微专题04 函数背景下的运动变化问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 微专题04 函数背景下的运动变化问题 一、单选题 1．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则图②中的值是（    ） A．56 B．54 C．48 D．36 3．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 5．如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 6．如图①，在矩形中()，动点P从点C出发，以的速度沿方向运动至点B处停止．设点P的运动时间为，的周长为．若y关于x的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图1，矩形中，E为上一点，点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D．设运动时间为t秒，，图2是点P运动过程中y随t变化的函数图象．当时点p运动到点D，则a的值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ． 10．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ． 11．图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 三、解答题 12．如图，在中，，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动，到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 14．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 15．如图1，在中，，点D从A点出发，沿线段向终点B运动．过点D作的垂线，与的直角边（或）相交于点E．设线段的长为，线段的长为h． (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻，的长度进行测量，得出如表几组数据： 变量a（） 0 2 3.6 4 6 7 8.2 9.4 10 变量h（） 0 1.5 2.7 3 4.5 4 2.4 0.8 0 在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线． (2)根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，________；当时，_________． ②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由； ③下列说法正确的是______．（填“A”或“B”） A．变量a是以h为自变量的函数            B．变量h是以a为自变量的函数 (3)如图4，若在内扫过的图形面积等于，则a是多少？ 16．如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 17．如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 18．如图，四边形是边长为6的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒4个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 19．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为，点到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图的直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数的图象如图所示，结合函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留位小数，误差不超过） 20．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并求出t的取值的范围； 21．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 22．如图，在正方形中，，点为的中点，点为的三等分点（），将点沿的方向以每秒1个单位的速度运动，连接，，，记运动时间为，三角形的面积为．      (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出该函数的一条性质：_______________________； (3)结合函数图像，直接写出当时的值：________．（结果保留一位小数） 23．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 25．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为（这里规定：线段是面积0的几何图形），点的运动时间为． (1)填空：______cm，与之间的距离为______cm； (2)在点运动过程中，求与之间的函数解析式． 26．如图，四边形中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动（不含起点和终点），到点停止．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积不大于3时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 27．图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 28．一次数学课上，张老师让同学们在网格纸上画出函数的图象，下面是小宇同学通过列表、描点、连线画函数图象的过程的一部分，请你完善探究过程，并解决相关问题． x … 0 4 8 16 … y … 0 a 15 16 b 12 0 … (1)绘制函数图象： ①如表是y与x的几组对应值，则表中________，________； ②在如图1所示的平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出表中剩余坐标对应的x点，并画出这个函数图象； (2)如图2，小宇同学准备了若干张等腰直角三角形纸片，其中，． 探究一：若按照如图3方式将两张等腰三角形纸片摆放在平面直角坐标系中，其中点D在x轴上，边所在直线始终与x轴平行，点F和点重合，D，E，F三点按顺时针顺序排列，请通过计算说明当，全部落在x轴上方抛物线内部（不包括边界）时，最左边三角形纸片顶点E的横坐标m的取值范围是多少？ (3)探究二：如图4，若等腰直角在平面内平移运动，并且边所在直线始终与x轴平行，抛物线始终与边相交于点Q，且D，E，F三点按顺时针顺序排列，抛物线始终与直线交于点P．（运动时，点P不与点E，F两点重合） ①当时，等腰直角左右平移时，求出点E横坐标m的最大值； ②在①条件下，当时，求出点E的坐标． 29．如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点，以为边向右侧作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．    (1)当点在边上时，正方形的边长为_____（用含的代数式表示）； (2)当点不与点重合时，求点落在边上时的值； (3)当时，求关于的函数解析式； (4)直接写出边的中点落在正方形内部时的取值范围． 30．【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数及其图像 微专题04 函数背景下的运动变化问题 一、单选题 1．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图， ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 2．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则图②中的值是（    ） A．56 B．54 C．48 D．