微专题03 含参一次函数图像变换问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 微专题03 含参一次函数图像变换问题 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，随着取值的变化，一次函数与函数的图象公共点的个数分别为（    ） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 8．长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，若直线沿轴平移个单位后与△仍有公共点，则的取值范围是 ．    10．知识拓展：将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象．请解决以下问题： （1）写出翻折部分的函数表达式 ； （2）若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围是 ． 三、解答题 11．如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 12．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 13．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 16．如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)如图1，当点A坐标为时， ①求直线的解析式： ②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标； (2)将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值． 17．如图，直线与轴，轴交于点，，直线与轴，轴交于点，，．    (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)点在直线上， ①直接写出直线的解析式； ②若点在内部（含边界），求的取值范围； ③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有2023个整点，直接写出的值． 18．如图所示，将抛物线沿轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．    (1)直接写出新抛物线的解析式为　 　； (2)设新抛物线交轴于两点，交轴于，顶点为，作交抛物线于，如图所示，探究如下问题： ①求点的坐标； ②若一次函数的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点，连接，猜测直线与对称轴的夹角和一次函数的图象与对称轴的夹角之间的大小关系． 19．【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……． 【实践探究】 （1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到． 【问题解决】 （2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值． 20．如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D． (1)求二次函数解析式和一次函数解析式； (2)已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标； (3)记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数及其图像 微专题03 含参一次函数图像变换问题 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，随着取值的变化，一次函数与函数的图象公共点的个数分别为（    ） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．根据题意，作出图像，得出直线与二次函数以及的交点，即可求解． 【详解】解：当时，联立 得到 即 此时 当时，即时，有一个交点； 当时，联立 得到 即 此时 当时，即时，有一个交点； 作出，，，，的图像，如下图所示， 可知，当时，无交点 当时，有两个交点 当时，有一个交点 故交点个数可以是0，1，2 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相关知识．过点作于点，根据题意可得：此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等），当为的中点时，即为所求，先求出，，进而求出，再将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点，则直线的解析式为，与反比例函数联立可得，然后利用判别式求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 3．平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，由得，根据将直线向右平移3个单位得到，可得，直线解析式为，即可得，又将作关于x轴的对称图形，故，因将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，故，，可得，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，如图： 在中，令得， ∴， ∵将直线向右平移3个单位得到， ∴，且直线， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵将作关于x轴的对称图形， ∴， ∵将绕与y轴的交点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E到x轴距离为， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐标． 4．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由题意知，直线在之间平移变化时，交点个数为4个，分别求出与图象只有3个交点时的值；当有3个交点时，将代入求解即可；当有3个交点时，根据与有1个交点，列一元二次方程，根据求解即可；进而可得的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，， 解得， ∴过点时，直线与图象有3个交点， 将代入得， 解得； 当与有1个交点时，与翻折后的图象有3个交点， ∴， 整理得， 令， 解得， ∴由图象可知，当时，直线与图象有4个交点 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，一元二次方程的根等知识．解题的关键在于数形结合找出交点为4个时一次函数的位置． 二、填空题 5．如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．分别利用当直线过点C时及当直线过点A时的值，据此即可求解． 【详解】解：一次函数中，令，得， ， 将联立方程组得： ，解得：， ， 一次函数中，令，则， 故， 直线过定点，如图， 当直线过点C时，将代入得： ，解得：， 当直线过点A时，则直线与轴平行， 所以将直线绕点D从直线位置逆时针旋转到直线位置时，与没有交点， 故直线与没有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于交于， ∵直线经过点， ∴， ∴直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点，点， 把点代入得，， 解得； 把点代入得，， 解得； ∵点落在矩形的内部（不含边界）， ∴， 故答案为：． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【详解】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线 轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 8．长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可． 【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为， ， ， 设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E， 如图，当直线在的下方时， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， 令，得， ， ， ， （负值舍去）， 如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， ， 令，得， ， ， ， 或9（舍去）， 故答案为：2或5． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，若直线沿轴平移个单位后与△仍有公共点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意画出图形，求出点的坐标，再求出过点和点且与直线平行的直线解析式，分别求出与轴的交点坐标即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，如图，    ， 根据勾股定理得，， 又 对于，当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 设过点且与直线平行的直线解析式为， 把代入，得：， ， ， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为 设过点且与直线平行的直线解析式为 把代入得：， ， 当时，， 与轴的交点坐标为 ∴直线沿轴平移个单位后与仍有公共点，则的取值范围是，即， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，一次函数图像的平移，求出直线与轴的交点坐标是解答本题的关键 10．知识拓展：将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象．请解决以下问题： （1）写出翻折部分的函数表达式 ； （2）若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】 y＝﹣（x+1）2+4 ﹣＜b＜或b＞ 【分析】（1）求出函数顶点坐标，根据翻折后顶点坐标及开口方向变化求解． （2）作出y＝|x2+2x﹣3|的图象，根据b值的变化直线上线平移，结合图象求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线顶点坐标为 ，开口向上， ∴翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为 ， ∴ ， 故答案为：． （2）令x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0）， 如图，直线 经过（﹣3，0）， 将（﹣3，0）代入得0＝+b， 解得b＝﹣， b增大，直线向上移动，当直线经过（1，0）时，如图，    将（1，0）代入得0＝﹣+b， 解得b＝， ∴﹣＜b＜满足题意． 直线向上移动，当直线与抛物线y＝﹣（x+1）2+4有1个交点时，如图，    令﹣x+b＝﹣（x+1）2+4，整理得x2+x+b﹣3＝0， ＝（）2﹣4（b﹣3）＝0， 解得b＝， b增大满足题意， ∴b＞， 综上所述，﹣＜b＜或b＞， 故答案为：﹣＜b＜或b＞． 【点睛】本题考查了二次函数图像与一次函数图像及二次函数图像与x轴的交点问题，运用数形结合思想是解决本题的关键． 三、解答题 11．如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 12．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)n的值为或． 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．    （2）解：如图，    对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为； 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，n的值为或． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 13．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 14．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)1或9 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出反比例函数的解析式，从而可求出，再次利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出平移后的一次函数解析式为，再联立平移后的一次函数解析式和反比例函数解析式，整理出关于x的一元二次方程，结合图像有且只有一个公共点，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，最后根据其根的判别式求出m的值即可； （3）过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，可求出．设．分类讨论：①当点P位于上时，如图点，可得出，，从而可求出，，进而由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可；②当点P位于延长线上时，如图点，同理由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可； 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入，得， 解得：， ∴． ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：将一次函数向下平移个单位后的解析式为， 联立， 整理，得：． ∵平移后的一次函数与反比例函数的图像有且只有一个公共点， ∴一元二次方程有2个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值为1或9； （3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点C， ∵，， ∴， ∴． 设． 分类讨论：①当点P位于上时，如图点， 则，， ∴，． ∴，即， 解得：， 所以此时点P坐标为； ②当点P位于延长线上时，如图点， 则，， ∴，． ∴，即， 解得：， 所以此时点P坐标为． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，利用待定系数法求函数的解析式，函数的交点问题与一元二次方程的根的判别式的关系，坐标与图形等知识．掌握“函数的交点坐标与方程组的解的联系”和利用分类讨论和数形结合的思想是解本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数, 是常数,)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换． （1）解方程: 得，，然后求出直线经过点 时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到直线与图象恰好有个交点时，的值. （2）求出直线经过点时的值，结合（1）的结果即可得到直线与图象恰好有个交点时的取值范围. 【详解】（1）如图，当时，， 解得 ， 则，， 当直线经过时, ， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 解得 ， 所以当直线与图象恰好有个交点时，或 ． （2）当直线经过点时, 解得 观察图象，若直线 与图象恰好有个交点时，的取值范围为或 ． 16．如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)如图1，当点A坐标为时， ①求直线的解析式： ②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标； (2)将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式； ②作，过C作于Q；联立与反比例函数解析式，求得的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，同（1）可得，证明I为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即I是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可； 【详解】（1）解：①∵在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B， 则， 解得或， ∴， ， 如图，过P作分别交x轴、y轴于点M、N，过C作于Q， 设的距离为d，则， 解得， ∴的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移2个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， 或； （2）解：过点作于J，交于点，交于点，如图，    ∴， 由题意可知直线的解析式为， ∴， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴I为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即I是的中点， 联立，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 17．如图，直线与轴，轴交于点，，直线与轴，轴交于点，，．    (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)点在直线上， ①直接写出直线的解析式； ②若点在内部（含边界），求的取值范围； ③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有2023个整点，直接写出的值． 【答案】(1)点A的坐标为，直线的解析式为； (2)①直线的解析式为；；②的取值范围是；③的值为2021． 【分析】（1）令，，得到点A的坐标为，利用，求得点C的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①直接写出直线的解析式即可； ②联立，分别求得直线与、的交点坐标，据此即可求解； ③求得，当、1、2，求得直线在第二象限整点个数，找出规律，按照规律求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴点A的坐标为，则， ∵，∴， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴，∴直线的解析式为； （2）解：①∵点在直线上， ∴直线的解析式为；； ②解方程组，得， 解方程组，得， ∵点在内部（含边界）， ∴的取值范围是； ③将直线向上平移个单位长度，则直线解析式为， 直线在第二象限，则，， 解得，当x为奇数时，y为整数， 当时，，则，x可取两个点； 当时，，则，x可取三个点； 当时，，则，x可取四个点； ， 当时，x可取2023个点； ∴的值为2021． 【点睛】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力． 18．如图所示，将抛物线沿轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．    (1)直接写出新抛物线的解析式为　 　； (2)设新抛物线交轴于两点，交轴于，顶点为，作交抛物线于，如图所示，探究如下问题： ①求点的坐标； ②若一次函数的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点，连接，猜测直线与对称轴的夹角和一次函数的图象与对称轴的夹角之间的大小关系． 【答案】(1) (2)①；②相等 【分析】（1）根据抛物线平移的原则：上加下减，左加右减，即可得到答案； （2）①由抛物线可得点坐标为，顶点坐标为，连接，设点，分别求出的长，再根据勾股定理进行计算即可；②将一次函数表达式与二次函数表达式联立得：，根据求出的值，从而即可得到一次函数解析式，根据平移的性质即可得到平移后的解析式，再根据对称的性质可以得到的坐标，判断是否在函数图象上即可得到答案． 【详解】（1）抛物线沿轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 抛物线表达式为：， 故答案为：； （2）解：①， 令，则， 则点坐标为，顶点坐标为， 连接，如图所示，   ， 设点， ，，， ， ， 即， 解得：， ， 点的坐标为； ②将一次函数表达式与二次函数表达式联立得： ， 整理得：， ， 解得：， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点坐标为， 将直线向上平移两个单位，此时函数的解析式为：， 抛物线的对称轴为，点的坐标为， 关于对称轴的点的坐标为， 当时，， 点在一次函数上， 是等腰三角形，所以两角相等． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键． 19．【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……． 【实践探究】 （1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到． 【问题解决】 （2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值． 【答案】（1）图见解析，性质：①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大（合理即可）；右，3； （2）①或；② 【分析】（1）利用描点法画出图象即可；根据图象即可得出结论； （2）①根据（1），分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，根据题意结合图象求解即可；②分k>3时，当−1≤k≤3时，当k<−1时，求解即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=3，当x=2时，y=1， 当x=3时，y=0，当x=4时，y=1，当x=5时，y=2， 则“绝对值函数”y=|x−3|的图象图象如图所示： 由图可知，“绝对值函数”y=|x−3|的图象①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大． “绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到， 故答案为：右，3； （2）①由（1）知，“绝对值函数”y=|x−k|的图象可以由y=|x|的图象向右或向左平移｜k｜个单位得到，由题意，分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，如图所示： 由题意，当n的最大值为3时，点P在CD上， 由图可知，当n的最大值为3时，k的取值范围为−4<k<0或2<k<6． ②由题意，当k>3时，|3−k|=k+3，无解； 当−1≤k≤3时，k+3=0，k=−3舍去 当k<−1时，|−1−k|=k+3，k=−2． 综上，当n的最小值为k+3，满足条件的k=−2． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换的综合、画函数的图象、绝对值，借助数形结合思想解决问题是解答的关键． 20．如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D． (1)求二次函数解析式和一次函数解析式； (2)已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标； (3)记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1)， (2)(-2，3) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而可以求出点B的坐标，代入点B求一次函数解析式； （2）利用二次函数对称轴，可求出该二次函数的对称轴，根据函数的对称性即可求出点F的坐标； （3）根据一次函数平移的规律口诀（上加下减相对于b，左加右减相对于x），直线BE向上平移，当经过点A时为最小平移情况；当经过C时为最大平移情况；当经过抛物线顶点时即相切，恰有一个公共点，进而求出h的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2-2x＋c经过点A(-3，0)，C(0，3)，则 解得： ∴二次函数解析式为 ∴把y=0代入 即 解得：或-3 ∴点B的坐标为（1，0） 代入一次函数 即 解得： ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意得：二次函数的对称轴为 ∵点C与点F关于关于抛物线的对称轴对称 ∴点F的坐标为(-2，3)； （3）解：由题知，由函数平移规律可得： ①当直线BE不与抛物线相切时， 当一次函教向上平移h个单位后，新函数为 当新函数经过点A时，为最小平移情况 代入A(-3，0)得， 解得：； 当新函数经过点C时，为最大平移情况 代入C(0，3)得， 解得： ∴h的取值范围为； ②当直线BE与抛物线相切时， 方程，即 有两个相等的实数根 ∴△=0 即 解得： 综上所述：h的取值范围为，． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，解二元一次方程等知识，综合性强．解题的关键是平移后一次函数的图象与二次函数交点的讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$