模型四 一半模型（教用版）-小升初数学复习几何模型专练

模型四 一半模型 练习1-1 如图，在△ABC中，点D、E、F是边BC上的四等分点。已知△ABC的面积是48cm2, 求阴影部分的面积。 B D EFC 【解答】由题意可知，BD+CF=2BC。根据一半摸型，Sm利=S△AD+SAMT=SAM÷2=48÷ 2=24(cm2) 练习2-1 如下图，在长方形ABCD中，点E是边AD上的一点，CF⊥BE。已知BE=8cm, CF=11cm,求长方形ABCD的面积。 【解答】如下图所示，连接CE。SABc=8X11÷2=44(cm2),根据一半模型，S△B=S长移ABD÷ 2,故S长*形ABCD=44×2=88(cm2)。 20/94 练习2-2 如图，四边形ABCD是长方形，四边形DEFG是梯形，DE∥GF,且点A是边EF的 中点。已知梯形DEFG的面积是29dm2,那么长方形ABCD的面积是多少平方分米？ B GC 【解答】如下图所示，连接AG。根据一半模型，S△ADG=S方利ABcD÷2=S形D℉G÷2,故 S共方形ABD=S标形D5F0=29dm2。 G 练习2-3 如图，四边形ABCD与四边形AEGF都是平行四边形，已知平行四边形ABCD的面积 为10cm2,平行四边形AEGF的面积是多少平方厘米？ 【解答】如下图所示，连接BE。根据一半模型，S△AE=S◆行m边琴ABD÷2=S+行mAF÷2, 故S年行四地形AGF=S年行网边利AHCD=10Cm'。 21/94 练习2-4 如图，倾斜正方形AGFE的顶点G恰好落在水平正方形ABCD的边BC上。如果水平 正方形ABCD的面积是16cm2,图中阴影三角形的面积是1cm2,那么倾斜正方形AGFE的 面积是多少平方厘米？ 【解答】如下图所示，连接DG。根据一半模型，Sm影+SADAG=S方形AGE÷2,S△DAG S是岁形ABCD÷2=16÷2=8(cm2),则S期彩十S△DAG=1+8=9(cm2),Sm彩十S△DAG=SL方形AFE÷ 2=9(cm2),故S正方#AGFE=9X2=18(cm2)2 练习2-5 如图，点P为平行四边形ABCD外的一点，已知△PAB的面积是7cm2,△PCD的面 积是3cm2,求平行四边形ABCD的面积。 【解答】如下图所示，过，点P作DC的平行线构成平行四边形DCEF。根据一半模型可知， S△PAB=S平件g边郑ABEF÷2,S△PCD=S年仔每政形DCF÷2,则S年件四边彩ABE5=2S△PAB=2X7=14(cm2), S年行W边斯DC证=2S△FCD=2X3=6(Cm2),故S平特四边形ABD=S平行四地转ABEF一S+任g边形DCEF=14 6=8(cm2)。 22/94 练习2-6 如图，在长方形ABCD中，AB=18cm,AD=10cm,EF∥AB,求阴影部分的面积。 E D 【解答】根据一半模型，长方形AEFB中阴影部分的面积等于长方形AEFB面积的一半，长 方形EDCF中阴影部分的面积等于长方形EDCF面积的一半，则长方形ABCD中阴影部分 的面积是长方形ABCD面积的一半，故S期移=18×10÷2=90(cm2)。 练习2-7 如图，一个长方形被分成4个不同的三角形，绿色三角形的面积占长方形面积的，黄 色三角形的面积是21cm。长方形的面积是多少平方厘米？ 红 红 绿 【解答】根据一半模型，S发他三角形十S体心三，形=2S市物；已知S绿心三角形=20S长方粉，则S青心三角利 -号S书-SA=S封-动5=0S封8已知黄色三角形的面积是2引m 3 7 故S长方号=21÷20=60(cm2% 23/94 练习2-8 如图，在正方形ABCD中，点E、F为BC、CD上的任意点，连接AF、BF、AE、DE 后，正方形被分成了若干部分，其中有3个部分的面积分别为8cm2、12cm2和30cm2,求 图中阴影部分的面积。 ①F ② 30 C ④ 【解答】根据一半模型，S△AFB=S△AE十SADXCE=SE琴ABCD÷2,则S①十S②十Sm影=S十8+ 12+S①+30，故Sm影=12+30+8=50(cm) 练习2-9 如图，在长方形ABCD中，△AEB的面积为20dm2,△AED的面积为9dm2,求阴影 部分的面积。 