专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 2 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 3 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 4 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 5 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 6 【类型7 坐标法求最值（范围）】 7 【知识点1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略】 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利 用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在中，若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（    ） A． B． C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值 4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 5．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（    ） A． B．2 C． D． 9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 11．（24-25高三下·河南·开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 14．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 15．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 16．（2024·四川成都·模拟预测）记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·河北·期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ） A． B．角的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 19．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是 . 20．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 21．（2024·江西·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 22．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·浙江·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是2 C．的最小值是 D．的面积最小值是 24．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 . 25．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 29．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为 ． 30．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【类型7 坐标法求最值（范围）】 31．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 32．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·四川宜宾·期末）如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D．2 34．（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为 ．    35．（23-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.    (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1 【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 6 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 9 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 12 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 16 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 19 【类型7 坐标法求最值（范围）】 24 【知识点1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略】 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利 用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【类型1 三角形面积的最值或范围问题】 1．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在中，若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解. 【解答过程】依题意，不妨设，，，则，， 由余弦定理得，即，则， 故，则， 所以， 又因为， 故， 当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形． 所以，即. 故选：A. 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【解答过程】 且， , 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ， ， ，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形， ，， ，， ， . 故选：C. 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（    ） A． B． C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值 【解题思路】利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦定理可求出角，进而求出，即可判断AB；先求出的关系，再在中，利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式结合三角函数即可判断CD. 【解答过程】在中，因为， 所以， 即， 又，所以， 在中，因为，则， 所以，则，故AB正确； 在中，， 在中，， 四边形ABCD面积 ，其中（为锐角）， 又， 所以， 因为函数在上递增，在上递减， 所以四边形ABCD面积有最大值，无最小值，故C错误，D正确.    故选：ABD. 4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 【解题思路】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【解答过程】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）向量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【解答过程】（1）因为， 由余弦定理可得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）因为， 所以， 故， 即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以面积的最大值为．    【类型2 三角形边长的最值或范围问题】 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理化简题中条件，得到，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【解答过程】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 7．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可. 【解答过程】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据c边最大边或最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解. 【解答过程】若c边为最大边，则， ，， 若边为最大边，则， ，， 所以， 所以边长c可能的取值是2、. 故选：BD. 9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为 ． 【解题思路】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得的取值范围，再次利用正弦定理的边角变换转化所求为，从而得解. 【解答过程】因为，则， 所以， 由正弦定理得， 又，故， 因为在锐角中，，所以或， 当时，， 所以，解得，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 综上，， 又， 而，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 【类型3 三角形周长的最值或范围问题】 11．（24-25高三下·河南·开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 【解题思路】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到的关系式，从而利用基本不等式求得，由此得解. 【解答过程】由题可得，，即， 又，所以，则， 因为，所以，则， 所以，即， 又因为，， 所以，整理得， 所以， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 故周长的最小值为. 故选：C. . 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，由正弦定理的 又因为，可得， 所以， 即， 因为，可得，可得，即， 解得或（舍去）， 因为，所以，则， 又因为外接圆半径为，所以， 又由 ， 因为为锐角三角形，且，所以且， 解得，可得，所以， 所以. 故选：C. 13．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【解题思路】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断. 【解答过程】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误； 对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，，及余弦定理得， ，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【解题思路】由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围. 【解答过程】在锐角中，，，，则， 由正弦定理， 得， ， 所 ， 由，得，而，则， 因此，所以周长的取值范围为. 故答案为：. 15．