（易错讲义）第二单元 圆柱和圆锥（11个易错点+5个常考点+16个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第二单元 圆柱和圆锥 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：十一大易错知识点 3 第二部分：五大常考易错点 3 易错点一：误认为沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的纵切面是扇形。 3 易错点二：如果圆柱以纸板的一边为轴旋转而成，这边的相邻边应等于圆柱直径的一半。 4 易错点三：当圆柱的侧面展开图是一个正方形时,底面周长=高=2Πr ,而不是底面周长高=Πr。 4 易错点四：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练,导致判断错误。 4 易错点五：误认为所有圆锥的体积都是圆柱体积的。 5 第三部分：十六易错题型突破 5 突破题型一圆柱的认识和特征 5 突破题型二圆锥的认识和特征 7 突破题型三圆柱的展开图 9 突破题型四圆柱的侧面积 11 突破题型五圆柱的表面积 13 突破题型六圆柱的体积 16 突破题型七圆柱的容积 19 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 21 突破题型九圆柱和锥的体积的关系 24 突破题型十圆锥的体积（容积） 27 突破题型十一含圆锥立体图形的切拼 29 突破题型十二含圆柱组合图形的表面积 32 突破题型十三含圆柱组合图形的体积 35 突破题型十四含圆锥组合图形的体积 37 突破题型十五体积的等积变形 40 突破题型十六测量不规则物体的体积 42 第一部分 十一大易错知识点 1、圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 9、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 10、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：误认为沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的纵切面是扇形。 填空:沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 易错点二：如果圆柱以纸板的一边为轴旋转而成，这边的相邻边应等于圆柱直径的一半。 如下图所示,将下面的纸板以一边为轴快速旋转一周,能形成底面直径是4厘米、高是4厘米的圆柱的是( ） 【错误答案】ACD 【错解分析】按照纸板的长和宽来判断形成的圆柱的底面直径和高,忽视了得到的圆柱是以纸板的一边为轴,以这边的相邻边为半径旋转而成的,因此旋转后形成的圆柱的高与纸板的这边长相等,直径应该等于这边的相邻边长的2倍。 【正确答案】B 易错点三：当圆柱的侧面展开图是一个正方形时,底面周长=高=2Πr ,而不是底面周长高=Πr。 判断:一个圆柱的底面半径为r,侧面展开图是一个正方形,圆柱的高是3.14r。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】题中计算圆柱的底面周长时,错误地将底面半径作为直径进行计算。圆柱的侧面展开图是一个正方形,圆柱的底面周长等于圆柱的高,求出底面周长就可以了,底面周长=高=2Πr=6.28r。 【正确答案】错误 易错点四：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练,导致判断错误。 如果圆柱的高不变,底面周长扩大到原来的3倍,那么它的侧面积和体积也同时扩大到原来的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的侧面积=底面周长×高,圆柱的底面周长扩大到原来的3倍,高不变,因此圆柱的侧面积也扩大到原来的3倍。圆柱的体积=圆柱的底面积×高,底面周长扩大到原来的3倍，那么底面积就扩大到原来的9倍,高不变,圆柱的体积就扩大到原来的9倍。 【正确答案】错误 易错点五：误认为所有圆锥的体积都是圆柱体积的。 圆锥的体积都是圆柱体积的。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积才是圆柱体积的。如果缺少这个条件，底和高的关系不确定,那么圆柱的体积和圆锥的体积之间的关系也就无法确定。等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积是圆柱体积的。 【正确答案】错误 第三部分 十六易错题型突破 突破题型一圆柱的认识和特征 1．圆柱两个底面之间的距离叫圆柱的( )，圆柱有( )条高。 【答案】高 无数 【解答】 如图，圆柱两个底面之间的距离叫圆柱的高，圆柱有无数条高。 2．如图，要为底面是圆形的药瓶制作一个长方体包装盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板。（粘贴处忽略不计） 【答案】190 【分析】由于要做成长方体包装盒，那么长方体的长应该是药瓶的底面直径，宽也是底面直径，高是药瓶的高，根据题意可知，求至少需要硬纸盒的面积，就是求这个长方体包装盒长是5厘米，宽是5厘米，高是7厘米的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】长方体的包装盒的长是长是5厘米，宽是5厘米，高是7厘米。 （5×5＋5×7＋5×7）×2 ＝（25＋35＋35）×2 ＝（60＋35）×2 ＝95×2 ＝190（平方厘米） 至少需要190平方厘米的硬纸板。 3．如图，一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是50厘米，高是18厘米，用彩带捆扎这个蛋糕盒，打结处大约用去15厘米，那么至少需要( )分米长的彩带。 【答案】28.7 【分析】看图可知，彩带长度包括4条直径、4条高和结的长度，彩带长度＝直径×4＋高×4＋结长，据此列式计算，注意统一单位。 【解答】50×4＋18×4＋15 ＝200＋72＋15 ＝287（厘米） ＝28.7（分米） 至少需要28.7分米长的彩带。 4．一根表面涂满红色油漆的圆柱形木料的底面半径是2.5m，高是4m。如图把它切成两个半圆柱，切开后没涂油漆的面积是( )m2。 【答案】40 【分析】看图，没有涂油漆的面是两个一模一样的长方形。长方形的长和宽分别是圆柱的底面直径和圆柱的高。据此，再结合“长方形面积＝长×宽”解题即可。 【解答】2.5×2＝5（m） 5×4×2＝40（m2） 所以，切开后没涂油漆的面积是40m2。 突破题型二圆锥的认识和特征 5．下面的图形，是圆柱的在下面画“√”，是圆锥的在下面画“△”。 （    ）    （    ）      （    ）     （    ）     （    ）   （    ） 【答案】见详解 【分析】圆柱是由长方形绕长或宽旋转360°得到的立方体，由三个面围成分别是上底面、下底面、侧面，上、下底面是两个等圆，圆柱上下底面之间的距离叫做高。一个圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360°得到的立方体，底面是一个圆，侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 【解答】如图： 6．圆锥的底面是一个( )，圆锥的( )面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的( )。圆锥有( )条高。 【答案】圆 侧 高 一 【分析】根据圆锥的特征：‌圆锥‌是一个由一个底面和一个侧面组成的几何体。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高，圆锥只有一条高‌。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥有一条高。 7．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 【答案】① ③ 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 【解答】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 8．圆柱和圆锥分别有什么特点？ 圆柱 圆锥 底面 （    ） （    ） 侧面 （    ） （    ） 高 （    ） （    ） 【答案】见详解 【分析】圆柱的上、下两个面叫作底面，围成圆柱的由面叫作侧面，两个底面之间的距离叫作高；圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高；据此解答。 