36 【答案】C 【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，到点，继续运动点到点，点自己运动到点，结合图象信息求解即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，时，、重合，，此时， 根据题意，得： 解得， 四边形是矩形， ， ， 由图象可知， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，      ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结，根据反比例函数的中心对称性可得，即得是的中位线，所以，当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，求出，的值，即得答案． 【详解】连结， 正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 点A与点B关于原点O对称， ， 点Q是AP的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心C时，取得最大值，最大值为， 联立， 解得或， ， ， ， 点P在1为半径的上运动， ， ， 长的最大值为． 故选A． 5．如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，动点问题的函数图象等，根据图可知，当时，点运动到点，点运动到的中点，的面积为，进行计算即可，解题的关键是根据图象分析得到时，点运动到点，点运动到的中点，且的面积为． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的速度是点速度的倍， ∴，， 由图可知，当点在上运动时，的面积为， 当时，的面积为，即， 此时点为的中点， 故， 解得：， 故选：． 6．如图①，在矩形中()，动点P从点C出发，以的速度沿方向运动至点B处停止．设点P的运动时间为，的周长为．若y关于x的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据的周长随着点P的位置变化，结合图2求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式计算即可，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 【详解】解：如图，根据题意可知，当时，点P与点A重合， ，， ∵四边形为矩形， ， ． 在中， ， ，解得或， ， ， ， ． 故选：D． 7．如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 8．如图1，矩形中，E为上一点，点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D．设运动时间为t秒，，图2是点P运动过程中y随t变化的函数图象．当时点p运动到点D，则a的值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的信息的获取，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键． 当时，点P在B点处，可得，当点P在点E处时，可知此时y取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点P运动到点D，过E点作于点N，结合图象有：，在中，，据此即可作答． 【详解】解：当时，点P在B点处，， ∴结合图象有：，即， 当点P在点E处时，， 如图，连接， ∴，， ∴可知当点P运动到E点时，y取最小值， ∴结合图象有：， ∵在中，， ∴， ∴解得：或者， ∴或者， ∵， ∴，， 当时点P运动到点D，过E点作于点N，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵结合图象有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴解得：， ∴， ∵点P沿折线以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D， ∴当时，点P运动到点D． 故选：D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、矩形的性质，解题的关键是正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等．利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， 当点在抛物线的顶点时，最小，最小值为， 四边形是矩形， ， 对角线的最小值为， 故答案为：． 10．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为，则 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴可设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当直线与二次函数只有一个交点时， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时直线的解析式为，当时，， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 11．图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，斜边上的中线等于斜边的一半，坐标与图形，图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图（2）中点的纵坐标． 【详解】由图象可知：∵点P从点A出发，沿三角形的边方向以秒的速度顺时针运动一周， ∴，， 当时，即点运动了， 此时点在线段上，， 则为线段的中点， 又∵ ， ∴． ∴图（2）中的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在中，，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动，到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出的取值范围为，再分两种情况：和，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据一次函数图象的画法画出两段函数图象，再写出函数的增减性即可得； （3）先求出这三个临界点处的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 当时，点在（含两个端点）上运动， 则， ∴的面积为； 当时，点在（含端点）上运动， 则， 如图，过点作于点， 在中，， ∴的面积为， 综上，． （2）解：在直角坐标系中画出的函数图象如下： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：将点代入得：，解得， 将点代入得：， 将点代入得：，解得， 由函数图象可知，若与的图象有且只有一个交点，则或． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，代数式，相似三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意得，，，将代入即可得，，根据勾股定理即可求解． （2）根据，，用三角形面积公式即可表示． （3）分两种情况，和，根据对应边成比例可分别求得值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴． 当时，，， 由勾股定理得． （2）解：∵，，， ∴的面积． （3）解：分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：． ∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先求出的值，再分两种情况：①动点在直线上运动；②动点在直线上运动，求出的值，建立方程求解即可得． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：对于一次函数， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴的边上的高为， 则的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ①当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 15．如图1，在中，，点D从A点出发，沿线段向终点B运动．过点D作的垂线，与的直角边（或）相交于点E．