7.2.3 平行线的性质（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意： “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三者中只要有一个成立,其余两个也成立,这是平行线的判定与性质的综合运用。 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 【基础练习】 【练习1-1】如图，DE∥AB，若∠A = 40°，则∠ACD的度数为（　　） A. 150° B. 140° C. 50° D. 40° 【练习1-2】如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【练习1-3】如图，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【练习1-4】如图，若直线，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【典例】如图，已知直线，，，则的度数是_________. 【变式1-1】如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝138°，则当∠2等于 时，AB∥CD． 【变式1-2】如图，与相交于点O，已知，则的度数是 _____． 【变式1-3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 【变式1-4】如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，点B，，垂足为点M，若，则（ ） A. B. C. D. 【变式1-5】如图，将线段向上平移到位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【变式1-6】如图，点F是∠ACE内一点，，．点D在射线CE上，点B在射线CA上，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是_____（填序号） 易错警示：混淆平行线的判定和性质 平行线的判定是由两角的数量关系来确定两直线的位置关系，而平行线的性质则是由两直线的位置关系来确定两角的数量关系。 【典例】如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则（ ）． A. B. C. D. 【变式2-1】如图，，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线a，b之间，已知，则的大小是（ ） A. 114° B. 104° C. 124° D. 116° 【变式2-2】一副直角三角板如图摆放，其中与交于点M．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【典例】如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【变式3-1】如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【变式3-2】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=60°，则∠AED′=( ） A 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【典例】如图，直线AB//CD，∠C＝36°，∠E为直角，则∠1等于（　　） A. 122° B. 124° C. 126° D. 128° 【变式4-1】如图，如果，那么（ ） A B. C. D. 【变式4-2】如图，，则、、三者之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【变式4-3】如图，已知ABEF ，CD⊥BC，，则（ ） A. B. C D. 【变式4-4】如图，，∠A＝70°，∠C＝30°，则∠AFC＝________°． 拐点模型 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 【典例】嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程： 已知：如图，b∥a，c∥a， 求证：b∥c； 证明：作直线DF交直线a、b、c分 别于点D、E、F， ∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c． 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（　　） A. 嘉淇的推理严谨，不需要补充 B. 应补充∠2＝∠5 C. 应补充∠3+∠5＝180° D. 应补充∠4＝∠5 【变式5-1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______. 【变式5-2】补全下列推理过程： 如图，已知，求． 解：（已知） （_______） 又（已知） （_______） （_______） （_______） （已知） 【变式5-3】如图，，AE平分，CD与AE相交于F，，求证：． 方法技巧：综合分析法 对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件,再从已知条件开始推理,看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法。 1.如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 3.如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么用含m的式子表示的度数是（ ） A. B. C. D. 5.将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 6.折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．如图，将一长方形纸条首先沿EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在，的位置，再将纸条沿GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若3∠ EFB=∠EF，则∠GEF的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 7.如图，已知AB//EG，BC//DE，CD//EF，则x、y、z三者之间关系是（ ） A. x+y+z＝180° B. x﹣z＝y C. y﹣x＝z D. y﹣x＝x﹣z 8.如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2=___________°． 9.如图，是的平分线，． （1）的度数为___________．（2）的度数为__________． 10.如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为_____． 11.如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为_________． 12.如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________度． 13.如图，，，则等于____． 14.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已，，．则的度数是______． 15.如图所示，已知AD//BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数． 16.根据题意及解答，填注推导理由： 如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，交AB和CD于点M、N，MP平分∠AME，NQ平分∠CNE．试说明MP∥NQ． 解：∵AB∥CD， ∴∠AME＝∠CNE．