（从课本到奥数）第一讲：时钟问题-数学六年级下册奥数人教版

从课本到奥数 六年级·寒假 LOREM 第一讲 ：时钟问题 知识精讲 钟表问题的概念 常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、分针和秒针之间的位置关系，这和我们前面学习过的环形路线问题是很像的.可以将三种针想象成绕着钟表不断奔跑的三个人：时针是一位老人，他慢悠悠的，12个小时才能在钟表上散步一圈；分针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年，活力无限，每分钟都绕着钟表欢快地跑过一圈. 但同学们会发现，这样的速度表示法并没有明确地说明三种针的速度，所以我们考虑能不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是米/秒或千米/时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不适用的，那我们用什么来表示时针、分针和秒针的速度呢？ 钟表问题的速度 我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，于是，利用这个“格”来表示时针、分针和秒针的速度.经过计算，我们容易得出： 时针的速度：5格/时= 格/分； 分针的速度：60格/时=1格/分； 秒针的速度：3600格/时=60格/分=1格/秒. 知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题. 典型例题 时钟、分钟重合问题 1．现在是下午3点整，再过（    ）分时针与分针第一次重合。 A．25 B．20 C．18 D． 【答案】D 【分析】本题可以类比为追及问题来解决。首先算出分针每分钟转动的度数，再算出时针每分钟转动的度数，本题中时针与分针第一次重合，即分针需要追90°才能追上时针，最后根据“追及时间＝路程出÷速度差”来解决。 【详解】分针速度：360÷60＝6（度/分钟） 时针速度：30÷60＝0.5（度/分钟） 追及时间：90÷（6－0.5） ＝ ＝（分钟） 因此再过分钟时针与分针第一次重合。 故答案为：D 2．12点整时，钟面上的时针、分针、秒针刚好重合。请你计算，再过多长时间，钟面上的时针与分针再次重和？重合时，时针、分针分别走了几圈几格？ 【答案】分钟；1圈格；格 【分析】分针每分钟走，时针每分钟走，因此再次重合分针超时针，分针与时针再次重合时，分针与时针相差，可设再过分钟时针和分针再次重合，列方程解答即可求出再过多长时间； 60分钟分针走1圈，重合时间减去60分钟，就是分针与时针走的小格数。 【详解】设再过分钟时针和分针再次重合。 （分），此时分针走了1圈格，时针走了格。 答：设再过分钟时针和分针再次重合；重合时此时分针走了1圈格，时针走了格。 时钟、分钟夹角问题 1．钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？ 【答案】 【详解】此题属于追及问题，但是追及路程是4格（由原来的40格变为15格），速度差是，所以追及时间是：（分） 2．在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？ 【答案】9点23分；9分钟. 【详解】试题分析：在钟面上分针每分钟走1格，时针每分针走个格，每个格对应的圆心角是6°，据此可求出9点23分时时针和分针之间的度数，然后再根据追及问题求出经过多少分钟，时针和分针第一次垂直．据此解答． 解：9点23分时，时针超过9，23分走过的格子，是23×=（格） 分针从23分到9之间的格子数是：45﹣23=22（格） 22+=23（格） 在9点23分时，时针和分针的夹角是 23×6=143.5（度） 90度之间的格子数是：90÷6=15（格） 经过的时间是 （23﹣15）÷（1﹣）×1 =8÷×1 =9（分） 答：时针和分针的夹角是143.5度，从这一时刻开始，经过9分钟，时针和分针第一次垂直． 点评：本题的关键求出9点23分时，分针和时针之间的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数，求出它们的夹角是多少，进而根据所及问题求出所经过的时间． 快慢钟问题 1．望望家里有一个闹钟，每小时比标准时间慢10分钟。晚上9时整，望望对准了闹钟，并将闹钟定在了第二天早上7时整，闹钟第二天早上会在标准时间 响起。 【答案】9时 【分析】计算出晚9点整（21时）到早上7点整一共是几个小时（多少分钟），除法算出走慢的这个钟表（每小时走50分钟）需要经过多少小时才能走完这些分钟，那么晚上9时整加上钟表需要走的时间就是闹钟响起的时间，据此解答。 【详解】24时－21时＋7时＝10时 （时） 晚9时经过12小时后是早上9时。 闹钟第二天早上会在标准时间9时响起。 【点睛】本题考查时间24时制的换算、经过时间的计算。 2．一个快钟每小时比标准时间快1分，一个慢钟每小时比标准时间慢3分，在某个时间把他们同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9时整时，慢钟显示8时整．两个钟在什么时间调到标准时间？ 【答案】5点45分 【详解】试题分析：从条件可以知道，快钟和慢钟每小时相差（1+3）分，当两个钟相差（9﹣8）时，再求出快钟经过的时间，由此即可得出标准时间；因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟经过的时间是（15÷1）时，所以是15时前将两个钟同时调准的，即此时的标准时间的15时之前调准的． 解：60÷（1+3）， =60÷4， =15（时）， 快钟15时比标准时间快了15分钟， 所以，此时的标准时间是：8点45分； 因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟15÷1=15（时）， 所以是15时前（即在8点45分的前15时），即5点45分将两个钟同时调准的； 答：两个钟在5点45分调到标准时间． 点评：考查了时间与钟面．解答此题的关键是，根据快钟和慢钟每小时相差的时间，求出钟经过的时间，即可得出答案． 其他时钟问题 1．钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？ 【答案】9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等 【分析】（1）当时针和分针重合时，分针和时针的位置与7点的距离相等，当时针指向9时，分针指向12，它们相差9×30=270度，根据时间=路程÷速度差，可求出这时的时刻； （2）时针和分针位于数字“7”的两侧，9点整时，时针与数字7的夹角是6×10=60度，分针与数字7的夹角是6×35=210度，设经过x分钟，两针与7点的距离相等这时时针与数字7的夹角为60+0.5x度，分针与数字7的夹角为210﹣6x度，根据夹角相等可列出方程，求出时间，据此解答． 本题的关键是两种情况来进行讨论然后再根据追及问题和列方程的方法进行解答． 【详解】（1）9×30÷（6﹣0.5） =9×30÷5.5 =49（分钟） 当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分． （2）解：设经过x分钟，两针与7点的距离相等 60+0.5x=210﹣6x 6.5x=150 x=23 当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分． 答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等 2．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 【答案】40分钟． 【详解】试题分析：根据题意，设冬冬看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°），可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故动画片一共放的时间可求． 解：设看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°） 由题意，得 解得x=20° 因时针每小时走30° 则小时，即动画片一共放的时间是40分钟． 答：动画片一共放了40分钟． 方法二：分针走一分走了6度，即分针的角速度是：6度/分，时针一分走0.5度，即角速度是：0.5度/分 开始时分针在时针后面110度，后来是分针在时针前面110度， 这是一个追及问题 设共用了X分 （6﹣0.5）x="110+110" 5.5x=220 x="40" 答：动画片一共放了40分钟． 点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 跟踪训练 1．从时针指向4时开始，至少再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 2．从9点开始计算，什么时候时针与分针第一次重合？ 3．在7点与8点之间，钟面上时针和分针在什么时刻重合？ 4．现在是2点整，再过多少分钟时针与分针首次重合？ 5．12点整时，钟面上的时针、分针、秒针刚好重合。请你计算，再过多长时间，钟面上的时针与分针再次重和？重合时，时针、分针分别走了几圈几格？ 6．4点48分，时针与分针形成的夹角是多少度？ 7．现在是2点整，再过多少分，时针与分针首次成90°？ 8．