设线段的长为，线段的长为h． (1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻，的长度进行测量，得出如表几组数据： 变量a（） 0 2 3.6 4 6 7 8.2 9.4 10 变量h（） 0 1.5 2.7 3 4.5 4 2.4 0.8 0 在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线． (2)根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，________；当时，_________． ②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由； ③下列说法正确的是______．（填“A”或“B”） A．变量a是以h为自变量的函数            B．变量h是以a为自变量的函数 (3)如图4，若在内扫过的图形面积等于，则a是多少？ 【答案】(1)作图见详解； (2)①1.5，5.3或7；②h有最大值，最大值为4.5；③B； (3)在内扫过的图形面积等于，是． 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及三角形面积，函数图象等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）描点，连线即可画出图象； （2）①观察图象可得答案； ②观察图象可得答案； ③由函数定义可得答案； （3）观察表格得当时，．再列方程可解得答案． 【详解】（1）以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线作图如下： 以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线作图如下： （2）解：①由表格可知，当时，； 由图象可知，当时，或7； 故答案为∶1.5，5.3或7； ②由图象可知，h有最大值，最大值为4.5； ③根据函数的定义可得，h是a的函数， 故答案为∶B； （3）解：由表格可知，当时，， ， 解得或 (舍去)， 在内扫过的图形面积等于，a是． 16．如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当点在上运动时，即时，当点在上运动时，即时，分别利用三角形面积公式计算即可得解； （2）根据（1）中所求的解析式画出图象即可得解； （3）画出图象，采用数形结合的解法求解． 【详解】（1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：函数恒过， 如图： ， ∵函数与的图象有且仅有2个交点， ∴直线一定在和之间， 将代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴． 17．如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 18．如图，四边形是边长为6的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒4个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）分类讨论、两种情况，画出对应的图形即可求解； （2）描点、连线即可完成作图； （3）作出直线，确定其与函数的图象的交点横坐标即可求解． 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】（1）解：∵在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒4个单位长度，且四边形是边长为6的正方形， ∴（秒），（秒），（秒）， ①当时，动点在上运动， 作，如图1:   ， ， 是正方形的中心， ， ； ②当时，动点在上运动， 作，如图：    此时， ∵O是正方形的中心， ， ∴， ； 综上所述：； （2）解：依题意，如图3：    当时，随的增大而减小（或时，随的增大而增大，答案不唯一）； （3）解：作出直线，如图4，    可知直线与函数的图象的交点横坐标为2和， 的面积为3时，或． 19．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为，点到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图的直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数的图象如图所示，结合函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，的值随着的增大而增大，当时，的值随着的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（）分两种情况：点在线段上，和点在线段上，，利用相似三角形的性质解答即可求解； （）根据一次函数的解析式画出图象，再根据图象写出该函数的一条性质即可； （）观察图像，由函数的图象在的图象上方或两者的相交位置，即可确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当点在线段上，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，如图，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，； （2）解：列表得： t 0 4 7 y 0 2.4 0 画图如下： 由图可得，当时，的值随着的增大而增大，当时，的值随着的增大而减小； （3）解：当时，表明函数的图象在的图象上方或两者的相交位置，由图象可知此时或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，求函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，根据相似三角形的性质求出函数的解析式是解题的关键． 20．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并求出t的取值的范围； 【答案】(1)2秒或第4秒 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． （1）设运动时间为t秒，则，然后再根据的面积得到关于t的一元二次方程，求解之即可得答案； （2）根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴， 整理，得， ∴， ∴或； 故运动开始后第2秒或第4秒时，的面积等于； （2）解：∵运动开始后第t秒时， ∴， ∴， ∴． 21．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 22．如图，在正方形中，，点为的中点，点为的三等分点（），将点沿的方向以每秒1个单位的速度运动，连接，，，记运动时间为，三角形的面积为．      (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出该函数的一条性质：_______________________； (3)结合函数图像，直接写出当时的值：________．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)图象见解析，函数的最大值为 (3)0.7或4.8 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，进行分类讨论求出一次函数解析式是解答本题的关键． （1）分点在和上两种情况讨论，在上时，根据求解即可；在上时，根据求解即可； （2）根据列表，描点、连线画出图象即可； （3）结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∵为的中点， ∴ 又点为的三等分点（）， ∴ ①当点在上运动时，即，此时，， ∴ 即； ②当点在上运动时，即，如图， 此时，， ∴ ， 即： 综上， （2）解：①画的图象 列表： x 0 3 y 描点，连线，如下图： ②画的图象 列表： x 3 6 y 描点，连线，如上图： 性质：函数的最大值为， 故答案为：函数的最大值为 （3）解：由图象知，当时，的值约为0.7或4.8 故答案为：0.7或4.8 23．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理： （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （2）解：列表如下： … 1 2 … … … 1 6 … … … 1 2 … 12 6 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 24．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， 补全图象如图所示：    （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 25．