F 【解答】根据一半模型，图1中，SAADC=S△AD十S△AC十SADEC=S共方形AD÷2;图2中，S△A+ S△DEC=S长考形ABD÷2;由此可得出S△AED十S△ABC十S△DEC=SAAB十S△DEC,则S△AE=SAAD十 S△A5c=20(dm2),故S△Ac=SAAm-S△AD=20-9=11(dm2)a 图1 图2 24/94 练习2-10 如图，已知长方形ABCD的长为18cm,宽为10cm,AE=2EB, D BF=3FC,CI=IG=GD,AH=3HD,长方形内的一点O与长方形上各 E 点连接。求阴影部分的面积。 F 【解答】根据一半模型，如图1，S△A0D十S△B0C=S△A0B+S△D0C=S方和ACD÷2=18X10÷2 90(em。知图2，在△A0B中，因△AOB与△A0E等高，已知AE=号AB,剥S△E= 2 2 2 2 SAAB:同理，在△DOC中，SaaG=3Sae,SAADE+SaaG=3SA0m+号SaC=青(SA0a十 Sa0C)=专×90=60(em2)。如图3，同理可得，S△0+SAc0p=4(Saa0D+Sac)=× 90=22.5(cm2)。综上可得，Sm影=S△A0E+S△c0G+S△D0H十SACOR=60+22.5=82.5(cm2) 图2 图3 练习2-11 如图，长方形ABCD的面积为30cm2,△DMA的面积为5cm2,△CNB的面积为6cm2, 且OD=OB,OA=OC,则四边形PMON的面积是多少平方厘米？ D B 【解答】如图1，根据一半模型，S△AP阳=S△0AD+S△0Hc=S共方形AcD÷2=30÷2=15(cm2);因 S△DA+S△CB=5+6=11(cm2),则S△oA+S△oB=15-11=4(cm2)。如图2，因OD=OB, OA=OC,可得出△OAD与△OAB等底等高，△OAB与△OCB等底等高，△OCB与△OCD 等底等高，则S△OAD=S△OAn=S△COD=S△cOB,S△OAB= 4S长方形BCD=30÷4-7.5(cm2),故 Sw边形mM0N=SA△AB-S△0AB-(S△oA十S△oNB)=15-7.5-4=3.5(cm2) 图 图2 25/94 练习2-12 如图，平行四边形ABCD的面积是60cm2,△ABE的面积为10cm2, △FEC的面积为14cm2。求阴影部分的面积。 B E 【解答】如下图所示，连接BF、AC。根据一半模型，S△ABC=S平特g造刚AB©D÷2=60÷2=30 (cm2),已知S△AE=10cm2,则S△ABc=SAABC-S△AE=30-10=20(cm2),S△ABE:S△A5 10:20=1:2。在△ABC中，△ABE与△AEC等高，则BE:EC=S△AaE:S△AC=1:2。 在△BFC中，SAFE:S△Fc=BE:EC=1:2,则SAFBE=14÷2=7(cm2),SABFC-=S△FBE+ S△Ec=7+14=21(cm2)。根据一半模型，S△BFc+S△ADF=S平村四速形ABCD÷2=30(cm2),则 S△ADF=S+行g边形ABCD÷2一S△BFC=30一21=9(Cm2),故S阴形=S平#四地形ABCD-S△ABE一S△FEC S△ADF=60-10-14-9=27(cm2)。 练习2-13 如图，过平行四边形ABCD内的一点P分别作边AD、AB的平行线EF、GH。若 △APC的面积为6dm2,那么平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大多少 平方分米？ B H 【解答】如图1，连接PB、PD。如图2，根据一半模型，S△ABc=SAAPD十SABPC=S行四造刚ABCD÷ 2,即S△APB十S△BPC十S△APC=S△AFPD十S△IPeO所以S△AP阳十S△APe=S△APD,即S△APD-S△A阳 SA△A=6dm2。