现在是7点整，再过多少分，时针与分针首次成直角？ 9．钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？ 10．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°，那么此人外出多少分钟？ 11．古董店有两个还在走的古老时钟，一个每天快15分钟，另一个每天慢24分钟，现将两个古老时钟同时调到标准时间，则至少需要经过多少天才能同时显现出标准时间？ 12．小明晚上9点将手表对准，可早晨8点到校时却迟到10分钟，那么，小明的手表每小时慢几分钟？ 13．有甲、乙两只手表，甲表每小时比乙表快2分钟，乙表每小时比标准时间慢2分钟，请问甲表是否准确？ 14．从前有一位老钟表匠，为一个教堂装一只大钟．他年老眼花，把长短针装配错了，短针走的速度反而是长针的12倍．装配的时候是上午6点，他把短针指在“6 ”上，长针指在“12”上．老钟表匠装好就回家去了．人们看这钟一会儿7点，过了不一会儿就8点了，都很奇怪，立刻去找老钟表匠．等老钟表匠赶到，已经是下午7点多钟．他掏出怀表来一对，钟准确无误，疑心人们有意捉弄他，一生气就回去了．这钟还是8点、9点地跑，人们再去找钟表匠．老钟表匠第二天早晨8点多赶来用表一对，仍旧准确无误．请你想一想，老钟表匠第一次对表的时候是7点几分？第二次对表又是8点几分？ 15．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒．在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？ 16．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 17．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？ 18．爷爷的老式钟一点也不准，它的时针与分针每隔分钟重合一次。问这只时钟每天快或慢多少分钟？ 19．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？ 20．某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分（标准时间）时针与分钟才能重合一次，工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作1小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元，如果一个工人照此钟工作8小时，那么他实际上应得到工资多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．分钟 【分析】表盘上，有12个大格，走一圈是360°，每个大格就是30°。时针每过一小时，就是走一个大格，即时针每小时走30°，也就是60分钟走30°，即每分钟走0.5°；分针1小时走一圈，也就是60分钟走360°，则每分钟走6°。 4点时，时针与分针之间的夹角是4个大格，也就是120°，当时针和分针第一次重合时， 分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似，行程问题中的距离相当于这里的角度，行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度。实际上是分针比时针多走，依据这一关系列出方程即可求解。 【详解】解：设从4点开始，经过分钟，时针和分针第一次重合。 答：至少再经过分钟时针正好与分针重合。 2．分 【分析】表盘上，有12个大格，走一圈是360°，每个大格就是30°。时针每过一小时，就是走一个大格，即时针每小时走30°，也就是60分钟走30°，即每分钟走0.5°；分针1小时走一圈，也就是60分钟走360°，则每分钟走6°。 9点时针和分针成，时针每分走0.5度，分针每分走6度。等量关系为：时针走的时间分针走的时间，把相关数值代入求解即可。 【详解】解：设9点分时，分针与时针重合。 答：时针与分针在9点分时第一次重合。 3．7时38分 【分析】时针每分钟走的角度是360°÷12÷60＝0.5°，分针每分钟走的角度是360°÷60＝6°。钟表上每大格是30°，在7点与8点之间时针与分针重合时，分针走的角度比时针多30°×7＝210°，根据数量关系列方程解答。 【详解】时针每分钟走的角度：360°÷12÷60＝0.5° 分针每分钟走的角度：360°÷60＝6° 解：设从7点开始经过x分，时针与分针重合。 6x－0.5x＝30×7 5.5x＝210 x＝38 答：钟面上时针和分针在7时38分重合。 【点睛】本题考查钟表问题，明确时针和分针重合时的走的角度差是解题的关键。 4．10分 【分析】如图所示，2点整时针指向数字2，分针指向数字12，在旋转过程中，分针速度快，时针速度慢，快的追慢的，当分针追上时针时，两指针就重合了，所以说这是一个追及问题． 以大格为单位，追及路程是2（个大格），时针的速度是格/分，分针的速度是格/分，用“追及路程÷速度差=追及时间”． 【详解】解：2÷（－）=2÷=10（分） 答：再通过10分，时针与分针首次重合． 5．分钟；1圈格；格 【分析】分针每分钟走，时针每分钟走，因此再次重合分针超时针，分针与时针再次重合时，分针与时针相差，可设再过分钟时针和分针再次重合，列方程解答即可求出再过多长时间； 60分钟分针走1圈，重合时间减去60分钟，就是分针与时针走的小格数。 【详解】设再过分钟时针和分针再次重合。 （分），此时分针走了1圈格，时针走了格。 答：设再过分钟时针和分针再次重合；重合时此时分针走了1圈格，时针走了格。 6．144度 【详解】360×-360×-30×=144（度） 7．27分 【详解】（2+3）÷（－）=5÷=27（分） 8．21分 【分析】如图所示，七点整，时针指向数字7，分针指向数字12．分针旋转速度比时针快，每个大格对应的圆心角是30°，3个大格所对应的圆心角就是90°．也就是说分针与时针成直角，两指针相差3个大格．目前（7点整）相差7个大格．要想相差3个大格，分针必须追上时针（7－3=）4个大格．用路程差（4格）除以速度差，就是所需追及时间． 【详解】解：（7－3）÷（－）=4÷=21（分）． 答：再过21分钟，时针与分针首次成直角． 9． 【详解】此题属于追及问题，但是追及路程是4格（由原来的40格变为15格），速度差是，所以追及时间是：（分） 10．40分钟 【分析】通过上面的例子，看到有时是将格数除以，有时是将格数除以，这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差。对于这个问题，大家还可以将题改为：“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是110°”，答案还是40分钟。 【详解】如下示意图，开始分针在时针左边110°位置，后来追至时针右边110°位置。 于是，分针追上了110°＋110°＝220°，对应格。所需时间为： ＝40（分钟） 答：此人外出40分钟。 【点睛】本题的关键是能求出220°对应的格数。 11．240天 【分析】要使得两个古老时钟同时显现出标准时间，那么其与标准时间相差的是12小时的整数倍，12小时是720分钟，一个每天快15分钟720除以15得到48，48天后第一次显现出标准时间；另一个每天慢24分钟，720除以24得到30，30天后第一次显现出标准时间，求二者的最小公倍数即可。 【详解】（分） （天） （天） 48和30的最小公倍数是240； 答：至少需要经过240天才能同时显现出标准时间。 【点睛】本题实质上考查的是公倍数的问题，理解坏钟显现出标准时间这个条件是解题的关键。 12．分钟 【详解】实际走了11小时又10分钟，共慢10分钟 10÷（11+）=（分钟） 13．不准确 【详解】以标准时间的速度为单位1 乙表1小时走了60-2=58分 乙表的速度相当于标准时间的 乙表走1小时，甲表相对与乙表走62分，相对于乙表的速度为； 甲表速度相对于标准时间速度的×=<1 甲表不准确 14．第一次是7点38分，第二次是8点44分 【详解】7点x分：(7+x/60)/12=x/60   x="7*60=420/11=38.2" 15．11点59分54秒． 【详解】试题分析：根据闹钟比标准时间每小时慢30秒，可知标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3570秒，再根据手表比家里的闹钟每小时快30秒，知闹钟过3600秒时，手表过3630秒，再求出当闹钟过3570秒时，手表过的秒数，进一步求出手表比标准时间每小时慢的秒数，今天中午12点到明天中午12点是24小时，由此得出手表一昼夜比标准时间相差的秒数．即可求出现在的手表显示几点几分几秒． 解：标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3600﹣30=3570（秒），当闹钟过3600秒时，手表过3600+30=3630（秒）， 那么当闹钟过3570秒时，手表过3630×3570÷3600=3599.75（秒），即手表比标准时间每小时慢3600﹣3599.75=0.25（秒）， 今天中午12点到明天中午12点是24小时，所以手表比标准时间差：0.25×24=6（秒 ），所以费叔叔的手表显示为11点59分54秒． 答：费叔叔的手表显示为11点59分54秒． 点评：解决此题关键是先算出手表比标准时间每小时慢的秒数，再算出手表一昼夜比标准时间相差的秒数． 16．27分． 