得公差为4，从而可求的通项公式. （2）根据（1）求出，判断其符号后可得取最大值时的值. 【详解】（1）设的公差为，则， 所以即，而，故， 故. （2）（ⅰ），, 而，故， 而，，所以 所以为等比数列且公比为2，首项为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 故当时，，当时，， 故， 故取最大值时. 【考点6：等比数列的单调性】 【知识点：等比数列的单调性】 1．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 2．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分性、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由题意得，且， ∴. 若为递减数列，则，故，充分性成立. 若，则，故，为递减数列，必要性成立. 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断ACD错误，根据数列递增的性质判断B. 【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断选项错误. 设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确. 因为数列是公比为的递增等比数列，所以或， 即故选项B正确. 故选：B. 4．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 5．（多选）（24-25高二上·湖南·期末）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（   ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】BD 【分析】先用反证法证明可判断A，判断数列是正项递减数列，可得，从而可判断BC；结合基本不等式可判断D. 【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1， 因为，若公比，则都大于等于1，矛盾，所以，A不正确； 因为，所以，即， 所以数列是正项递减数列，可得，所以的最大值为，C不正确； ，B正确； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 【考点7：等比数列的最大（小）项】 【知识点：等比数列的最大（小）项】 1．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 2．（2024·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】 利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【详解】 在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 3．（2024·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 4．（多选）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可. 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 【答案】ABD 【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得. 【详解】对于A，，，即， ，又，又， ，且， ，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，由于，而，故有，故C错误； 对于D，由题可知， 所以当时，，即，当时，，即， ∴T99的值是Tn中最大的，故D正确. 故选：. 【考点8：等比数列的简单应用】 【知识点：等比数列的简单应用】 1．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列列式计算即得. 【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 【答案】每月平均下降，10月销售额跌至8万元 【分析】由题意每月的销售额构成了等比数列，根据题目数据求出通项公式，然后列式求解即可. 【详解】设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列，且， 则，，解得. 设，即，解得， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$