如图3，根据一半模型，S手行回地雅A5FD=S△APDX2,S手柠边影A1G=S△A阳X2。根 据同增同减差不变原理，故S手行四连彩PDF一S平#四迪形PE时=S本行四边AFD一S平行四晚考ABHG=S△APDX 2-S△A阳X2=(S△4PD-S△AB)×2=6X2=12(dm2)。 图 26/94 练习3-1 如图，在梯形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，点O为EF上一点。已知 S:和S2的面积分别为5cm2、15cm2。求梯形ABCD的面积。 【解答】在△ADO中，△AEO与△DEO等高，已知AE-DE,则S=S=5cm';在△BCO中， △BFO与△CFO等高，已知BF=FC,则S4=S2=l5cm2。根据一半模型，Sm8=Sm#ABCD÷ 2,则S1十S2+S+S4=S梯形ABCD÷2,故SABCD=(S1+S2+S1+S4)×2=(5+15+5+15)×2= 80(cm) 练习3-2 如图，在梯形ABCD中，E、F为两条腰上的中点，已知△AND和△BCM的面积分别 为8m2和14m2,求四边形EMFN的面积。 【解答】根据一半模型，S△ADE十S△HFC=S△AFB=S怀NABD÷2,所以S△ADE一SAANE十S△BC S△EBB=S△AFB-S△ANB一S△B,故Sg边形EN=S△AD十S△BMC=8十14=22(m2)。 27/94 练习3-3 如图，在梯形ABCD中，E为AB的中点，△EBF和△EDF的面积分别为8dm和 12dm2,求梯形ABCD的面积。 【解答】如图I,在△DBA中，△DBE和△DAE等高，且AE=BE,则S△DAE=S△DBE S△BF+S△F=8+12=20(dm2)。如图2，在△EBD中，△EBF和△EDF等高，则S△EF: S△mF=BF:FD=8:12=2:3。如图3，在△BCD中，△BCF和△DCF等高，则S△BCF: S△DcF=BF:FD=2:3。设△BCF的面积为2a,则△DCF的面积为3a。如图4，根据一半 模型，S△Dr=S△cBE+S△ADE=S怀形ABcD÷2,可列出方程2a+8+20=3a+12,解得a=16,故 S标形ABcD=(3a+12)×2=(3×16+12)×2=120(dm2) 图1 图2 图3 图4 练习4-1 如图，已知四边形EFGH的面积是40cm2,E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、 CD的中点，求S+S2+S+S4的值。 S D H C 【解答】根据一半模型，四边形EFGH的面积是四边形ABCD的一半，S四边形H=S四边形AD÷ 2,则S1十S2+S3十S4=S■边形6H,故S1+S2十S3+S4=40(cm2)。 28/94 练习4-2 如图，在四边形ABCD中，E是边AD的中点，F是边BC的中点，四边形EDFB的 面积为20cm2,那么四边形ABCD的面积是多少？ 【解答】根据一半模型，Sg边号DFB=S回边彩ABCD÷2,则S楚写ABCD=Sm地制DFBX2,故S四造形ACD= 20×2=40(cm2)。 练习4-3 如图，在四边形ABCD中，DE:EF:AE=2:1:1,BG:GH:CG=2:1:1,已知 四边形ABCD的面积为6m2,则四边形EFGH的面积是多少？ 4 B H G 【解答】如图I,连接BE、BD、DG。在△DBC中，△DBC与△DGC等高，BC=3CG,则 SADGC= 3 SADEC;在△ADB中，△ADB与△AEB等高，AD=3AE,则SAB= S△ADB。故 S△C十S△AEB=3S△DBC十3S△AB=3(S△DBC十S△ADB)=3S跑荐AaCD。如图2，S地彩EDG= 2 2 Sm地参ABCD-(S△DGc+S△Mm)=3S日地特BCD=3X6=4(m2)。由题意可知EF=FD,BH= HG,根据一半模型，Sm地带GH=2S晚每G=2X4=2（m2) F D 图2 29/94