【解答】填表如下： 圆柱 圆锥 底面 两个底面完全相同，都是圆形 一个底面，是圆形 侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形 曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形 高 两个底面之间的距离，有无数条 顶点到底面圆心的距离，只有一条 突破题型三圆柱的展开图 9．一个圆柱形商品的侧面广告纸展开正好得到一个正方形（接口处忽略不计），这个圆柱形商品的底面周长和高的比是( )。 【答案】 【分析】根据圆柱展开图的特征，圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的底面周长等于高；据此解答。 【解答】正方形的四条边相等，圆柱的侧面展开图正好是一个正方形，圆柱的底面周长等于圆柱的高，圆柱形商品的底面周长：高。 则这个圆柱形商品的底面周长和高的比是。 10．仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 【答案】① ④ 【分析】先根据圆的周长，用3.14×4求出①号圆的周长是12.56分米；再根据圆的周长，用2×3.14×4求出②号圆的周长是25.12分米。通过观察发现：①号圆的周长等于④号长方形的长；②号圆的周长不等于③长方形和④长方形的长或宽。圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。据此可知：①号是无盖圆柱形水桶的底，④号是无盖圆柱形水桶的侧面。 【解答】3.14×4＝12.56（分米）， 12.56≠9.42 12.56≠2 12.56＝12.56 12.56≠6 2×3.14×4＝25.12（分米） 25.12≠9.42 25.12≠2 25.12≠12.56 25.12≠6 因为①号圆的周长等于④号长方形的长，所以王叔叔应该选择①号和④号规格的铁皮。 11．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，圆柱的高是62.8厘米，底面积是( )平方厘米。 【答案】314 【分析】圆柱的侧面展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长与高都是62.8厘米，知道圆柱的高是62.8厘米，即圆柱的底面周长是62.8厘米，由此求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的底面积。 【解答】62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 3.14×102＝314（平方厘米） 【点评】此题关键是明白圆柱侧面展开后是一个正方形，则圆柱的底面周长和高相等是正方形的边长。 12．如图所示两个展开图围成的立体图形，左边一个是( )体，表面积是( )；右边一个是( )体，体积是( )立方厘米。 【答案】长方 2a2＋4ah 圆柱 6.28 【分析】观察左图的展开图可知，这个展开图围成的立体图形是一个长a、宽a、高h的长方体；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出它的表面积； 观察右图的展开图可知，这个展开图围成的立体图形是一个底面半径为1厘米、高为2厘米的圆柱体；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求出它的体积。 【解答】左图围成一个长a、宽a、高h的长方体，它的表面积是： （a×a＋a×h＋a×h）×2 ＝（a2＋2ah）×2 ＝2a2＋4ah 右图围成一个底面半径为1厘米、高为2厘米的圆柱体，它的体积是： 3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 填空如下： 如图所示两个展开图围成的立体图形，左边一个是（长方）体，表面积是（2a2＋4ah）；右边一个是（圆柱）体，体积是（6.28）立方厘米。 突破题型四圆柱的侧面积 13．一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.6米，直径是0.8米。前轮滚动5周压路的面积是( )平方米。 【答案】20.096 【分析】压路机的前轮滚动一周的面积为圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝圆柱底面周长×高，轮宽1.6米，就是圆柱的高，把数据代入公式即可求出前轮滚动一周压路的面积，前轮滚动5周就乘5即可。据此解答即可。 【解答】3.14×0.8×1.6×5 ＝2.512×8 ＝20.096（平方米） 所以，前轮滚动5周压路的面积是20.096平方米。 14．一个圆柱形通风管道长4米，底面直径是10厘米，做十节这样的通风管道至少需要( )平方米铁皮。 【答案】12.56 【分析】圆柱形通风管是没有上下底面的，所以就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：面积＝底面周长×高，代入数据，求出一个圆柱形通风管的侧面积，再乘10，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】10厘米＝0.1米 3.14×0.1×4×10 ＝0.314×4×10 ＝1.256×10 ＝12.56（平方米） 一个圆柱形通风管道长4米，底面直径是10厘米，做十节这样的通风管道至少需要12.56平方米铁皮。 15．用一张长16cm，宽10cm的长方形纸卷成一个圆柱，圆柱的侧面积是( )cm2。 【答案】160 【分析】圆柱的侧面积就是这个长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】16×10＝160（cm2） 圆柱的侧面积是160cm2。 16．制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。你认为( )和( )的材料格配较合适。如果要在水桶的外表面涂上油漆，则油漆的面积有( )平方分米。（保留整数） 【答案】B C 35 【分析】选择B和C的材料都可以做成一个无盖的水桶。理由是长方形的长作为圆柱的底面周长，长方形的宽作为圆柱的高。根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】B和C的材料格配较合适。 3.14×（2÷2）2＋3.14×2×5 ＝3.14×12＋3.14×2×5 ＝3.14×1＋6.28×5 ＝3.14＋31.4 ＝34.56 ≈35（平方分米） 油漆的面积有35平方分米。 突破题型五圆柱的表面积 17．一个圆柱形物体底面直径和高都是6厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】169.56 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×6×6＋3.14××2 ＝18.84×6＋3.14××2 ＝113.04＋3.14×9×2 ＝113.04＋56.52 ＝169.56（平方厘米） 所以，一个圆柱形物体底面直径和高都是6厘米，它的表面积是169.56平方厘米。 18．把一个高5分米的圆柱沿底面直径切开，分成相等的两部分（两个半圆柱），表面积增加了60平方分米，原来圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】150.72 141.3 【分析】把一个高5分米的圆柱沿底面直径切开，表面增加了2个宽为5的长方形，增加面积是60平方分米，根据长方形面积＝长×宽，可以求出增加的长方形的长即底面的直径。根据圆柱的表面积等于2个底面积加一个侧面积求出圆柱表面积。圆柱的体积等于底面积乘高。 【解答】60÷2＝30（分米）， 30÷5＝6（分米）， S底＝ ＝ ＝28.26（平方分米） S侧＝ ＝94.2（平方分米） S表＝2 S底＋S侧 ＝2×28.26＋94.2 ＝150.72（平方分米） V＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 故圆柱的表面积是150.72平方分米，体积是141.3立方分米。 19．如图是一个半圆柱形蔬菜大棚，大棚的占地面积为80平方米，横截面是半径为2米的半圆。 (1)覆盖在这个大棚的塑料薄膜约是( )平方米。 (2)大棚内的空间大约有( )立方米。 【答案】(1)138.16 (2)125.6 【分析】（1）根据题意，求的是大棚的薄膜是多少平米？看外形，可以理解求的是圆柱的一半表面积，根据圆柱的表面积计算公式：S＝2πr²＋2πrh可以推导出一半圆柱体的表面积公式为：S＝（2πr²＋2πrh）×，2πr²是指大棚2个横切面的表面积，2个横切面刚好组成一个圆，所以，可以推导公式为：πr²，2πrh是指大棚顶部的薄膜表面积公式。已知大棚占地面积，可以理解为圆柱的竖截面，切面是一个长方形，占地面积即为长方形的面积，那么可以用长方形面积公式求出大棚的长，已知横截面的半径即为长方形宽的一半，长方形的宽用半径乘2即可，大棚面积÷宽＝长，大棚长度即为圆柱体的高度，知道圆柱体的高度后，可以用圆柱体的表面积公式求出一半圆柱体的表面积，据此解答。 （2）根据题意，是需要求大棚的体积，依据圆柱的体积公式：V ＝ πr²h，图中大棚刚好是圆柱体的一半，所以最后结果需要乘，推导公式为：V ＝ πr²h，将已知的圆柱体数值代入计算出结果即可。 【解答】（1）大棚的长度：80÷（2×2） ＝80÷4 ＝20（米） 大棚顶部所盖薄膜的表面积： 3.14×2×2×20×＝125.6（平方米） 大棚的顶上薄膜表面积＋2个横切面的表面积＝整个大棚薄膜的表面积 3.14×22＋125.6 ＝3.14×4＋125.6 ＝12.56＋125.6 ＝138.16（平方米） 覆盖在这个大棚的塑料薄膜约是138.16平方米。 （2）3.14×22×20× ＝3.14×80× ＝251.2× ＝125.6（立方米） 大棚内的空间大约有125.6立方米。 20． 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【答案】117.68 【分析】这个零件的表面积是直径为4分米的圆柱的表面积的一半与棱长为4分米的正方体的5个面的面积的和。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，结合这两个公式求出题中零件的表面积。 【解答】[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5 ＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80 ＝[25.12＋50.24]÷2＋80 ＝75.36÷2＋80 ＝37.68＋80 ＝117.68（平方分米） 所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。 【点评】此题考查了圆柱和正方体的表面积公式的灵活应用，解题关键是熟记公式。 突破题型六圆柱的体积 21．如下图，先把一个圆柱的底面平均切成16份，然后沿着高垂直把这个圆柱切开，拼成一个和它体积相等的近似长方体。测得这个长方体的宽是10厘米，高是25厘米。这个近似长方体的体积是( )立方厘米，表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 【答案】 7850 500 【分析】根据题意，原来圆柱的半径等于拼成的近似长方体的宽，圆柱的高等于拼成的近似长方体的高，拼成的近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，根据长方形的体积公式：体积＝长×宽×高，进行计算，拼成的近似长方体的表面积比圆柱增加了两个长为25厘米，宽为10厘米的长方形，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，进行解答即可。 【解答】3.14×10×2÷2 ＝31.4×2÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（厘米） 31.4×10×25 ＝314×25 ＝7850（立方厘米） 10×25×2 ＝250×2 ＝500（平方厘米） 这个近似长方体的体积是7850立方厘米，表面积比圆柱增加了500平方米。 22．从一根横截面面积是60平方厘米的圆柱形钢材中截下50厘米长的一段，这一段钢材的体积是( )立方厘米，是( )立方分米。 【答案】3000 3 【分析】根据题意，结合圆柱的体积公式：，已知截面面积为60平方厘米，长为50厘米，代入公式计算即可。再换算单位，1立方分米＝1000立方厘米。 【解答】60×50＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3立方分米 所以这一段钢材的体积是3000立方厘米，是3立方分米。 23．把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的( )，是圆锥的( )。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是( )立方分米。 【答案】 2倍 18 【分析】根据题意，结合圆柱和圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积为（1－），用削去部分的体积除以圆锥的体积，求出削去部分的体积是圆锥体积的2倍，最后用9乘2即可求出削去的体积。 【解答】削去部分的体积：1－＝ ÷ ＝×3 ＝2 2×9＝18（立方分米） 所以把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的，是圆锥的2倍。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是18立方分米。 24．如下图，一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是( )立方厘米。 【答案】50 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用4×4×3，即可求出水的体积；当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，则用4×4×5.5，求出水和圆柱铁块在水里部分的体积，然后减去水的体积，即可求出圆柱铁块在水里部分的体积；已知这个铁块的刚好露出水面，则把这个铁块看作单位“1”，在水里的铁块占（1－），用圆柱铁块在水里部分的体积除以（1－）即可求出圆柱铁块的体积。据此解答。 【解答】（4×4×5.5－4×4×3）÷（1－） ＝（16×5.5－16×3）÷ ＝（88－48）× ＝40× ＝50（立方厘米） 一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是50立方厘米。 突破题型七圆柱的容积 25．如图中饮料瓶中装有1.8升饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还可以装进( )升的饮料。 【答案】1.2 【分析】由图可知，10厘米是15厘米的，倒放时空余部分的体积正好是正放时饮料体积的，把饮料的体积看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出倒放时空余部分的体积，也就是这个瓶子最多还可以装进饮料的体积。 【解答】 （升） 这个瓶子最多还可以装进1.2升的饮料。 26．如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是小沙怕爸爸烫手而特意贴上的。这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 【答案】18.84 423.9 【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答； （2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】底面周长：3.14×6＝18.84（厘米） 半径：6÷2＝3（厘米） 圆柱的容积： 3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） ＝423.9（毫升） 这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是18.84厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是423.9毫升。（玻璃杯厚度不计） 27．做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是62.8分米，高是6分米，至少要用铁皮( )平方分米，最多能装水( )升。 【答案】690.8 1884 【分析】圆周长＝2×3.14×半径，所以半径＝周长÷2÷3.14，据此先求出圆柱底面的半径。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，本题中需要做一个无盖的水桶，所以只需要求一个底面积和侧面积的和，即可求出需要用的铁皮面积是多少平方分米。圆柱体积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶最多能装水多少升。 【解答】62.8÷2÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（分米） 3.14×＋62.8×6 ＝3.14×100＋376.8 ＝314＋376.8 ＝690.8（平方分米） 3.14××6 ＝3.14×100×6 ＝314×6 ＝1884（立方分米） 1884立方分米＝1884升 所以至少要用铁皮690.8平方分米，最多能装水1884升。 28．一个圆柱形铁皮油桶，底面周长是188.4cm，高是80cm。如果每升柴油重0.8kg，那么这个油桶可以装( )kg柴油。