2025年中考数学一轮复习专项巩固练习15--二次函数与方程、不等式

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习15--二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．二次函数的图象与坐标轴的交点个数（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．4 3．如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表． x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表中数据可知，下列说法中正确的是（  ） A．抛物线的对称轴是直线 B．方程的解为， C．函数的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 6．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 7．已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知点，在二次函数（，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 二、填空题 9．已知抛物线与轴交于两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 10．将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 11．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 12．二次函数（a、b、c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为，可知关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 13．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ． 14．关于二次函数和，以下说法：①它们的开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是；③当时，它们的函数值都是y随x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点，其中正确的有 ．（填序号） 15．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，则关于x的方程的两根为 ． 16．如图，抛物线：（）交轴于点和点，顶点为点；将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，与轴的另一交点为点，顶点为点…，如此进行下去，直至得到抛物线，则抛物线的顶点的坐标为 ． 三、解答题 17．已知二次函数（为常数）． (1)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有交点． (2)当取何值时，该函数的图象与轴正半轴相交？ 18．已知抛物线 (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线与轴有两个交点，求的取值范围； (3)设点，在抛物线上，若，求的取值范围． 19．如图，已知二次函数的图像与x轴交于 A、B两点 (1)求A、B两点的坐标； (2)若点P在该二次函数的图像上，且的面积为6，求点P的坐标． 20．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别求出二次函数与轴和轴的交点个数即可得解． 【详解】解：当时，，故二次函数与轴的交点为， 当时，，此时，故二次函数与轴有两个交点， 综上所述，二次函数的图象与坐标轴的交点个数为个， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与性质，抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点问题等．根据抛物线的开口方向、对称轴和与坐标轴的交点可得出，，，即可判断A选项；根据抛物线的对称轴可得出，即可判断B选项；根据抛物线与坐标轴的交点和一元二次方程根的判别式，可得，即可判断C选项；根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的交点坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线的开口向上 ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， 即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 故；A选项正确，不符合题意． ∵， 故，B选项正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， 故方程有两个不相等的实数根， 即，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线的对称轴是直线，且过点， 故抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点是对应一元二次方程的解是关键．根据抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程的解为， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知函数经过，， 所以对称轴，故选项不符合题意； B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，， ∴抛物线与x轴的交点为和， ∴方程的解为，，故选项正确，符合题意； C、根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当时，函数有最大值，而不是，或1对应的函数值6，故选项错误，不符合题意； D、根据表中数据得到抛物线的开口向下，并且在直线的右侧，y随x增大而减小，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意求出对称轴为直线，从而得出即可判断①；由图象可得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，推出，即可判断②；求出，即可判断③；根据二次函数与轴的交点个数即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为，． ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故②错误； 由题意可得：， 解得：， ∴，故③正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得二次函数与轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的性质，二次函数与轴的交点，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数（，n为常数）， ∴当时，，， ∴二次函数的图象与轴的两个交点为， ∵点在二次函数（，n为常数）的图象上， ∴当时，若，则，得， ∴的取值范围是， 当时，则，当时，则，故选项B错误； 当时，若，则或，得或， ∴或， 当时，可能大于0也可能小于0，当时，则，故选项D错误； 当时，若，则或，得或， ∴或． 则不能确定正负，故选项A错误； 当时，若，则，得， ∴的取值范围是， 则，故选项C正确； 故选：C． 9．， 【分析】本题考查了二次函数与x的交点问题．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为方程的解，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 10．3 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解由与轴只有一个交点可得平移后的顶点纵坐标为0；根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”写出平移后表达式，再由顶点纵坐标为0即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位可得， 平移后的抛物线的顶点为：， 向下平移个单位后与轴只有一个交点， ， ， 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 12． 【分析】本题考查根据二次函数图像确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键． 由关于x的方程的一个根为，可得抛物线与x轴的一个交点为，由二次函数对称轴为直线，可得抛物线与x轴的另一个交点为，从而可得出方程的另一个根． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， ∵对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 13．且 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，且不过原点，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴有一个交点，且与轴、轴的不能为， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 14．①③/③① 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意第④问中是与坐标轴，并不是x轴，此处既包括x轴，也包括y轴． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数和，， ∴它们的开口方向、大小相同，故①正确； 二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为，的对称轴是直线，顶点坐标为，故②错误； 当时，它们的函数值都是y随x的增大而增大，故③正确； 二次函数与坐标轴有一个交点，与坐标轴有两个交点，坐标为，，故④错误； 故答案为：①③． 15． 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可求得关于x的方程的两根． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线， ∵与x轴的一个交点为， ∴与x轴的一个交点为， ∴两根为， 故答案为：． 16． 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，及顶点坐标，接着求出抛物线与x轴的交点，及顶点坐标，依据规律求出答案即可． 【详解】由题意，得抛物线与x轴的交点，顶点坐标为， 抛物线与x轴的交点，顶点坐标为； 抛物线与x轴的交点，顶点坐标为； ∴抛物线与x轴的交点，即， ∴的横坐标为，点的纵坐标与的纵坐标相同， ∴抛物线的顶点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，求抛物线的顶点坐标，平面直角坐标系内坐标的变化，弄清抛物线与x轴交点的变化规律是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程、二次函数图象与坐标轴的交点问题、解一元一次不等式等知识． （1）当时，，解得，，进一步分析即可得到结论； （2）求出该函数的图象与轴交点的纵坐标为，根据题意得到，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）证明：当时，， 解得，， 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不等的实数根． 无论为何值，该函数的图象与轴总有交点． （2）解：当时，． 该函数的图象与轴交点的纵坐标为．           当，即时，该函数的图象与轴正半轴相交． 18．(1)对称轴为直线 (2) (3)当时， 或；当时， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据题意，得到，列出不等式进行求解即可； （3）根据对称性求出点关于直线的对称点为，分和两种情况，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：由得 对称轴为直线； （2）解：当抛物线与轴有两个交点时： 则： ， 解得： ； （3）点，对称轴为直线 点关于直线的对称点为， 当时，由得：或 当时，由得：． 19．(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，解一元二次方程： （1）令，得，解一元二次方程即可； （2）根据（1）中结论得出，设点P坐标为，根据得出，解关于m的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， 点B在点A的右侧， ，； （2）解：由（1）得，， ， 设点P坐标为， 的面积为6， ，即， ， ， 当时，整理得：， 解得，， 当时，整理得：， ， 没有实数根， 综上可知，点P坐标为或． 20．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象即可求得； （2）求得直线经过点以及直线经过点时的的值即可； （3）求得直线经过点以及直线与函数相切时的的值即可． 【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为， 故答案为：； （2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根， 当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根， 当方程有四个不同的实数根时，， 故答案为：； （3）解：把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$