（　 　） ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∠CNE．（　 　） ∵∠AME＝∠CNE， ∴∠1＝∠2．（　 　） ∵∠1＝∠2， ∴MP∥NQ．（　 　） 17.如图，且． 求证：． 18.如图，已知，，，，平分． （1）说明：； （2）求的度数． 19.将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，平分． 求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴①____________， ∵（已知）， ∴②_________（③___________________）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴④__________（⑤________________）， ⑥____________（⑦___________________）． ∴⑧___________=⑨__________________（等量代换）， ∴平分． 20.如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（___________） 又∵（已知）， ∴___________（___________）， ∴（___________）， ∴（___________）， 又∵（平角的定义） ∴（___________）°， 又∵（已知）， ∴（___________）， ∴．（___________） 21.如图，点D，B分别在上，． （1）求证：； （2）求证：． 22.如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 23.如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F． （1）求∠ECF的度数； （2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； （3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数． 24.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，，），将三角尺绕点C按顺时针方向慢慢转动，转过后停止转动． （1）当，______． （2）①当与平行时，求三角尺转过的度数． ②在三角尺转动的过程中，这两把三角尺除了外，是否还存在互相平行的边？若存在，直接写出平行时三角尺所有可能转过的度数；若不存在，请说明理由． 25. 如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在的位置； （1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在的位置． ①若，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）： ②若，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数． 26.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？ （2）请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由． 27.【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 28.如图1，直线与直线，分别交于点E，F，与互补． （1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （2）如图2，与的平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 1.（2023•日照•中考真题）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　） A．23° B．53° C．60° D．67° 2.（2023•大连•中考真题）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠D＝20°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3.（2023•广东•中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 4.（2023•金华•中考真题）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意： “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三者中只要有一个成立,其余两个也成立,这是平行线的判定与性质的综合运用。 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 【基础练习】 【练习1-1】如图，DE∥AB，若∠A = 40°，则∠ACD的度数为（　　） A. 150° B. 140° C. 50° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵DEAB， ∴∠ACD=∠A=40°， 故选：D． 【练习1-2】如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【练习1-3】如图，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平角求出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【练习1-4】如图，若直线，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，对选项进行判断即可． 详解】解：， ，故D选项正确，A、B、C不正确． 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【典例】如图，已知直线，，，则的度数是_________. 【答案】##50度 【解析】 【分析】利用平行的性质及平角公式求解即可. 【详解】, ∴ ∴=180°--=50° 故答案为50° 【变式1-1】如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝138°，则当∠2等于 时，AB∥CD． 【答案】48° 【解析】 【分析】先假设，求得∠3＝∠4，由∠1=138°，根据邻补角求出∠3，再利用即可求出∠2的度数． 【详解】解：若AB//CD， 则∠3＝∠4， 又∵∠1+∠3＝180°，∠1＝138°， ∴∠3＝∠4＝42°； ∵EF⊥MN， ∴∠2+∠4＝90°， ∴∠2＝48°； 故答案为：48°． 【变式1-2】如图，与相交于点O，已知，则的度数是 _____． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再由对顶角相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据：∠1=43°，∠HEF=90°，即可得到∠CEB=47°，再根据CDAB，可得∠2=∠CEB=47°． 详解】解：∵∠1=43°，∠HEF=90°， ∴∠CEB=47°， ∵CDAB， ∴∠2=∠CEB=47°， 故选：B． 【变式1-4】如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，点B，，垂足为点M，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟记图形性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式1-5】如图，将线段向上平移到位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出1的对顶角AOD，在利用两直线平行同旁内角互补，即可求出EDC的度数． 