精品解析： 江苏省南京师范大学附属树人学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

八年级数学作业单 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数（k、b是常数，）的图象经过一、二、四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一张三角形纸片，的平分线相交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点处．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的平方根是_______． 10. 已知月球与地球的距离约为，将精确到万位取近似值用科学记数法表示为______． 11. 比较大小：______1． 12. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小：______． 13. 在平面直角坐标系中，将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 14. 在中，，．则的面积为______． 15. 如图，，点D在边上，，则的度数为______°． 16. 如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为______． 17. 如图，和分别是边长为和的等边三角形，顶点，是边上的动点．顶点的位置随，在边上的运动而变化，连接，则的最小值为______． 18. 如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）求x的值：． 20. 如图，，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为． （1）点的坐标为______； （2）画出线段，使与关于轴对称；若以为斜边的是等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 22. 如图，在中，直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，与的平分线交于点E，连接、，延长至点F． （1）求证：； （2）连接，若，则______°． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； （3）若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 24. 如图，已知线段m，n．用两种不同的方法：求作，使，，边上的中线长为n．要求： （1）尺规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 25. 如图，在中，，是中线，作，垂足为，交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，则______． 26. 快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图像如图①所示． （1）甲、乙两地之间的距离为______，慢车的速度为______； （2）求线段所表示的y与x之间的函数表达式； （3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 27. 在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． （1）如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； （2）当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学作业单 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及关于轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点向右平移个单位长度，得到点，则， 作点关于轴的对称点，得到点， 点的坐标是． 故选：C． 3. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 4. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 若一次函数（k、b是常数，）的图象经过一、二、四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，象限内点的坐标特征．根据一次函数经过一、二、四象限得出，，再根据第二象限内坐标特征判断即可． 【详解】解：∵的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴点在第二象限， 故选：B． 6. 如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从降低运营成本、提高票价两种措施结合函数图象，逐项分析判断，即可求解． 【详解】根据直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故CD选项，不合题意， 直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了降低成本而保持票价不变，故B选项不合题意； 综上所述，乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，只有A选项中的图象符合题意， 故选：A． 7. 如图，一张三角形纸片，的平分线相交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点处．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠问题，角平分线定义，连接，由角平分线定义得到，由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，由角平分线定义得到，因此，得到，求出． 【详解】解：连接， ，的平分线相交于点， 平分， ， 由折叠的性质得到， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 已知月球与地球的距离约为，将精确到万位取近似值用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：（精确到万位）， 故答案为：． 11. 比较大小：______1． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．作差法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据表格中前两列的和的取值，得出随的变化关系，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 当时，；当时，； 因为，， 所以随的增大而减小． 又因为， 所以． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是 故答案为：． 14. 在中，，．则的面积为______． 【答案】60 【解析】 【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键． 15. 如图，，点D在边上，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质及等边对等角是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，最后根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到，当时，函数的图象都在函数的图象的上方，由此得到不等式，即的解集． 【详解】解：如图所示，一次函数与的图像交于点， ∴不等式，即的解集为 故答案为：． 17. 如图，和分别是边长为和的等边三角形，顶点，是边上的动点．顶点的位置随，在边上的运动而变化，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离；过点作于点，过点作于点．求出，，由题意点在平行的直线上运动，当直线时，的值最小． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 和分别是边长为和的等边三角形， ，， ， 由题意点在平行的直线上运动，平行线之间的距离为 当直线时，的值最小，最小值为 故答案为：． 18. 如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接、、，设直线m交于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得到、，进而得到是线段的垂直平分线，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据和，得到，则，从而得出的度数． 