精品解析： 江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 1.5，2，2.5 D. 5，12，13 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，则BC的长度为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 下列说法： ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等； ④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或． 其中，所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④ 6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 9. 如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 10. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 11. 如图，∠C＝90°，∠BAD ＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为____cm． 12. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________． 13. 如图所示，将长方形纸片进行折叠，如果，那么_________度． 14. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为__________． 15. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为______． 16. 如图，中，，已知平面内有一点，使得、、均为等腰三角形，则所有满足条件的点有______个． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 已知：如图，，，，、是垂足，．求证：． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 （1）作关于直线的轴对称图形； （2）的面积是_________ ； （3）在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 19. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 20. 证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 已知：　　； 求证：　　； 证明过程： 21. 如图，在中，，．点C在直线l上，分别过点A、B作直线l于点D，直线l于点F． （1）求证：； （2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 22. 如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：直平分； （2）已知，，求的面积． 23. 已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中，， （2）在图②中，，． 24. 已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，点E在AB上，ED⊥AC于点D，M为EC的中点． （1）试判断BM和DM有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）当AE＝2时，△BMD的面积是 cm2． 25. 如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当__________时，平分的面积； （2）求当t为何值时，为轴对称图形； （3）若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 26. 【引例】 如图，点、、在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形和，，，连接、．则与的关系是______． 【模型建立】 如图，在和中，，，，连接、相交于点．求证： ①； ②． 【拓展应用】 如图，在四边形中，对角线与交于点，，，．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】第1个行标是轴对称图形， 第2个行标不是轴对称图形， 第3个行标是轴对称图形， 第4个行标是轴对称图形， 所以共3个轴对称图形， 故选：C． 2. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 1.5，2，2.5 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故错误； B．，不能构成勾股数，故错误； C．1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； D．，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，则BC的长度为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，，即，解得BD=8，∴BC=16．故选D． 考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质． 5. 下列说法： ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等； ④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或． 其中，所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义及三边关系，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义及三边关系逐项判定即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，原说法正确； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，原说法是错误的； ③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确； ④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是，原说法是错误的； ∴正确的说法是①③， 故选：． 6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①连接CF,构造全等三角形,证明△ADF≌△CEF即可. ②通过①可得△DFE是等腰直角三角形,则斜边DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值. ③通过证明△ADF≌△CEF,进行等面积代换即可得出. ④通过结论③,换角度将四边形CDFE的面积分为△CDE与△DEF,令△DEF的面积最小即可. 【详解】①连接CF． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB， ∵AD＝CE， ∴△ADF≌△CEF， ∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD， ∵∠AFD+∠CFD＝90° ∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， 故本选项正确； ②∵△DEF是等腰直角三角形， ∴当DE最小时，DF也最小， 即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝BC＝4， ∴DE＝DF＝， 故本选项错误； ③∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF＝S△ADF， ∴S四边形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC 故本选项正确； ④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时， S△CED＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8， 故本选项正确； 综上所述正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题旨在考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的构造与应用,并结合动图和最值问题,熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形,应用数形结合的数学思维是解答关键. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 【答案】角平分线所在的直线 【解析】 【分析】根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 9. 如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意可得，且，，运用的方法，添加一条边 即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，，， ∵要运用“”判断， ∴添加的条件为：， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 10. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 【答案】5cm##5厘米 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键． 11. 如图，∠C＝90°，∠BAD ＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为____cm． 【答案】4． 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据CD=BC-BD计算即可得解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD， ∴DE=CD， ∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm， ∴DE=4cm，即点D到AB的距离为4cm． 故答案为4． 考点：角平分线的性质． 12. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 13. 如图所示，将长方形纸片进行折叠，如果，那么_________度． 【答案】55 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得∠1＝70°，利用折叠及平行线的性质，三角形的内角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度数． 【详解】解：由题意得EF//GH， ∵， ∴∠1＝∠BHG＝70°， ∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°， 由折叠可得∠2＝∠FEH， ∵AD//BC ∴∠2＝∠BHE， ∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°． 故答案为55． 【点睛】考查折叠问题；综合利用平行线的性质，三角形的内角和定理及折叠的性质解题是解决本题的思路． 14. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 16. 如图，中，，已知平面内有一点，使得、、均为等腰三角形，则所有满足条件的点有______个． 【答案】无数个 【解析】 【分析】作线段、的垂直平分线，分别以、、为圆心长为半径画圆，即可找到符合条件的点． 【详解】解：如图，作线段、的垂直平分线，分别以、、为圆心长为半径画圆， 据图可知，在的垂直平分线上，，，，，符合要求； 在的垂直平分线上，，，，符合要求； 在的垂直平分线上，，，符合要求； 在以为圆心，长为半径作的圆上，除、，，，，外，有无数个点符合要求． 综上，符合要求的点有无数个． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 已知：如图，，，，、是垂足，．求证：． 【答案】 证明：因为， 所以∠AED=∠BFC=90° 在Rt△AED和Rt△CFB中 所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL） 所以BF=ED 所以BF-EF=ED-EF 所以BE=DF 【解析】 【分析】先证Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根据全等三角形性质得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF. 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 （1）作关于直线的轴对称图形； （2）的面积是_________ ； （3）在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可． （2）利用分割法求三角形面积． （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积是 【小问3详解】 略 19. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 20. 证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 已知：　　； 求证：　　； 证明过程： 【答案】 已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 求证：BC=AB， 证明： 延长BC到D，使CD=BC，连接AD， ∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BD， ∴AD=AB， ∵∠ACB=90°，∠C=30°， ∴∠B=60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴BD=AB， ∵BC=CD=BD， ∴BC=AB. 【解析】 【分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 21. 如图，在中，，．点C在直线l上，分别过点A、B作直线l于点D，直线l于点F． （1）求证：； （2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：，， ． ， 又， ． 在和中 ，． ． （2） 证明：由（1）知：，，． ． 又． ． 整理，得． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得，，即可得出结论； （2）利用等面积法证得勾股定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，证明是解题的关键． 22. 如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：直平分； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分； （2）19 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识． （1）由角平分线性质得到，证明，则，即可证明直平分； （2）由（1）可知．根据，，即可求出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可知． ∵，， ∴． 23. 已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中，， （2）在图②中，，． 【答案】（1） 如图，，，即为求作的线段与直角； （2） 如图，线段，，即为求作的线段与角； 【解析】 【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握基本几何图形的性质并应用于作图是解本题的关键． （1）如图，先过作直线的垂线，垂足为，再以为圆心，为半径画弧，交直线于，，连接，即可；由等腰直角三角形的性质可得：，可得，； （2）如图，过作直线的垂线，垂足为，截取，以为圆心，为半径画弧，交直线于，作线段的垂直平分线交直线于，再以为圆心，为半径画弧交直线于，连接，，可得，连接，则，可得为等边三角形，可得，，可得，可得为等边三角形，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，点E在AB上，ED⊥AC于点D，M为EC的中点． （1）试判断BM和DM有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）当AE＝2时，△BMD的面积是 cm2． 【答案】 （1）位置和数量关系：BM⊥DM，BM＝DM． ∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，点M为EC的中点，AB＝BC， ∴BM＝CE＝CM，DM＝CE＝CM，∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴BM＝DM，∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD ∵∠BME＝∠MBC+∠MCB，∠DME＝∠MDC+∠MCD ∠MCB+∠MCD＝∠ACB＝45°， ∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝45°+45°＝90°， ∴BM＝DM，BM⊥DM （2）12.5 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根据三角形的外角性质解答即可； （2）利用勾股定理求出CE的长度，根据（1）已求证的结论可得到BM、DM的长度，再运用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1） 略 （2）由（1）知BM＝DM， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由（1）已证 ， ∴ ， ， 故答案是：12.5． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25. 如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当__________时，平分的面积； （2）求当t为何值时，为轴对称图形； （3）若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 【答案】（1） （2）当t为或2或秒时，为轴对称图形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中线平分面积求解即可； （2）根据题意可得为等腰三角形，再分四种情况分别求解即可； （3）在撒花姑娘截取，过点P作，垂足为F，交于E，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴为中点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：为轴对称图形，即为等腰三角形， 当时， ∴， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴ ∴， ∴； 当，点P在线段上时， 设，则， 在中，，即， 解得，不符合题意； 当，点P在线段上时，过点P作，垂足为M， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴； 综上，当t为或2或秒时，为轴对称图形； 【小问3详解】 解：在上截取，过点P作，垂足为F，交于E， 此时，，即为最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 26. 【引例】 如图，点、、在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形和，，，连接、．则与的关系是______． 【模型建立】 如图，在和中，，，，连接、相交于点．求证： ①； ②． 【拓展应用】 如图，在四边形中，对角线与交于点，，，．若，，求的值． 【答案】引例：，； 模型建立：证明：①如图，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 即； 拓展应用： 【解析】 【分析】引例：如图，延长交于，证明得到，， 进而可得，得到，即可求解； 模型建立：①如图，设交于点，证明即可求证；②由可得，进而可得，即可求解； 拓展应用：如图，作，截取，连接，证明可得，由勾股定理得，，得到，代入已知即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】引例：解：如图，延长交于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 模型建立：①略 ②略 拓展应用：如图，作，截取，连接，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $