重难点03 一次函数与反比例函数综合问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 重难点03 一次函数与反比例函数综合问题 题型01 根据系数判断反比例和一次函数的图像 方法总结： 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 1．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（   ） A．B．C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 4．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型02 利用反比例函数与一次函数的交点求解 方法总结： 反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点， 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 4.在平面直角坐标系中直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A．B． C． D． 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 方法总结： 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键， 1．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 2．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 3．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 4．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 5．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 6．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 7．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 题型04 一次函数与反比例函数的几何综合 方法总结： (1)掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积:. (2)解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想: (3)涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题; (4)反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键:(5)作图要根据步骤做规范作图。 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 题型05 一次函数与反比例函数的其它综合应用 1．如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 2．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 3．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 4．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围． 5．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数及其图像 重难点03 一次函数与反比例函数综合问题 题型01 根据系数判断反比例和一次函数的图像 方法总结： 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 1．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 首先由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，，进而得出一次函数图象经过第二、四象限且与轴正半轴相交，于是得解． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ，， 函数的图象应经过第一、二、四象限， 故选：B． 2．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的位置问题. 分两种情况分析：与时分别进行讨论即可得. 【详解】当时图象经过第一、二、三象限； 的图象在第一、三象限； 当时，图象经过第一、二、四象限； 的图象在第二、四象限； 只有选项A符合条件. 故选：A 3．在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键． 【详解】解：①当时，过一、二、三象限；位于一、三象限； ②当时，过二、三、四象象限；位于二、四象限． 观察图形可知，只有B选项符合题意． 故选B． 4．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据二次函数的图象可得的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得． 【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴位于轴的右侧， ， ， ， 由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， 由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限， 故选：B． 5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型02 利用反比例函数与一次函数的交点求解 方法总结： 反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点， 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 2．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 3．如图，直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集， 先确定交点的横坐标，再根据双曲线在直线上方，即为反比例函数值大于一次函数值，进而得出自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】根据题意可知，当或时，． 故选：B． 4.在平面直角坐标系中直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的对称性即可得知：直线与反比例函数的图象有唯一公共点，结合函数图象即可得出当直线在直线的上方或直线在直线的下方时，直线与反比例函数的图象有2个公共点，由此即可得出m的取值范围． 【详解】解：如图， ∵直线与反比例函数的图象有唯一公共点， 根据对称性可知，直线与反比例函数的图象有唯一公共点， ∴根据图象可知当直线与反比例函数的图象有2个公共点时， 或． 故选：D． 5．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，由一次函数与反比例函数图象得出，，从而得出抛物线对称轴为直线，由反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为得出，再求出对称轴为直线，结合抛物线对称轴的位置即可得出答案． 【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限， ， 一次函数交于轴于正半轴， ， 反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为， ， ， ， 解得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 对称轴为直线， 对称轴在到之间， 函数的图象可能为 故选：A． 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 方法总结： 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键， 1．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 2．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，有理数加减法等． （1）设直线的函数解析式为：，代入这个坐标，即可得到，再代入继而得到本题答案； （2）设关闭阶段的函数解析式为：，把代入得到即可得答案； （3）先求出当时，，再求出当时，，继而求出气温低于的总时间为：，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时，， ∴恒定温度为：； （2）解：由（1）可知： 设关闭阶段的函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 当时，， ， 在20时～24时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 3．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 4．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 5．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 6．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 7．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 【答案】(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数） (2)个月 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用， （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论； 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数， 设升级改造前y与x的函数表达式为， 当时，， ∴，即， ∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）； 当时，， ∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元， ∴， ∴升级改造后y与x的函数表达式为（ 且为整数）， ∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）； （2）在中， 当时，， ∵， ∴在该象限中，随的增大而减小， ∴时，， 在中， 当时，， ∴， ∴且为整数． ∴可取，，，，；共5个月． ∴资金紧张期共有个月． 题型04 一次函数与反比例函数的几何综合 方法总结： (1)掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积:. (2)解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想: (3)涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题; (4)反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键:(5)作图要根据步骤做规范作图。 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可； （2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 把代入得，， 反比例函数的表达式为； ， 或； （2）解：设点，过点作轴平行线交直线于， 点， ， ， ， 解得或，（负数已舍）， 点的坐标为或； （3）解：点位于点左侧， ， ①当四边形为矩形时， 如图：过作直线轴，过作直线，过作直线， ， ， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为， 代入， 得， 直线解析式为， 联立得， ， 或2， ， 移动到， 移动到， ， ②当为矩形时， ， 设直线解析式为， 代入，得， 直线解析式为， 联立得， ， 或1， ， 移动到， 移动到， ， 综上所述，点的坐标为或． 2．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)8 (3)存在，或或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出的面积即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， 把、代入，得： ，解得：， ∴； （2）设直线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）存在； 设， ∵， ∴，，， 是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①，则：， ∴， ∴或； ②，则：， 解得：（舍去）或； ∴； 综上：存在或或，使是以为腰的等腰三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，符合条件的点N有4个，、，或 【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出、的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值； （3）假设存在，设点M的坐标为，分别以为边、为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为． ∵点E为直线上一点， ∴． 将点代入中， 得：，解得：； （3）解：假设存在，设点M的坐标为， 以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分三种情况（如图所示）： ①以线段为边，且点N在直线右侧时， ∵，，E为线段的中点， ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 解得：，， ∴或， ∵，， ∴或； ②以线段为边，且点N在直线左侧时，， ∴． 解得，． ∴． ∵，， ∴． ③以线段为对角线时，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，即． 综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个， 坐标为、，或．（写到一个即可） 【点睛】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）分线段为边、为对角线两种情况来考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分别以给定的线段为边和为对角线考虑，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键． 4．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)点M的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可； （2）求出，分别求出和的面积，相加即可； （3）根据C、D的坐标和图象得出即可； （4）设，分两种情况讨论并结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即一次函数的表达式为， 把，代入得：，， 解得，， 即，， 把C的坐标代入得：， 解得：； （2）解：由可知：当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或； （4）解：设， 则，，， ∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时， 综上，点M的坐标为或． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】(1)，； (2)①8；②符合条件的点P坐标是和． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质． 题型05 一次函数与反比例函数的其它综合应用 1．如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析，函数的图象在时，有最大值3 (3)或 【分析】（1）根据局 等腰三角形三线合一证明是的角平分线，是垂直平分线，求出，再利用直角三角形30度角所对的边是斜边的一半，得到，勾股定理求出，即可得到； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：等腰中，，，点为的中点， ，是的角平分线，， ， ， ， 的周长为：； 根据题意得：， ，， ， ， 在中，， 的周长为：， ； ， 当时，点Q在上运动，此时，； 当时，点Q在上运动，此时，； 综上，； （2）解：函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值3； （3）解：根据函数图象： 当时，， 时，或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 2．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可； （2）图象法确定自变量的值即可； （3）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：， ∴； 当时，同法可得：， 当时，设，把，代入得：， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）由图象和表格可知，当时，； 故答案为：； （3）由图象可知：当或时，方程有1个解； 当时，方程有3个解； 当时，方程有2个解， 当时，方程无解． 3．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 4．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）由两个函数的交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 5．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，求出与切于点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解． 【详解】（1）解： 点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ， 直线的解析式为； （2）解：直线为， ． ， ， 设， 如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，， ． ， ． ∴； （3）解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则 与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点， 由题意，， ． 相切， 判别式． （负数舍去）． 此时．与轴的交点为，， ， ， ，， 此时．与轴的交点为， ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$