（油桶厚度忽略不计） 【答案】180.864 【解答】由题意知：底面周长已知，用周长÷3.14÷2，得油桶底面半径，再根据圆柱的体积（容积）＝底面积×高，求得油桶的容积，进而求得柴油的质量。 【点评】 ＝60÷2 ＝30（厘米） ＝3分米 80厘米＝8分米 ＝ ＝28.26×8 ＝226.08（立方分米 ） ＝226.08升 226.08×0.8＝180.864（千克） 那么这个油桶可以装180.864kg柴油。 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 29．把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 【答案】3.2 【分析】由题意可知，沿圆柱的直径和高锯成两半，增加了两个长是4米，宽是40厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算长方形的面积，再乘2即可得解。单位统一为米，再计算。 【解答】40厘米＝0.4米 （平方米） 把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了3.2平方米。 30．小强做数学实验，如图所示，他把一个圆柱等分同拼成一个近似的长方体，已知长方体的长是15.7分米，高是8分米，原来圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】628 【分析】观察图形可知，近似的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，高等于圆柱的高，则圆柱的底面周长＝15.7×2＝31.4（分米），根据圆的周长＝2πr，用31.4除以2π即可求出圆柱的底面半径。圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，据此求出圆柱的体积。 【解答】圆柱的底面半径：15.7×2÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（分米） 3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（立方分米） 则原来圆柱的体积是628立方分米。 31．有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3，分成的两个圆柱，增加两个底面面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积。代入数据，求出两个圆柱的面积和；再根据大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，进而求出小圆柱的表面积和大圆柱的表面积，进而求出小圆柱的高和大圆柱的高，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出小圆柱的体积和大圆柱的体积，再用小圆柱的体积÷大圆柱的体积，即可解答。 【解答】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3。 两个圆柱的表面积： π×12×2＋π×2×3＋π×12×2 ＝π×2＋2π×3＋π×2 ＝2π＋6π＋2π ＝10π 大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，即大圆柱表面积∶小圆柱表面积＝3∶1；即把大圆柱表面积与小圆柱表面积的和分成了：3＋1＝4（份） 小圆柱表面积： 10π÷4×1 ＝2.5π×1 ＝2.5π 大圆柱表面积：10π－2.5π＝7.5π 小圆柱的高： （2.5π－π×12×2）÷（π×1×2） ＝（2.5π－2π）÷2π ＝0.5π÷2π ＝0.25 大圆柱的高：3－0.25＝2.75 （π×12×0.25）÷（π×12×2.75） ＝0.25π÷2.75π ＝0.25÷2.75 ＝ 有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的。 【点评】根据大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，表示出大圆柱体的高与小圆柱体的高是解答此题的关键。 32．将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2。这个圆柱形木料的体积是( )dm3。 【答案】5.652 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱形木料的底面半径；沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2，增加的面积是两个长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高的长方形，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，宽＝面积÷长，代入数据，求出长方形的宽，也就是圆柱的高；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（dm） 4.8÷2÷（1.5×2） ＝2.4÷3 ＝0.8（dm） 3.14×1.52×0.8 ＝3.14×2.25×0.8 ＝7.065×0.8 ＝5.652（dm3） 将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2。这个圆柱形木料的体积是5.652dm3。 突破题型九圆柱和锥的体积的关系 33．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【答案】720 【分析】由图①可得，880mL＝原来水640mL＋圆柱的体积，因此用880－640即可求出圆柱的体积。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积，最后用量杯原来的水的体积加圆锥的体积，可得出图②量杯水面刻度。 【解答】（880－640）÷3＋640 ＝240÷3＋640 ＝80＋640 ＝720（mL） 所以图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720mL。 34．如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【答案】4 【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等时，把圆锥容器装满水倒入圆柱形容器中，这时圆柱形容器中水面的高是圆锥高的。据此解答即可。 【解答】（厘米） 圆柱形容器中水的高度是4厘米。 35．一个圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 301.44 100.48 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，求出圆柱的侧面积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，据此求出圆锥的体积。 【解答】圆柱的侧面积： 2×3.14×4×6 ＝25.12×6 ＝150.72（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 圆锥的体积： 301.44×＝100.48（立方厘米） 圆柱的侧面积是150.72平方厘米，体积是301.44立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是100.48立方厘米。 36．等底等高的圆柱和圆锥的体积和是64立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】48 16 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，一共是（3＋1）份； 已知等底等高的圆柱和圆锥的体积和是64立方厘米，用它们的体积和除以份数和，求出一份数，即是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的体积： 64÷（3＋1） ＝64÷4 ＝16（立方厘米） 圆柱的体积： 16×3＝48（立方厘米） 圆柱的体积是48立方厘米，圆锥的体积是16立方厘米。 突破题型九圆锥的体积（容积） 突破题型十圆锥的体积（容积） 37．2024中国济南端午龙舟赛6月16日在大明湖风景区举行，王华和爸爸去现场加油助威，如图是王华助威时手中的彩色小旗，如果以的直角边所在的直线为轴快速旋转，形成的立体图形的体积是( )。 【答案】37.68 【分析】以长为的边所在的直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是圆锥体，底面半径是3厘米，高是4厘米，根据圆锥体积底面积高，即可解答。 