【详解】解：如图， ∵1=134°， ∴AOD=134°， ∵CDAB， ∴EDC+AOD=180°， ∴ECD=180°−134°=46°． 故选：A． 【变式1-6】如图，点F是∠ACE内一点，，．点D在射线CE上，点B在射线CA上，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①由，可证明；②由，可证明，由，可证，则可证；③由，，得，则；④由③得到，由 则． 【详解】， ， 故①正确； ， ， ， ， ， 故②正确； ，， ， ， 故③正确； 由③得到， ， 故④正确． 故答案为：①②③④ 易错警示：混淆平行线的判定和性质 平行线的判定是由两角的数量关系来确定两直线的位置关系，而平行线的性质则是由两直线的位置关系来确定两角的数量关系。 【典例】如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纸条两边平行得到，再求出，求得∠3的度数，再根据∠3与∠5互补，求得∠5的度数即可． 【详解】纸条两边平行， （两直线平行，同位角相等）， 又三角板直角三角形， ， （两直线平行，内错角相等）， ． 故选C． 【变式2-1】如图，，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线a，b之间，已知，则的大小是（ ） A. 114° B. 104° C. 124° D. 116° 【答案】A 【解析】 【分析】过直角三角板的直角顶点作直线c直线a，根据平行线的性质求出∠4，结合直角三角板的性质求出∠3，再得到∠5，最后根据对顶角相等得到∠2． 【详解】解：如图，过直角三角板的直角顶点作直线c直线a， ∵a∥b ， ∴abc，∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠4=24°，∠3+∠5=180°， ∴∠3=90°-∠4=66°， ∴∠5=180°-∠3=114°， ∴∠2=∠5=114°． 故选：A． 【变式2-2】一副直角三角板如图摆放，其中与交于点M．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB度数，在△BMD中，利用三角形外角性质可求出∠BMF的度数． 【详解】解：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°， ∴∠F＝90°−∠E＝45°， ∵BCEF， ∴∠MDB＝∠F＝45°， 是△BMD的一个外角， ∴∠BMF＝∠B∠MDB＝75°， 故选：A． 【典例】如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【答案】B 【解析】 【分析】先求解∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，可得∠EFD′＝∠EFD＝148°，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵∠EFB＝32°， ∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°， ∴∠EFD′＝∠EFD＝148°， ∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°， 故选：B． 【变式3-1】如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先由翻折变换的性质求出∠FEG的度数，再根据平行线的性质求出∠AGE的度数即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC， ∵∠FEC＝30°， ∴∠FEG＝30°， ∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠CEG＝60°． 故选：B． 【变式3-2】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=60°，则∠AED′=( ） A 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠EFB=∠DEF=60°，再根据折叠可得∠D′EF=∠DEF=60°，据此即可求得． 【详解】解：由折叠知∠D′EF=∠DEF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴∠EFB=∠DEF， ∴∠D′EF=∠DEF=∠EFB=60°， ∴∠AED′=180°−2∠D′EF =180°−60°×2=60°． 故选：C． 【典例】如图，直线AB//CD，∠C＝36°，∠E为直角，则∠1等于（　　） A. 122° B. 124° C. 126° D. 128° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形外角和内角的关系，即可得到∠1的度数． 【详解】解：如右图所示， ∵AB//CD， ∴∠1＝∠2， ∵∠AED＝90°，∠C＝36°， ∴∠3＝90°， ∴∠2＝∠C+∠3＝126°， ∴∠1＝126°， 故选：C． 【变式4-1】如图，如果，那么（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ②， 由①+②得，， 故选：C． 【变式4-2】如图，，则、、三者之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【变式4-3】如图，已知ABEF ，CD⊥BC，，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H，利用三角形外角和内角的关系可得结论 【详解】解：如图，延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H， ∵ABEF， ∴∠BGC=∠DHE． ∵∠DHE=∠CDE-∠E，∠BCD=∠B+∠BGC， ∴∠BCD=∠B+∠CDE-∠E． ∵CD⊥BC，∠B=x°，∠D=y°，∠E=z°， ∴90°=x°+y°-z°． 故选：A． 【变式4-4】如图，，∠A＝70°，∠C＝30°，则∠AFC＝________°． 【答案】40 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得∠AFE=70°，∠CFE=30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】∵ABEF， ∴∠A=∠AFE=70°， ∵CDEF， ∴∠C=∠CFE=30°， ∴∠AFC=∠AFE-∠CFE=40°， 故答案为：40． 拐点模型 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 【典例】嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程： 已知：如图，b∥a，c∥a， 求证：b∥c； 证明：作直线DF交直线a、b、c分 别于点D、E、F， ∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c． 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（　　） A. 嘉淇的推理严谨，不需要补充 B. 应补充∠2＝∠5 C. 应补充∠3+∠5＝180° D. 应补充∠4＝∠5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题． 【详解】解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F， ∵a∥b， ∴∠1=∠4， 又∵a∥c， ∴∠1=∠5， ∴∠4=∠5． ∴b∥c． ∴应补充∠4=∠5． 故选：D． 【变式5-1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______. 【答案】108° 【解析】 【详解】∵∠1=∠2， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠D=180°-72°=108°． 故答案：108°． 