【详解】解：连接、、，设直线m交于点D，如图： 设 直线m，n分别是、的垂直平分线 、 、 是线段的垂直平分线 解得 故答案为：． 三、解答题（本大题共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，利用平方根定义解方程： （1）先计算算术平方根，零指数幂，立方根，再进行加减运算即可得到答案； （2）利用平方根的定义，解方程，即可求出x的值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 解得：或． 20. 如图，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，对角对等边，根据平行线的性质得出，再根据等角对等边得出，再根据证明即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为． （1）点的坐标为______； （2）画出线段，使与关于轴对称；若以为斜边的是等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义； （1）根据坐标系写出点的坐标即可； （2）利用轴对称变换的性质作出线段，再根据等腰直角三角形的判定作出，根据坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 ∵点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求， 以为斜边的是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 22. 如图，在中，直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，与的平分线交于点E，连接、，延长至点F． （1）求证：； （2）连接，若，则______°． 【答案】（1） 证明：如图，作，垂足为点G，，垂足为H， ∴， ∵直线l是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； （2）75 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作，垂足为点G，，垂足为H，证明即可得到； （2）利用线段的垂直平分线可推导出，再利用（1）的结论得到继而求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直线l是边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知． ∴． 故答案为：75． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； （3）若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）一次函数图象如图：； （3），且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征； （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数与坐标轴的交点坐标画出一次函数图象，根据函数图象写出不等式解集即可； （3）根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图象可知，当时，， 故答案为：>． 【小问3详解】 函数为常数，的图象和轴的交点坐标， 该函数与轴交点坐标为 当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为 即或 解得：或， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于， ∴且 24. 如图，已知线段m，n．用两种不同的方法：求作，使，，边上的中线长为n．要求： （1）尺规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1） 解：方法1，如图，为所作． 方法1，如图，为所作． （2） 解：方法1，∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意； 方法1，∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 方法1，先在直线l上取点B，过B点作，再在直线l上截取，然后分别以A和B点为圆心，n为半径画弧交于D，连接并延长交于点，则满足条件． 方法2，先在直线l上取点A，再在直线l上截取，然后分别以A和D点为圆心，分别m和n为半径画弧，两弧交于B，连接和，则满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，是中线，作，垂足为，交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，则______． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 在中，，是中线， ， ，垂足为， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． （1）连接，依题意得，是线段的垂直平分线，则，进而得，则，根据，得，则，由此得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由和全等得，，进而得，设，则，在中，由勾股定理可求，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 是直角三角形， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得： 故答案为：． 26. 快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图像如图①所示． （1）甲、乙两地之间的距离为______，慢车的速度为______； （2）求线段所表示的y与x之间的函数表达式； （3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 【答案】（1）300，50 （2）线段所表示的y与x之间的函数表达式为； （3） 解：当时，慢车行驶的路程为：， 当时，慢车行驶的路程为， 图象如图所示． . 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离，计算出慢车的速度； （2）根据题意，可以算出点A的坐标，然后根据待定系数法，即可求得线段所表示的y与x之间的函数表达式； （3）根据题意，可以计算出和时，慢车走的路程，然后即可画出相应的函数图象． 【小问1详解】 解：由图①可得， 甲、乙两地之间的距离为，慢车的速度为， 故答案为：300，50； 【小问2详解】 解：由图可得， 快车从甲到乙的速度为， 则快车从乙到甲的速度为， ∴快车从乙到甲的时间为：， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为， 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为， ∵点，点在该函数图象上， ∴， 解得， 即线段所表示的y与x之间的函数表达式为； 【小问3详解】 略 27. 在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． （1）如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； （2）当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 【答案】（1） （2）解：如图所示，在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3） 【解析】 【分析】（1）证明得出，根据题意，即可列出函数关系式； （2）在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）根据（2）的结论，分类讨论，得出点所形成的区域，进而得出与的函数表达式及对应的取值范围． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴，则 ∵， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：长方形中，， 分四种情况讨论， ①当时，如图所示， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当、点运动时，点所形成的区域等腰直角， ∴ ②当时，如图所示，同理可得，点所形成的区域为多边形， 由（1）可得， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴ ③当时， ∴ ④当时，如图所示 综上所述， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，函数表达式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $