8.3 实数及其简单运算（第2课时 实数的性质及运算）（分层作业）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

8.3 实数及其简单运算（第2课时 实数的性质及其概念）（分层作业） 基础训练 1.实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 2.已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和3 D．和 4．关于无理数，下列说法正确的有（     ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 5．的相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 ，绝对值与相反数的和为 ． 6．绝对值等于的数是 7． 的相反数是 ，绝对值是 ． 8．(1) 的倒数是 ， ． (2) 的绝对值是 (3)的相反数是 . (4)计算 ． (5)的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 9．计算； (1)； (2)． (3)； (4)． (5)： 能力提升 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 3．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 4．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 5.已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 6．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 声明：试题解析著作权属所有 ，未 拔高拓展 1．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 2．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 实数及其简单运算（第2课时 实数的性质及运算）（分层作业） 基础训练 1.实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断即可． 本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选C． 2.已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可． 【详解】解：，2024的倒数为， 故选：B． 【点睛】本题考查求有理数的绝对值，倒数，解题关键是掌握乘积等于1的两个数互为倒数． 3．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 答案．C 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【详解】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 5．的相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 ，绝对值与相反数的和为 ． 【答案】 / 0 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数，绝对值和实数的运算，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是； 的绝对值是， 的绝对值和相反数的和为， 故答案为：；；；． 6．绝对值等于的数是 【答案】 【分析】本题考查了实数绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：绝对值等于的数是， 故答案为： 7． 的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的定义即可得答案，实数的相反数与有理数的相反数相同，实数的绝对值与有理数的绝对值相同． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴绝对值是， 故答案为：，． 8．(1) 的倒数是 ， ． (2) 的绝对值是 (3)的相反数是 . (4)计算 ． (5)的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 【答案】 (1) / (2) 2 (3) / (4) (5) / / 0 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算； (1) 两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． (2) 先求的值，再根据绝对值的定义求即可 (3) 本题考查了无理数的认识，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． (4) 本题考查了实数的性质，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键；先根据实数的大小比较判断的正负，再根据绝对值化简即可． (5) 本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质．根据倒数、绝对值、平方根的性质，即可求解． 【详解】解：(1) ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴． 故答案为：，，． (2) 的绝对值是 (3)依题意，， 则的相反数是， 故答案为： (4)， ， ， 故答案为：． (5)的相反数为， 的绝对值是， 0的平方根是0． 故答案为：，，0． 9．计算； (1)； (2)． (3)； (4)． (5)： 【答案】(1)5 (2) (3)10 (4) (5) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根化简，求立方根的计算化简，再运用有理数的加减运算计算即可； （2）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． （3）分别求立方根，算术平方根，以及绝对值，再进行加减即可； （4）分别计算负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值，再进行相加减即可． (5)本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． (5) ． 能力提升 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 2．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 3．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 答案：A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 5.已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 6．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2)7 【分析】本题考查了实数的性质，平方根，熟练掌握平方根和绝对值的性质是解题的关键． （1）一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此列出，即可求出a和x的值； （2）把a、x的值代入，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴ ． 声明：试题解析著作权属所有 ，未 拔高拓展 1．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 答案．2024 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 2．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的定义新运算，数字规律，有理数的混合运算，代入求值，理解定义新运算的方法，理解新运算、找到规律是解题的关键． 根据差倒数的计算方法求出的值，找出规律，再运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：， ， ， ， …， 该列数是以，2这三个数循环出现， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$