【变式5-2】补全下列推理过程： 如图，已知，求． 解：（已知） （_______） 又（已知） （_______） （_______） （_______） （已知） 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质和判定条件结合已知推理过程进行推理求解即可． 详解】解：解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） ． 故答案为；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 【变式5-3】如图，，AE平分，CD与AE相交于F，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行线的性质，得出∠1=∠3，再根据AE平分∠BAD，可得∠1=∠2，进而得到∠2=∠3，最后根据∠3=∠4，可得∠2=∠4，再判定AD∥BC，即可得出∠5=∠6． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， 又∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4， ∴AD∥BC， ∴∠5=∠6． 方法技巧：综合分析法 对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件,再从已知条件开始推理,看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法。 1.如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，根据题意可得，，再根据两直线平行内错角相等可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，， ， ， ， 解得：， ， 故选C． 2.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， AP∥BC， ∴∠2=∠1=50°， ∵∠EBF=80°=∠2+∠3， ∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°， ∴此时的航行方向为北偏东30°， 故选A． 3.如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解析：（已知） （两直线平行，同旁内角互补） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴ ∴即平分 ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴ ，，所以④错误； 故答案为：C． 4.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么用含m的式子表示的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由平角的定义得，由平行线的性质得，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：B． 5.将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】应用平行线的判定与性质进行判定即可得出答案．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：①，， ∴， 故①结论正确； ②， ， ， ∴． 故②结论正确； ③， ， ， ∴． 故③结论正确； ④如图 ， ∴， ， ， ， ． 故④结论正确． 故选：D 6.折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．如图，将一长方形纸条首先沿EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在，的位置，再将纸条沿GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若3∠ EFB=∠EF，则∠GEF的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】设∠EFB=x，根据折叠的性质，矩形的性质，则∠DEF=∠GEF=x，∠DEG=2x，∠EF=3x，∠GF=∠EF+∠ EFB=4x，根据折叠性质，矩形性质，得∠DEG=∠CG=∠CF=∠CF=2x，根据∠GF+∠CF=180°，计算即可． 【详解】设∠EFB=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ED∥CG， ∴∠DEF=∠EFB， ∵沿EF进行第一次折叠 ∴∠DEF=∠GEF=∠EFB=x， ∴∠DEG=2x，∠EF=3x，∠GF=∠EF+∠ EFB=4x， 根据折叠性质，矩形性质，得∠DEG=∠CG=∠CF=∠CF=2x， 根据∠GF+∠CF=180°， ∴4x+2x=180， 解得x=30， 故选A． 7.如图，已知AB//EG，BC//DE，CD//EF，则x、y、z三者之间关系是（ ） A. x+y+z＝180° B. x﹣z＝y C. y﹣x＝z D. y﹣x＝x﹣z 【答案】B 【解析】 【分析】延长AB交DE于H，依据平行线的性质，即可得到∠ABC=∠DEG，即x=z+y，进而得到x-z=y． 【详解】如图所示，延长AB交DE于H， ∵BC//DE， ∴∠ABC=∠AHE=x， ∵CD//EF，AB//EG， ∴∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y， ∴∠ABC=∠DEG，即x=z+y， ∴x-z=y， 故选：B． 8.如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2=___________°． 【答案】40 【解析】 【详解】 ∵PM⊥l ∴∠2+∠3=90° ∵a∥b ∴∠1=∠3=50° ∴∠2=40° 故答案为：40 9.如图，是的平分线，． （1）的度数为___________．（2）的度数为__________． 【答案】 ①. ##130度 ②. ##65度 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵AD∥BC，∠C=65°， ∴∠DAC=∠C=65°， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC=∠EAC=65°， ∴∠EAC=2×65°=130°， 故答案为：130°； （2）∵AD∥BC，∠EAD=65°， ∴∠B=∠EAD=65°， 故答案为：65°． 10.如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为_____． 【答案】34° 【解析】 【分析】先根据余角的性质得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，∠1＝56°， ∴∠3＝90°﹣56°＝34°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠3＝34°． 故答案为：34°． 11.如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为_________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】根据折叠的性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质得，， 四边形是长方形，根据平行线的性质得出： ， 比大， 设，则， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 12.如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________度． 【答案】120 【解析】 【分析】在图中由平行的性质求得，，在图中由折叠的性质求得，，在图中再根据即可求解． 【详解】解：在图中：， ， 在图中：， ， 在图中：， ， 故答案为：120． 