【解答】3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝28.26×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（立方厘米） 所形成的立体图形的体积是37.68立方厘米。 38．一堆圆锥形稻谷的底面半径是2米，高是3米。要把这些稻谷装入底面半径是2米的圆柱体粮仓中，粮仓高至少( )米。 【答案】1 【分析】依据题意可知，利用圆柱的底面积＝×半径的平方，圆锥的体积＝×底面半径的平方高，体积不变，用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可。 【解答】3.14××3÷3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方米） 12.56÷（3.14×） ＝125.56÷（3.14×4） （米 所以粮仓高至少1米。 39．把一块底面积是6.28平方厘米，高是12厘米的圆锥形钢胚，重新铸造成一块圆柱形钢胚。这个圆锥形钢坯的体积是( )立方厘米，若铸造成的圆柱形钢胚的底面半径是2厘米，则它的高是( )厘米。 【答案】25.12 2 【分析】根据体积的意义可知，把圆锥形钢坯铸成圆柱形钢坯，体积不变。根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】（立方厘米） （厘米） 这个圆锥形钢坯的体积是25.12立方厘米，若铸造成的圆柱形钢胚的底面半径是2厘米，则它的高是2厘米。 40．一种儿童玩具陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱的时，陀螺会转得又快又稳。已知圆柱底面直径是4厘米，高是4厘米，这个陀螺的体积是( )立方厘米；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板。 【答案】62.8 144 【分析】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出这个陀螺的体积；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，这个用料最少的长方体包装盒的正方形底面边长等于圆柱的底面直径，盒子的高等于这个陀螺的高，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】（厘米） （立方厘米） 盒子的高：（厘米） （平方厘米） 所以这个陀螺的体积是62.8立方厘米，至少需要144平方厘米的硬纸板。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 突破题型十一含圆锥立体图形的切拼 41．一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 【分析】观察图形可知，增加的表面积是两个相等的等腰三角形的面积，三角形的底是圆锥底面的直径，利用三角形面积公式，求出三角形的高，也就是圆锥的高，用增加的表面积÷2，求出一个三角形面积，再求出高，再根据圆锥的体积公式，即可解答。 【解答】高：72÷2×2÷8 ＝36×2÷8 ＝72÷8 ＝9（厘米） 圆锥体积： 3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 【点评】本题考查三角形面积、圆锥体积公式的应用，熟记公式，灵活运用。 42．如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 【答案】1 4 1 7 【分析】（3）根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，说明小三角形的高：大三角形的高＝1∶2，小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2，又因为三角形的面积＝底×高÷2，所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2，即小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝1∶4，又因为圆锥的体积＝底面积×高×，所以小圆锥体积∶大圆锥的体积＝1∶（2×4）＝1∶8，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比。 【解答】（1）小三角形的高：大三角形的高＝1∶2 小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2 因为三角形的面积＝底×高÷2 所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2 小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2 则小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝（π×）∶（π×）＝1∶4 因为圆锥的体积＝底面积×高× 所以小圆锥体积∶大圆锥的体积 ＝（1×1×）∶（4×2×） ＝ ＝1∶8 小圆锥与剩余部分的体积比＝1∶（8－1）＝1∶7 【点评】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键，利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式。 43．把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【答案】226.08立方厘米/226.08cm3 【分析】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【解答】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 44．把一个圆锥体平行于底面截成两段，如图，截下的小圆锥的高是原来大圆锥高的一半，那么小圆锥的体积是原来大圆锥的( )。 【答案】 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，设小圆锥的底面半径为r，高为h，则大圆锥的底面半径为2r，高为2h，把数据代入公式求出大小圆锥的体积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。 【解答】设小圆锥的底面半径为r，高为h，则大圆锥的底面半径为2r，高为2h， πr2h÷[π×（2r）2×2h] ＝πr2h÷[π×4r2×2h] ＝πr2h÷π÷8r2h ＝1÷8 ＝ 则小圆锥的体积是原来大圆锥的。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 突破题型十二含圆柱组合图形的表面积 45．计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】415.4平方厘米 【分析】通过观察图形可得：这个组合图形的表面积等于一个正方体的表面积加上一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算，即可解答。 【解答】表面积： 8×8×6＋2×3.14×5 ＝384＋31.4 ＝415.4（平方厘米） 46．求下面组合图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】713.04平方厘米 【分析】将圆柱上面的面平移到下面，拼成完整的长方体，组合图形的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【解答】（20×8＋20×5＋8×5）×2＋2×3.14×3×6 ＝（160＋100＋40）×2＋113.04 ＝300×2＋113.04 ＝600＋113.04 ＝713.04（平方厘米） 这个组合图形的表面积是713.04平方厘米。 47．求下图的表面积和体积。 【答案】345.4平方分米；157立方分米 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式，求出图形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据圆柱的侧面积公式，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积×高，据此解答。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （立方分米） 即图形的表面积是345.4平方分米，体积是157立方分米。 48．计算下面图形的表面积。