专题6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 定义法求最值与范围问题】 3 【类型2 基底法求最值与范围问题】 3 【类型3 坐标法求最值与范围问题】 5 【类型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 5 【类型5 与数量积有关的最值（范围）问题】 6 【类型6 与模有关的最值（范围）问题】 8 【类型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 8 【类型8 极化恒等式】 9 【知识点1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）， 即可得出结论. 【知识点2 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【类型1 定义法求最值与范围问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【类型2 基底法求最值与范围问题】 6．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 10．（23-24高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，且，则的取值范围是 . 【类型3 坐标法求最值与范围问题】 11．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 13．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 15．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【类型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 16．（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 19．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 20．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【类型5 与数量积有关的最值（范围）问题】 21．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 22．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（    ）    A． B． C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是 25．（2024高三·全国·专题练习）在直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中）， ①的取值范围是 ②点经过的外心 ③点所在轨迹的长度为2 ④的取值范围是 则以上结论正确的是 ．（填写序号） 【类型6 与模有关的最值（范围）问题】 26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 27．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 29．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知，，，A，B两点不重合，则（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为2 C．若，最大值为 D．若，最大值为4 30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【类型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 31．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 35．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【类型8 极化恒等式】 36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 37．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 38．（2024·重庆·模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 39．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   40．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 定义法求最值与范围问题】 3 【类型2 基底法求最值与范围问题】 6 【类型3 坐标法求最值与范围问题】 10 【类型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 15 【类型5 与数量积有关的最值（范围）问题】 17 【类型6 与模有关的最值（范围）问题】 22 【类型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 26 【类型8 极化恒等式】 30 【知识点1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）， 即可得出结论. 【知识点2 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【类型1 定义法求最值与范围问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【解题思路】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【解答过程】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B. 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【解答过程】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【解题思路】对A，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对B，根据正六边形的对称性判断即可；对C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对D，根据当时，有最小值判断即可. 【解答过程】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【解题思路】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【解答过程】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故 ． 故答案为：.    【类型2 基底法求最值与范围问题】 6．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【解答过程】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【解答过程】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围． 【解答过程】矩形中，已知分别是上的点，且满足，    设，则，， 联立，可解得， 因为点在线段上运动，则可设， ， 又，所以， ， 因为，所以． 故选：B． 9．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【解题思路】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【解答过程】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 10．（23-24高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，且，则的取值范围是 . 【解题思路】选取一组基底，把向量、用这一组基底表示，再利用向量数量积公式可得，再根据的范围即可求出的取值范围. 【解答过程】如图可知，，， 因为是的中点，所以， 所以， 由条件可得，， 因为为边上的一个动点，故当为中点时最小，此时， 当为或时，最大，此时， 从而，， 又因为，所以. 故答案为：. 【类型3 坐标法求最值与范围问题】 11．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【解题思路】根据题意，利用解析法求解，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，写出点、、和的坐标，设出点，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值. 【解答过程】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，， ， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D.    12．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【解答过程】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C. 13．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 14．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【解题思路】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【解答过程】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 15．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以 ， 故当时，取到最小值， 故答案为：. 【类型4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 16．（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得，，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案. 【解答过程】因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 17．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值. 【解答过程】    设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 18．（23-24高一下·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【解答过程】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即 ，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C. 19．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【解题思路】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【解答过程】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 20．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 【类型5 与数量积有关的最值（范围）问题】 21．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【解题思路】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得 ，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值. 【解答过程】不妨令，，又，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 22．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【解答过程】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 23．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 24．（23-24高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（    ）    A． B． C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是 【解题思路】把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，连接，，连接，交于点，过作，垂足为点，过作，垂足为点，利用数量积结合选项即可逐一求解． 【解答过程】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为， 连接，，连接，交于点，易得，在上，． 过作，垂足为点，过作，垂足为点． 由题意得，，所以， ， 所以，所以，A正确． 计算，所以B错误； ，所以， ， 所以，即， 连接，取的中点，连接，则，所以， 当点与点重合时取得最大值，所以的最大值为： ， C正确； 因为四边形为矩形，所以，， 所以， 当与重合时，取得最大值为， 当与重合时，取得最小值为， 所以的取值范围是，， D正确． 故选：ACD．    25．（2024高三·全国·专题练习）在直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中）， ①的取值范围是 ②点经过的外心 ③点所在轨迹的长度为2 ④的取值范围是 则以上结论正确的是 ①②④ ．（填写序号） 【解题思路】对①，由直角三角形结合向量的运算可得判断即可；对②③，由题意推导,进而可得P在线段OC上判断；对④，根据平面向量的线性运算可得·(＋)＝－2||||，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】对①，由中为斜边， 可得， 又斜边，则||，则·，①正确； 对②，若O为AB中点，则＝ ，故 又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1， 又O是△ABC的外心，所以②正确，③错误； 对④，又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||， 又||＋||＝||＝1，则||||≤＝， 当且仅当||＝||＝时，等号成立， 所以·(＋)＝－2||||，④正确． 故答案为：①②④. 【类型6 与模有关的最值（范围）问题】 26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【解题思路】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【解答过程】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 27．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【解答过程】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设 ， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 28．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】首先根据题意确定，的位置，然后设，利用平面向量的减法运算可得，，，最后求点关于的对称点,点关于的对称点，计算长度即可得到答案. 【解答过程】由题意知，当时，点的轨迹与相交于，即， 当时，点的轨迹与相交于，即. 设，则， ，. 于是, 设点关于的对称点,点关于的对称点， 则， 所以点共线的时候取得最小值， 即. 故选：B. 29．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知，，，A，B两点不重合，则（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为2 C．若，最大值为 D．若，最大值为4 【解题思路】A选项，由几何意义可得A，B为单位圆上任意两点，从而得到；B选项，取中点，得到，数形结合得到，进而求出；C选项，；D选项，分两种情况，得到. 【解答过程】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，，，A正确；    B选项，设D为的中点，则， 由于A，B两点不重合，所以，则，故B错误； C选项，当P，A，B共线时，，故C错误； D选项，当P，A，B共线时，若坐标分别为与或与时， 两点重合，此时， 若坐标不同时为与时，此时⊥，则，    故，故D正确. 故选：AD. 30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【解答过程】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 【类型7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 31．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【解答过程】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【解答过程】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 33．（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可. 【解答过程】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 所以， 则，即 所以，其中， 所以， 所以①③错误； ， 其中， ， ， ， 所以②正确，④错误； 故选：A. 34．（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【解题思路】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可. 【解答过程】，故A正确； 由， 所以，又三点共线， ，即，故B错误； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD．    35．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，求出线段方程，由在线段上可得，利用二次函数值域计算即可得出结果. 【解答过程】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为：. 【类型8 极化恒等式】 36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解答过程】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D. 37．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解题思路】建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可． 另解：利用极化恒等式，进行求解即可. 【解答过程】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 另解：（极化恒等式）： 令，则为中点，为中点，则， 所以，当为中点时取等． 故选：C. 38．（2024·重庆·模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【解题思路】根据题意，记线段的中点为，由且，可得点到直线的距离为，由，根据向量的运算代入求解即可. 【解答过程】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 故答案为：. 39．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   【解题思路】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可. 【解答过程】在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 40．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【解题思路】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解； （2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【解答过程】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； （3）连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$