【详解】试题分析：在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的“6”恰好在时针与分针的正中央，这时时针超过了6的格子数，和分针离6的格子数相等，即可看成分针和时针从12走的格子数是30个格，再根据路程问题除以分针和时针的速度和，可求出分针走的格子数，然后可知此时的时间是多少． 解：30÷（1+）×1 =30××1 =27（分） 27分+6时=6时27分 答：这时是6点27分． 点评：本题的关键是让学生理解：钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央时，这时时针和分针走的格子数是30个． 17．6. 【详解】试题分析：第一只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11一周，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环； 第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6一周，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，如下所画出的表格所示，找到指向同一个标数时的规律，即可得解． 解：如图， 根据以上分析，42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2； 30÷4=7…2 那么当两个指针第30次指向同一个标数时，是第8个循环的第二个，即它们的指针指着数字6； 答：它们的指针指着6． 点评：认真分析，找出规律“42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2”是解决此题的关键． 18．96分钟 【分析】表盘上，有12个大格，走一圈是360°，每个大格就是30°。时针每过一小时，就是走一个大格，即时针每小时走，也就是60分钟走30°，即每分钟走；分针1小时走一圈，也就是60分钟走360°，则每分钟走。 先求出标准表每次重合需要的时间。分钟快，时针慢，分针跑一周后继续跑追上时针，相当于追及问题，两者间距为360度，追及的路程是360°，则追及的时间＝追及的路程÷速度差，即每分钟时针和分针重合一次；根据题意也就是说爷爷的老式钟在分钟内显示走了分钟。一天24小时，换算成分为单位是1440分，在1440分钟里面，标准钟和老式钟重合同样的次数，标准钟用了多少时间，24小时减去这个时间，即可求出爷爷的表快了多少时间。 【详解】 （分钟） 24×60＝1440（分钟） （分钟） （分钟） 答：这只时钟每天快96分钟。 【点评】本题要注意重合时间的计算以及它与时钟走快走慢之间的关系。 19．7时30分 【分析】小王8时出发，9时整到达乙地共用60分，而追上骑车人用15分，因此小王追上骑车人时行了全程的； 小李8时15分出发，9时整到达乙地共用了45分，而追上骑车人用15分，因此小李追上骑车人时，行了全程的； 骑车人在甲到乙方向处被小王追上，15分钟后在甲到乙方向处被小李追上，因此骑车人15分钟行了甲到乙的距离的，即骑车人每行驶甲到乙的距离的时需要15分钟，则当汽车人到达甲到乙的距离的时，里面有3个，也就是3个15分钟，即骑车人从甲出发走到全程处时已用了45分钟，而此时正好是8时15分，可得出骑车人7点30分从甲地出发。 【详解】9时－8时＝1（小时） 1小时＝60（分） 8时15分－8时＝15（分钟） 15÷60＝ 8时30分－8时15分＝15（分钟） 9时－8时15分＝45（分钟） 15÷45＝ （分钟） 8时15分－45＝7时30分。 答：骑车人从甲地出发时是7时30分。 【点睛】找出每个时间点小王和小李行驶的全程的几分之几，再得出相差的时间点骑车人行驶了全程的几分之几所用的时间，即可得出骑车人出发的时间。 20．34.6元 【分析】根据题意先求出正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间，再求出不准确的钟表走8小时，实际上是走的时间，最后即可求出答案。 【详解】正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间：（小时）， 小时分钟， 不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间：（小时）， 应得工资为：（元）， 答：他实际上应得到工资是34.6元。 故答案为：34.6元 【点睛】解答此题的关键是，根据题意知道，只要求出不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间，即可求出答案。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$