（单位：dm） 【答案】662.8dm2 【分析】图形的表面积＝棱长是10dm的正方体的表面积＋底面直径是4dm，高是5dm的圆柱的侧面积；根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，圆柱的侧面积公式：底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋12.56×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（dm2） 表面积是662.8dm2。 突破题型十三含圆柱组合图形的体积 49．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 50．一个圆柱截掉一部分后如图所示，求图中立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】904.32立方厘米 【分析】把这个图形看成底面直径为8厘米，高为厘米的圆柱的一半，根据圆柱体积＝底面积×高，求出这个立体图形的体积即可。 【解答】高：（厘米） 立体图形体积： （立方厘米） 立体图形的体积904.32立方厘米。 51．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】10228 cm2；67140 cm3 【分析】看图可知，这个立体图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝底面周长×高。这个立体图形的体积＝正方体体积＋圆柱体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算即可求出表面积和体积。 【解答】表面积： 40×40×6＋20×3.14×10 ＝9600＋628 ＝10228（cm2） 体积： 40×40×40＋（20÷2）2×3.14×10 ＝64000＋102×3.14×10 ＝64000＋3140 ＝67140（cm3） 立体图形的表面积是10228cm2，体积是67140cm3。 52．列式计算，求下面图形的表面积和体积（单位：cm）。 【答案】675.36cm2；924.64cm3 【分析】看图可知，组合体的表面积＝正方体表面积＋圆柱侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，圆柱侧面积＝底面周长×高；组合体的体积＝正方体体积－圆柱体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【解答】10×10×6＋3.14×4×6 ＝600＋75.36 ＝675.36（cm2） 图形的表面积是675.36cm2。 10×10×10－3.14×（4÷2）2×6 ＝1000－3.14×22×6 ＝1000－3.14×4×6 ＝1000－75.36 ＝924.64（cm3） 图形的体积是924.64cm3。 突破题型十四含圆锥组合图形的体积 53．求下面图形的体积。 【答案】21980立方厘米 【分析】由图知：图形的体积是圆柱体和圆锥体体积的组合。圆柱和圆锥等底，它们的高均已知。根据圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，将数值代入计算各自的体积后再相加即可求得组合图形的体积。据此解答。 【解答】（厘米） ＝ ＝ ＝ ＝21980（立方厘米） 组合图形体积是21980立方厘米。 54．计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】2072.4cm3；150.72cm3 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，用大圆柱的体积减去小圆柱的体积即可； 根据图意，利用圆柱的体积减去圆锥的体积即可，利用圆柱的体积公式V＝πr2h和圆锥的体积公式V＝πr2h代入数据计算即可。 【解答】 3.14×（14÷2）2×20－3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×72×20－3.14×42×20 ＝3.14×49×20－3.14×16×20 ＝153.86×20－50.24×20 ＝3077.2－1004.8 ＝2072.4（cm3） 3.14×（8÷2）2×4－×3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×42×4－×3.14×42×3 ＝3.14×16×4－×3.14×16×3 ＝50.24×4－×50.24×3 ＝200.96－50.24 ＝150.72（cm3） 55．计算下面图形的体积。 【答案】157.68cm3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝长是12cm，宽是5cm，高是2cm的长方体体积＋底面半径是2cm，高是9cm的圆锥的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】12×5×2＋3.14×22×9× ＝60×2＋3.14×4×9× ＝120＋12.56×9× ＝120＋113.04× ＝120＋37.68 ＝157.68（cm3） 组合体的体积是157.68cm3。 56．求图中的体积。         【答案】84.78cm3；215.22cm3 【分析】（1）观察图形可知，组合体是由两个底面半径都是6cm的圆锥组成，那么它们体积等于一个底面半径是6cm、高是（3.5＋5.5）cm的大圆锥的体积；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个组合体的体积。 （2）观察图形可知，组合体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解答】（1）×3.14×（6÷2）2×（3.5＋5.5） ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝84.78（cm3） 组合体的体积是84.78cm3。 （2）10×10×3－3.14×（6÷2）2×3 ＝300－3.14×32×3 ＝300－3.14×9×3 ＝300－84.78 ＝215.22（cm3） 组合体的体积是215.22cm3。 突破题型十五体积的等积变形 57．一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8厘米，高10厘米里装了一些水，把一个底面直径是4厘米的圆锥形铁块（完全淹没），水面上升了0.5厘米，圆锥的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块的体积＝上升的水的体积，而上升的水的形状是底面直径8厘米，高0.5厘米的圆柱。根据圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，代入数据求出上升的水的体积，即圆锥的体积。圆的面积＝πr2，据此求出圆锥的底面积。根据圆锥的体积＝πr2h，用求得的圆锥的体积除以和它的底面积，即可求出圆锥的高。 【解答】3.14×（8÷2）2×0.5 ＝3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝25.12（立方厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 25.12÷÷12.56 ＝25.12×3÷12.56 ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥的高是6厘米。 58．一个圆柱形铁块的底面半径是6厘米，高是5厘米。把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少厘米？ 【答案】10.8厘米 【分析】根据“熔铸”前后体积不变。圆柱的体积＝底面积×高，其中圆柱的底面积＝，计算出圆柱的体积也就是圆锥的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高，则圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积，代入数据据此解答即可。 【解答】 59．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【解答】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 60．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 【答案】1.2分米 【分析】铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可解答。 【解答】 （立方分米） （分米） 答：高是1.2分米。 突破题型十六测量不规则物体的体积 61．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。 【解答】下降的水的体积为： （立方厘米） 圆锥铁块的高为： ＝12（厘米） 答：这个圆锥体的高是12厘米。 62．小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】50.24立方厘米 【分析】水面上升的体积就是鸡蛋的体积，根据圆柱体积公式，圆柱形玻璃杯的底面积×水面上升的高度＝鸡蛋的体积，据此列式解答。 【解答】3.14×（8÷2）2×（6－5） ＝3.14×42×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积大约是50.24立方厘米。 63．在一个底面半径是10厘米的圆柱形状的容器中装着一些水，水里放了一个底面直径10厘米的圆锥形状的铅锤，当铅锤从容器中取出后，容器中水面下降5毫米，铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意可知，下降部分水的体积＝铅锤的体积，下降部分水的体积＝容器的底面积×下降的高度，5毫米＝0.5厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×102×0.5即可求出下降部分水的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用铅锤的体积×3÷3.14÷（10÷2）2即可求出铅锤的高度。 【解答】5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157×3÷3.14÷（10÷2）2 ＝157×3÷3.14÷52 ＝157×3÷3.14÷25 ＝150÷25 ＝6（厘米） 答：铅锤的高是6厘米。 64．小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）235.5毫升 【分析】（1）水面上升的体积就是土豆A的体积，圆柱形玻璃容器的底面积×水面上升的高度＝土豆A的体积，据此列式解答。 （2）土豆B的体积等于把土豆B取出后下降部分水的体积，溢出水的体积＝土豆B 的体积－图②中无水部分的体积。 【解答】（1）3.14×（10÷2）2×（11－9） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：土豆的体积是157立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×4－3.14×（10÷2）2×1 ＝3.14×（10÷2）2×（4－1） ＝3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） ＝235.5（毫升） 答：溢出了235.5毫升水。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的圆柱进行计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第二单元 圆柱和圆锥 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：十一大易错知识点 3 第二部分：五大常考易错点 3 易错点一：误认为沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的纵切面是扇形。 4 易错点二：如果圆柱以纸板的一边为轴旋转而成，这边的相邻边应等于圆柱直径的一半。 4 易错点三：当圆柱的侧面展开图是一个正方形时,底面周长=高=2Πr ,而不是底面周长高=Πr。 4 易错点四：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练,导致判断错误。 5 易错点五：误认为所有圆锥的体积都是圆柱体积的。 5 第三部分：十六易错题型突破 5 突破题型一圆柱的认识和特征 5 突破题型二圆锥的认识和特征 6 突破题型三圆柱的展开图 7 突破题型四圆柱的侧面积 9 突破题型五圆柱的表面积 10 突破题型六圆柱的体积 11 突破题型七圆柱的容积 12 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 13 突破题型九圆柱和锥的体积的关系 14 突破题型十圆锥的体积（容积） 16 突破题型十一含圆锥立体图形的切拼 17 突破题型十二含圆柱组合图形的表面积 18 突破题型十三含圆柱组合图形的体积 19 突破题型十四含圆锥组合图形的体积 21 突破题型十五体积的等积变形 22 突破题型十六测量不规则物体的体积 23 第一部分 十一大易错知识点 1、圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 9、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 10、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：误认为沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的纵切面是扇形。 填空:沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 易错点二：如果圆柱以纸板的一边为轴旋转而成，这边的相邻边应等于圆柱直径的一半。 如下图所示,将下面的纸板以一边为轴快速旋转一周,能形成底面直径是4厘米、高是4厘米的圆柱的是( ） 【错误答案】ACD 【错解分析】按照纸板的长和宽来判断形成的圆柱的底面直径和高,忽视了得到的圆柱是以纸板的一边为轴,以这边的相邻边为半径旋转而成的,因此旋转后形成的圆柱的高与纸板的这边长相等,直径应该等于这边的相邻边长的2倍。 【正确答案】B 易错点三：当圆柱的侧面展开图是一个正方形时,底面周长=高=2Πr ,而不是底面周长高=Πr。 判断:一个圆柱的底面半径为r,侧面展开图是一个正方形,圆柱的高是3.14r。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】题中计算圆柱的底面周长时,错误地将底面半径作为直径进行计算。圆柱的侧面展开图是一个正方形,圆柱的底面周长等于圆柱的高,求出底面周长就可以了,底面周长=高=2Πr=6.28r。 【正确答案】错误 易错点四：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练,导致判断错误。 如果圆柱的高不变,底面周长扩大到原来的3倍,那么它的侧面积和体积也同时扩大到原来的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的侧面积=底面周长×高,圆柱的底面周长扩大到原来的3倍,高不变,因此圆柱的侧面积也扩大到原来的3倍。圆柱的体积=圆柱的底面积×高,底面周长扩大到原来的3倍，那么底面积就扩大到原来的9倍,高不变,圆柱的体积就扩大到原来的9倍。 【正确答案】错误 易错点五：误认为所有圆锥的体积都是圆柱体积的。 圆锥的体积都是圆柱体积的。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积才是圆柱体积的。如果缺少这个条件，底和高的关系不确定,那么圆柱的体积和圆锥的体积之间的关系也就无法确定。等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积是圆柱体积的。 【正确答案】错误 第三部分 十六易错题型突破 突破题型一圆柱的认识和特征 1．圆柱两个底面之间的距离叫圆柱的( )，圆柱有( )条高。 2．如图，要为底面是圆形的药瓶制作一个长方体包装盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板。（粘贴处忽略不计） 3．如图，一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是50厘米，高是18厘米，用彩带捆扎这个蛋糕盒，打结处大约用去15厘米，那么至少需要( )分米长的彩带。 4．一根表面涂满红色油漆的圆柱形木料的底面半径是2.5m，高是4m。如图把它切成两个半圆柱，切开后没涂油漆的面积是( )m2。 突破题型二圆锥的认识和特征 5．下面的图形，是圆柱的在下面画“√”，是圆锥的在下面画“△”。 （    ）    （    ）      （    ）     （    ）     （    ）   （    ） 6．圆锥的底面是一个( )，圆锥的( )面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的( )。圆锥有( )条高。 7．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 8．圆柱和圆锥分别有什么特点？ 圆柱 圆锥 底面 （    ） （    ） 侧面 （    ） （    ） 高 （    ） （    ） 突破题型三圆柱的展开图 9．