13.如图，，，则等于____． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图所示，过的顶点A作，则，利用平行线的性质得到，，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过的顶点A作，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已，，．则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ，， ， ， ， 即的度数是， 故答案为：． 15. 如图所示，已知AD//BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数． 【答案】60° 【解析】 【详解】因为AD//BC，∠B＝30°， 所以∠ADB＝∠B＝30°（两直线平行，内错角相等）． 又DB平分∠ADE， 所以∠ADE＝2∠ADB＝60°． 因为AD//BC， 所以∠DEC＝∠ADE＝60°（两直线平行，内错角相等）． 16.根据题意及解答，填注推导理由： 如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，交AB和CD于点M、N，MP平分∠AME，NQ平分∠CNE．试说明MP∥NQ． 解：∵AB∥CD， ∴∠AME＝∠CNE．（　 　） ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∠CNE．（　 　） ∵∠AME＝∠CNE， ∴∠1＝∠2．（　 　） ∵∠1＝∠2， ∴MP∥NQ．（　 　） 【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】利用平行线的性质定理和判定定理解答即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AME＝∠CNE．（两直线平行，同位角相等）， ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∠CNE．（ 角平分线的定义）， ∵∠AME＝∠CNE， ∴∠1＝∠2．（等量代换）， ∵∠1＝∠2， ∴MP∥NQ．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行． 17.如图，且． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18.如图，已知，，，，平分． （1）说明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定； （1）由知，可得； （2）由（1）利用平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，然后利用已知条件即可求出结果． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 19.将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，平分． 求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴①____________， ∵（已知）， ∴②_________（③___________________）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴④__________（⑤________________）， ⑥____________（⑦___________________）． ∴⑧___________=⑨__________________（等量代换）， ∴平分． 【答案】①；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤两直线平行，内错角相等；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨ 【解析】 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∴=（等量代换）， ∴平分． 故答案为：① ∠DCE ；② ∠CDE ；③两直线平行，内错角相等；④ ∠DEF ；⑤两直线平行，内错角相等；⑥ ∠FEB ；⑦两直线平行，同位角相等；⑧ ∠DEF ；⑨ ∠FEB 20.如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（___________） 又∵（已知）， ∴___________（___________）， ∴（___________）， ∴（___________）， 又∵（平角的定义） ∴（___________）°， 又∵（已知）， ∴（___________）， ∴．（___________） 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（90）° 又∵（已知） ∴（等式的性质） ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 21.如图，点D，B分别在上，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22.如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【详解】证明：如图，设BC与AE、GF分别交于点M、N. ∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠AMB=∠GNB=90°， ∴AE∥FG， ∴∠A=∠1； 又∵∠2=∠1， ∴∠A=∠2， ∴AB∥CD． 23.如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F． （1）求∠ECF的度数； （2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； （3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数． 【答案】（1）70°；（2）不变．数量关系为：∠APC=2∠AFC．（3）70° 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数； （2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC； （3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数． 【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°－40°=140° ∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP， ∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF ∴∠ECF=∠ACD=70° （2）不变．数量关系为：∠APC=2∠AFC． ∵AB∥CD， ∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP ∵CF平分∠DCP， ∴∠DCP=2∠DCF， ∴∠APC=2∠AFC （3）∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠ECD 当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF， ∴∠ACE=∠DCF ∴∠PCD=∠ACD=70° ∴∠APC=∠PCD=70°． 24.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，，），将三角尺绕点C按顺时针方向慢慢转动，转过后停止转动． （1）当，______． （2）①当与平行时，求三角尺转过的度数． ②在三角尺转动的过程中，这两把三角尺除了外，是否还存在互相平行的边？若存在，直接写出平行时三角尺所有可能转过的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10° （2）①②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角板中角度的计算；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． （1）直接利用三角板特征和角的和差关系即可求解； （2）①根据平行线的性质得角的关系，再利用三角板的特征和角的和差关系即可求解； ②分四种情况讨论，根据平行线的性质得角的关系，再利用三角板的特征和角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ， ． 【小问2详解】 如图所示，此时， ， ， ， ， 即转过的角度为； ②除了外，还存在互相平行的边，，： 当时，如图， 此时， 即旋转角度为， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即转过的度数为． 当：时，如图： 此时， 即旋转的角度为． 当，如图 ∵， ∴， 即旋转， 综上：旋转的角度为或 25.如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在的位置； （1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在的位置． ①若，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）： ②若，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数． 【答案】（1）；（2）①；②50° 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可； （2）①由（1）知，∠BFE=，根据平行线的性质得到∠BFE=∠C′GB=，再由折叠的性质及平角的定义求解即可； ②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，再根据折叠的性质得到∠1+180°-2∠3=90°，结合∠3=∠1+20°即可求解． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，A′E//B′F， ∴∠4=∠1=α， ∵AD//BC， ∴∠4=∠B′FC=α， 由折叠的性质可知，∠2=∠BFE， ∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°， ∴∠2=×（180°-α）=； （2）①由（1）知，∠BFE=90°-α， ∵EF//C′G， ∴∠BFE=∠C′GB=， 再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC=180°-， ∴∠3=∠HGC=； ②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1， 由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°， ∴180°-2×(90°-∠1)+(180°-2∠3)=90°， 即∠1+180°-2∠3=90°， ∵∠3=∠1+20°， ∴∠1=50°． 26.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？ （2）请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由． 【答案】（1）（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；图③：∠BED＝∠D－∠B；图④：∠BED＝∠B－∠D；（2）证明见解析． 【解析】 【详解】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF-∠BEF即可证明． 解：（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D； 图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°； 图③：∠BED＝∠D－∠B； 图④：∠BED＝∠B－∠D． （2）以图③为例：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF． ∵∠BED＝∠DEF－∠BEF， ∴∠BED＝∠D－∠B． 27.【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过F作，可得，再根据两直线平行内错角相等，可推出，从而得出结果； （2）与之间的数量关系为，利用平行线的性质即可求证； （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】证明：（1）如图所示，过F作， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 28.如图1，直线与直线，分别交于点E，F，与互补． （1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （2）如图2，与的平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1），理由见详解； （2）证明过程见详解； （3）的大小不变， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用． （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角、互补，所以易证； （2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得；然后由图形中角与角的和差关系求得即可． 【小问1详解】 解：如图1，， 理由：与互补， ． 又， ， ； 【小问2详解】 如图2，由（1）知，， ． 又与的角平分线交于点P，， ，即． ， ； 【小问3详解】 的大小不会发生变化，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， 的大小不会发生变化，其值为 1.（2023•日照•中考真题）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　） A．23° B．53° C．60° D．67° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H． ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠FHG． 又∵∠1+∠E＝∠FHG， ∴∠2＝∠1+∠E＝23°+30°＝53°． 故选：B． 2.（2023•大连•中考真题）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠D＝20°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠BCD，从而求出∠DCE，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BCD＝45°， ∴∠DCE＝135°， 由三角形的内角和可得∠E＝180°﹣135°﹣20°＝25°． 故选：B． 3.（2023•广东•中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝137°， 故选：D． 4.（2023•金华•中考真题）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【答案】C 【解析】 【分析】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数． 【详解】解：∵∠1＝∠3＝50°， ∴a∥b， ∴∠5+∠2＝180°， ∵∠2＝50°， ∴∠5＝130°， ∴∠4＝∠5＝130°． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$