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为. 【类型4 三角形的角的最值或范围问题】 16．（2024·四川成都·模拟预测）记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求. 【解答过程】根据三角形三边关系可得，即， 又， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，又为三角形的内角， 所以， 所以. 故选：C. 17．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【解答过程】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B. 18．（23-24高一下·河北·期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ） A． B．角的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【解题思路】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断A选项的正误；利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角的取值范围，可判断B选项的正误；利用余弦函数的基本性质可判断C选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断D选项的正误. 【解答过程】因为，所以， ，，则，所以或． 因为，所以，所以，则，故A正确； 因为，所以． 因为是锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则，故B错误，D正确； 因为，所以，所以，则C正确． 故选：ACD. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是 . 【解题思路】利用余弦定理即可判断角的范围，从而集合a为最长边，即可得出答案. 【解答过程】∵，∴， 则，∴， 又∵a为最长边，∴. 所以A的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 【解题思路】（1）连接，在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可； （2）连接，作于点，利用正弦定理和二倍角公式求解． 【解答过程】（1）如图，连接，则当时，    在中，由余弦定理可得 ， 所以在中，由勾股定理可得，所以， 所以； （2）如图，连接，作于点，    则由，可得为的中点，设， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以， 由，可得， 所以 【类型5 利用基本不等式求最值（范围）】 21．（2024·江西·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 【解题思路】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值． 【解答过程】， ， 即， 即， 则， 整理得， ∴， 当且仅当时取等号， ， 则． 故选：C． 22．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【解答过程】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B. 23．（23-24高一下·浙江·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是2 C．的最小值是 D．的面积最小值是 【解题思路】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断． 【解答过程】解：由题意得：， 由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故A正确； ，当且仅当时取等号， ，， 所以，当且仅当时取等号，故D正确； 由余弦定理 所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项：由得：，， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 故选：ABD． 24．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 21 . 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得. 【解答过程】由的外接圆的半径为且，得， 而，则或，由余弦定理得， 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为21； 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为， 而，所以的周长最大值为21. 故答案为：21. 25．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【解题思路】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 【类型6 转化为函数求最值（范围）】 26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 27．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果. 【解答过程】设，则， ，，，，， 在中，由正弦定理得：， ， ，， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 28．（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 【解题思路】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D. 【解答过程】由正弦定理可得，即 因为，所以，所以， 对于A，若， 由余弦定理得， 由，，可得， 即，当且仅当时等号成立， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以， 当时，即，时有一解，故B错误； 对于C，若，由正弦定理得，所以 ， 由于为锐角三角形，故且，故， 因此，故，故C正确； 对于D，由于为锐角三角形，，， 所， 故AC边上的高为，故D错误． 故选：AC. 29．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为 ． 【解题思路】 根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得 ，由的范围可得的范围，再结合双勾函数的性质即可得解. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵是锐角的内角， ∴或（不符合题意舍去），∴， ∴ ， 设， ∵是锐角三角形， ∴，∴， ∴，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递增，故， ∴. 故答案为：. 30．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【解题思路】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求，再依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【解答过程】（1）因为，根据正弦定理有， 所以， 即， ， ， 即，又， 所以，因为，所以， 由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以，即， 所以 （2）因为是的中点，所以， 则， 因为，，由余弦定理有：， 即，所以 由正弦定理得： ， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边上的中线的取值范围为. 【类型7 坐标法求最值（范围）】 31．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设，写出各个点的坐标，将转换成条件等式，结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解. 【解答过程】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则， 所以， 所以， 从而，即，等号成立当且仅当， 四边形面积的表达式为， 从而，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 32．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量，从而表达，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角的函数，进而求出取值范围. 【解答过程】 （法一）如图，连接设，则，， 故．在中，由正弦定理可得， 则 ． 在中，由正弦定理可得，则． 平行四边形的周长为 ． 因为，所以，所以，所以， 所以，则， 即平行四边形BCDE的周长的取值范围是． （法二）以O为原点，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系． 设，则，， 从而，，， ， 故平行四边形的周长为． 因为，所以，所以， 则，即平行四边形的周长的取值范围是． 故选：A. 33．（23-24高一下·四川宜宾·期末）如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D．2 【解题思路】以为原点建立平面直角坐标系，求得，设，令，得出，利用数量积的运算得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意得，又， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，故， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，，故， 因为，，所以， 所以在中，， 所以为等边三角形， 所以，所以， 设，由题意令，即， 解得，所以， 所以， 设，可得其对称轴为，且开口向上， 所以时，取得最小值，即的最小值为. 故选：B.    34．（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为 ．    【解题思路】利用余弦定理可得，然后建立如图所示的直角坐标系，利用平面向量积表示出，结合二次函数即可求解. 【解答过程】在中，，，， 所以，又， 所以， 以所在直线为轴，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，    则，，设，， 所以， 所以， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 35．（23-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.    (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 【解题思路】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求解； （2）利用向量求出，利用余弦定理求出，代入面积公式求解即可； （3）建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，利用二次函数知识求出值域即可. 【解答过程】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以，又，所以， 又，所以. （2）因为，且，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系，    则，，，由得， 因为，，，所以设，， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$