宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

银川一中2024/2025学年度(上)高二期末考试 数 学 试 卷 命题教师： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等差数列的前项和为，已知，则 A．28 B．30 C．32 D．36 2．已知，则 A．0 B．2 C．1 D． 3．点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 A． B． C． D． 4．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的 圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任 意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时 间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是 A． B． C． D． 5．设是等比数列的前项和，若，则 A．2 B． C． D． 6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知数列满足，则 A．2700 B．2721 C．5150 D．5151 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知，且在点处的切线与直线平行，则下列说 法正确的是 A． B．在上单调递增 C．有且仅有一个极值点 D．对任意，都有 10．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点.过的直线交双曲线的右支于两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点均在第一象限，则 A．当垂直于轴时， B．双曲线C与椭圆共焦点 C．点到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 D． 11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是 A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列的前项和为，则 . 13．已知是椭圆的左､右焦点，A是的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，且，则的离心率为 . 14．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 已知函数． 求函数的单调区间； 求在上的值域． 16．本小题15分 已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)若，求数列的前项和. 17．本小题15分 已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．本小题17分 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 19．本小题17分 已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 高二期末数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学答案 1、 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B D C A C D 2、 多选题 9 10 11 CD ABD ABD 3、 填空题 12. 4；13. /0.25； 14. 解析 3. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，故，即可求解． 【详解】 抛物线， 焦点,准线方程为. 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， 到该抛物线焦点的距离，解得， ∴点的横坐标为3. 故选:B． 4. 【答案】D 【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项. 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 故选：D. 5. 【答案】C 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：C 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题，解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得和的关系． 先把抛物线整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出和的坐标，然后利用和的坐标表示出的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程．  【解答】 解：抛物线的标准方程是，故F， 设，的中点， ， ，即． 故选A 7.【答案】C 【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围. 【详解】由得， 当在区间上单调递增时，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 对应函数在上单调递减，则，故. 故选C 8. 【答案】D 【分析】根据得到，相减以后可得，根据累加法、分组求和法，结合等差数列求和公式可求. 【详解】解：由，得，从而， 所以 ，即，① 又因为②， ②两式相加，得． 故选：D． 9. 【答案】CD  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 由及可求得的值可判断；根据导函数的正负判断函数的单调性以及极值，可判断、；再求得最小值，可判断． 【解答】解：， 在点处的切线与直线平行， ，， ，A错误； 由，解得：；由，解得：； 在上单调递增，在上单调递减， 因此，有且有一个极值点，B错误，C正确； ， 则对任意，都有，D正确； 故选CD． 10. 【答案】ABD 【详解】 对于A，当垂直于轴时，此时，故A正确； 对于B，因右焦点坐标为，故B正确； 对于C，设，而渐近线方程为， 故点到两条渐近线的距离之积为： ， 故C错误， 对于D，因右焦点坐标为， 故可设，， 由可得，， 而，又，故， 设，由可得， 故，而，故， 故，故，故D正确， 故选：CD. 11. 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义可判定A，利用等比数列与等差数列求和公式分组计算可判定B，利用等差数列的定义结合反证法可判定C，分类讨论n的奇偶解不等式即可判定D. 【详解】对于A，根据题意易知， 所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确； 对于B，同理，， 即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，， 则 ，故B正确； 对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列， 不妨设该三项为，则， 即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误； 对于D项，若n为奇数，则， ， 而由A项可知，递增，所以，，则， 若n为偶数，则，， 同理由A项可知，递增，所以，，则， 而，则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：第三选项可以利用反证法说明道理，第四选项，分奇偶项讨论结合函数的单调性计算最值即可. 12. 【答案】4 【分析】通过与的关系计算可得. 【详解】， 故答案为：4. 13. 【答案】/0.25 【分析】根据给定条件，可得为等边三角形，结合对称性得在轴上，求出点的坐标，再由直线的斜率求出椭圆的离心率． 【详解】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上， 令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为， 因此，所以的离心率为. 故答案为： 14. 【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的零点，属于基础题． 由题可知  有两个不等的实数解，画出函数示意图即可． 【解答】 解：函数  恰有两个零点等价于  有两个不 等的实数解， 令  ，则  ， 当  时，  递增，当  时，  递减  在处取得极大值，且为最大值， 当  ，可画出  的图象， 由图像知  时，和有两个交点． 4、 解答题 15. 【答案】解：函数，则， 当时，，当，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 单调递增区间是：，单调递减区间是： 由可得函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 则在上的最大值，最小值， 故在上的值域为．  16. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 17. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； （2）由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 18. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，表示出，结合二次函数性质，讨论即可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令，    联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 19. 【答案】(1)极小值为，没有极大值；(2)①正整数的最大值为，②证明见解析. 【分析】（1）求函数的导函数导函数，令，可得，分析函数的单调性，结合极值定义可得结论； （2）①条件可转化不等式，讨论，利用导数求函数的最值，列不等式求的范围可得结论； ②问题可转化为证明不等式， 根据①证明结论，由此可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 导函数，， 令，又， 所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 所以函数的极小值为，没有极大值； （2）①因为当时，恒成立， 所以当时，， 由（1）若时，则在上单调递减，在上单调递增， （a）当时，在上单调递增，满足题意； （b）当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 则的解集为， 综上满足条件的正数的取值范围，其中， 所以正整数的最大值； （ii）证明：要证 两边取对数，即证 也即证 由①知， 令，则 所以 所以 所以． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问解决的关键在于先利用分析法将问题转化为证明结论，再利用前面的结论先证明不等式，再结合数列求和公式即可证明结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$