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为（这里规定：线段是面积0的几何图形），点的运动时间为． (1)填空：______cm，与之间的距离为______cm； (2)在点运动过程中，求与之间的函数解析式． 【答案】(1)6， (2)． 【分析】（1）先根据菱形的性质求得、，再利用根据勾股定理即可求得；然后再根据菱形的性质和面积公式求得与之间的距离即可； （2）当时，在点运动过程中，分点在线段上和点在线段上两种情况分别解答即可． 【详解】（1）解：菱形中，，， ， ， 设与间的距离为， 的面积， 又的面积， ，即， 解得：． 故答案为：6，； （2）解：①如图：当点在线段上，即时， 四边形是菱形， ， ， ， ； ②如图：当点在线段上，即时， 菱形， ， ， ， ， ， ； 综上，与之间的函数解析式． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、求函数关系式等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键． 26．如图，四边形中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动（不含起点和终点），到点停止．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积不大于3时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随的增大而增大； (3)或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，能画出图象，根据图象写出性质，解题的关键是分类讨论． （1）分类讨论：①当在边上时，②当在边上时，③当在边上时，由三角形的面积分别求解即可； （2）画出图象，根据图象写出性质即可求解； （3）根据图象即可求解； 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ①当点在上时，即， 则， ， ②当点在上时，即， 则，， ， ③当点在上时，即， 则， ， 综上，； （2）解：根据关于的函数关系式表格如图， x 0 2 4 6 10 11 12 y 0 6 12 10 6 3 0 图象如图： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而减小； （3）解：面积不大于3， 即， 根据图象，可得或． 27．图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 28．一次数学课上，张老师让同学们在网格纸上画出函数的图象，下面是小宇同学通过列表、描点、连线画函数图象的过程的一部分，请你完善探究过程，并解决相关问题． x … 0 4 8 16 … y … 0 a 15 16 b 12 0 … (1)绘制函数图象： ①如表是y与x的几组对应值，则表中________，________； ②在如图1所示的平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出表中剩余坐标对应的x点，并画出这个函数图象； (2)如图2，小宇同学准备了若干张等腰直角三角形纸片，其中，． 探究一：若按照如图3方式将两张等腰三角形纸片摆放在平面直角坐标系中，其中点D在x轴上，边所在直线始终与x轴平行，点F和点重合，D，E，F三点按顺时针顺序排列，请通过计算说明当，全部落在x轴上方抛物线内部（不包括边界）时，最左边三角形纸片顶点E的横坐标m的取值范围是多少？ (3)探究二：如图4，若等腰直角在平面内平移运动，并且边所在直线始终与x轴平行，抛物线始终与边相交于点Q，且D，E，F三点按顺时针顺序排列，抛物线始终与直线交于点P．（运动时，点P不与点E，F两点重合） ①当时，等腰直角左右平移时，求出点E横坐标m的最大值； ②在①条件下，当时，求出点E的坐标． 【答案】(1)①12；15；②图象见解析 (2) (3)①，②或 【分析】（1）①把，代入函数关系式计算即可；②先描点，再画图即可； （2）过D作交于点H；求解，可得当时，，可得，．求解，再进一步可得答案； （3）①过P作于点J，求解．可得，可得D的纵坐标为．再进一步可得答案；②过Q作于点T，求解．，可得．Q点纵坐标为．求解Q点横坐标为或．从而可得答案； 【详解】（1）解：①当时， ， 当时， ； ②如图所示． ； （2）解：过D作交于点H； ∵，， ∴． 在中， ， ∴． 当时，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （3）解：①过P作于点J， ∵， ∴． ∵，， ∴． 当时，， ∴， ∴D的纵坐标为． 当时，，， ∴当D坐标为时， 点D与点Q重合，m最大值为． ②过Q作于点T， ∴， 在中， ， ∴． ， ∴， ∴． ∴Q点纵坐标为． 当时，， ，． ∴Q点横坐标为或． ∴或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数值，画二次函数的图象，平移的性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 29．如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点，以为边向右侧作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．    (1)当点在边上时，正方形的边长为_____（用含的代数式表示）； (2)当点不与点重合时，求点落在边上时的值； (3)当时，求关于的函数解析式； (4)直接写出边的中点落在正方形内部时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件得到，求得，由于为中点，于是得到； （2）如图①，延长交于，由题意得，由于为中点，得到，求得，列方程于是得到结论； （3）如图②，当时，根据正方形的面积公式得到；如图③，当时，过作于，交于，则，根据正方形和三角形面积公式得到；如图④，当时，，根据三角形的面积公式得到结论； （4）当与重合时，为的中点，得到，当为的中点时，，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形中，， ∴ ∵， ，， ∵点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点， ， 为中点， ， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图①，延长交于，    ∵在等腰直角三角形中，， ∴ ∵， ，， 为中点， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ； （3）解：如图②，    当时，， ； 如图③，      当时，过作于，交于，则， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， ， ， ； 如图④，    当时，， ， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵正方形与重叠部分图形的面积是， ， ， ． 综上所述，； （4）解：∵在等腰直角三角形中，， ∴ ， ∵， ∴ 当与重合时，为的中点， 即， ， 当为的中点时，， ∴在直角三角形中， 解得， ， ， ， 边的中点落在正方形内部时的取值范围为：． 【点睛】本题考查了 图形运动问题(实际问题与二次函数)，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 30．【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用， （1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可． 【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，      则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得 ，解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系   运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，   点Q在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 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