一个圆柱形商品的侧面广告纸展开正好得到一个正方形（接口处忽略不计），这个圆柱形商品的底面周长和高的比是( )。 10．仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 11．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，圆柱的高是62.8厘米，底面积是( )平方厘米。 12．如图所示两个展开图围成的立体图形，左边一个是( )体，表面积是( )；右边一个是( )体，体积是( )立方厘米。 突破题型四圆柱的侧面积 13．一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.6米，直径是0.8米。前轮滚动5周压路的面积是( )平方米。 14．一个圆柱形通风管道长4米，底面直径是10厘米，做十节这样的通风管道至少需要( )平方米铁皮。 15．用一张长16cm，宽10cm的长方形纸卷成一个圆柱，圆柱的侧面积是( )cm2。 16．制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。你认为( )和( )的材料格配较合适。如果要在水桶的外表面涂上油漆，则油漆的面积有( )平方分米。（保留整数） 突破题型五圆柱的表面积 17．一个圆柱形物体底面直径和高都是6厘米，它的表面积是( )平方厘米。 18．把一个高5分米的圆柱沿底面直径切开，分成相等的两部分（两个半圆柱），表面积增加了60平方分米，原来圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 19．如图是一个半圆柱形蔬菜大棚，大棚的占地面积为80平方米，横截面是半径为2米的半圆。 (1)覆盖在这个大棚的塑料薄膜约是( )平方米。 (2)大棚内的空间大约有( )立方米。 20． 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 突破题型六圆柱的体积 21．如下图，先把一个圆柱的底面平均切成16份，然后沿着高垂直把这个圆柱切开，拼成一个和它体积相等的近似长方体。测得这个长方体的宽是10厘米，高是25厘米。这个近似长方体的体积是( )立方厘米，表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 22．从一根横截面面积是60平方厘米的圆柱形钢材中截下50厘米长的一段，这一段钢材的体积是( )立方厘米，是( )立方分米。 23．把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的( )，是圆锥的( )。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是( )立方分米。 24．如下图，一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是( )立方厘米。 突破题型七圆柱的容积 25．如图中饮料瓶中装有1.8升饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还可以装进( )升的饮料。 26．如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是小沙怕爸爸烫手而特意贴上的。这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 27．做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是62.8分米，高是6分米，至少要用铁皮( )平方分米，最多能装水( )升。 28．一个圆柱形铁皮油桶，底面周长是188.4cm，高是80cm。如果每升柴油重0.8kg，那么这个油桶可以装( )kg柴油。（油桶厚度忽略不计） 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 29．把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 30．小强做数学实验，如图所示，他把一个圆柱等分同拼成一个近似的长方体，已知长方体的长是15.7分米，高是8分米，原来圆柱的体积是( )立方分米。 31．有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 32．将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2。这个圆柱形木料的体积是( )dm3。 突破题型九圆柱和锥的体积的关系 33．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 34．如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 35．一个圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 36．等底等高的圆柱和圆锥的体积和是64立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 突破题型十圆锥的体积（容积） 37．2024中国济南端午龙舟赛6月16日在大明湖风景区举行，王华和爸爸去现场加油助威，如图是王华助威时手中的彩色小旗，如果以的直角边所在的直线为轴快速旋转，形成的立体图形的体积是( )。 38．一堆圆锥形稻谷的底面半径是2米，高是3米。要把这些稻谷装入底面半径是2米的圆柱体粮仓中，粮仓高至少( )米。 39．把一块底面积是6.28平方厘米，高是12厘米的圆锥形钢胚，重新铸造成一块圆柱形钢胚。这个圆锥形钢坯的体积是( )立方厘米，若铸造成的圆柱形钢胚的底面半径是2厘米，则它的高是( )厘米。 40．一种儿童玩具陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱的时，陀螺会转得又快又稳。已知圆柱底面直径是4厘米，高是4厘米，这个陀螺的体积是( )立方厘米；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板。 突破题型十一含圆锥立体图形的切拼 41．一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 42．如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 43．把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 44．把一个圆锥体平行于底面截成两段，如图，截下的小圆锥的高是原来大圆锥高的一半，那么小圆锥的体积是原来大圆锥的( )。 突破题型十二含圆柱组合图形的表面积 45．计算如图形的表面积。（单位：厘米） 46．求下面组合图形的表面积。（单位：厘米） 47．求下图的表面积和体积。 48．计算下面图形的表面积。（单位：dm） 突破题型十三含圆柱组合图形的体积 49．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 50．一个圆柱截掉一部分后如图所示，求图中立体图形的体积。（单位：厘米） 51．计算下面图形的表面积和体积。 52．列式计算，求下面图形的表面积和体积（单位：cm）。 突破题型十四含圆锥组合图形的体积 53．求下面图形的体积。 54．计算下面图形的体积。（单位：cm） 55．计算下面图形的体积。 56．求图中的体积。         突破题型十五体积的等积变形 57．一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8厘米，高10厘米里装了一些水，把一个底面直径是4厘米的圆锥形铁块（完全淹没），水面上升了0.5厘米，圆锥的高是多少？ 58．一个圆柱形铁块的底面半径是6厘米，高是5厘米。把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少厘米？ 59．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 60．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 突破题型十六测量不规则物体的体积 61．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 62．小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 63．在一个底面半径是10厘米的圆柱形状的容器中装着一些水，水里放了一个底面直径10厘米的圆锥形状的铅锤，当铅锤从容器中取出后，容器中水面下降5毫米，铅锤的高是多少厘米？ 64．小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 学科网（北京）股份有限公司 $$