（从课本到奥数）第五讲 ：圆柱与圆锥（三）-数学六年级下册奥数人教版

从课本到奥数 六年级·寒假 LOREM 第五讲 ：圆柱与圆锥（三） 知识精讲 圆柱与圆锥的关系 根据前面的学习，我们知道了圆柱的体积，圆锥的体积 ，等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3:1.如果已知圆柱和圆锥的V、S (或者r )、h中任意两个的数量关系，可以用设数法求出第三个的数量关系.举例说明： 一个圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的3倍，要得到它们体积的关系，可以假设圆锥的底面半径是1，高是1，那么圆柱的底面半径是2，高是3，圆锥的体积是 ，圆柱的体积是，所以圆柱的体积是圆锥体积的倍. 水中浸物 水中浸物问题分为两种情况，一种是装满水的容器中完全浸没某物体，溢出水的体积就等于浸没物体的体积，若将浸入物体取出，此时物体的体积等于水面下降部分的水的体积；另一种是物体完全浸没但没有水溢出，此时浸没物体的体积等于水面上升部分的水的体积. 瓶子容积问题 立体几何中还有一类问题是关于瓶子的容积，用转化的思想解决.根据瓶内水的体积和空气的体积不变，将不规则瓶子的体积转化成圆柱的体积，进而求出瓶子的容积. 题型汇总 题型一：圆柱与圆锥的关系 1．一个圆柱和一个圆锥底面积相等，高也相等。圆柱的体积是9.42立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】3.14立方厘米；28.26立方厘米 【分析】由题可知，圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，而圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据求一个数的几分之几或几倍是多少，用乘法计算，据此解答。 【详解】9.42×＝3.14（立方厘米） 答：圆锥的体积是3.14立方厘米。 9.42×3＝28.26（立方厘米） 答：圆柱的体积是28.26立方厘米。 2．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？ 【答案】9.42平方厘米 【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下： 等底等高时：V圆柱＝3V圆锥 等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱 等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱 【详解】28.26÷3＝9.42（平方厘米） 答：圆柱的底面积是9.42平方厘米。 题型二：等积变形问题 1．一块圆柱形钢材，底面直径是4厘米，高是3厘米，把它熔铸成一个底面积是6.28平方厘米的圆锥体，这个圆锥的高是多少？ 【答案】18厘米 【分析】这个圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体，体积不变，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”求出圆柱的体积，即铸成的圆锥体，根据圆锥的体积计算公式“V＝Sh”即可求出圆锥的高。 【详解】3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方厘米） 37.68×3÷6.28 ＝113.04÷6.28 ＝18（厘米） 答：高是18厘米。 【点睛】此题是考查圆柱、圆锥体积的计算，关键记住计算公式并会灵活应用。 2．把一段底面半径是3厘米、高是9厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面大小不变的圆锥，圆锥的高是多少？ 【答案】27厘米 【分析】根据题意，把一段圆柱形橡皮泥捏成一个底面大小不变的圆锥，说明圆锥与圆锥的体积相等，底面积也相等； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】9×3＝27（厘米） 答：圆锥的高是27厘米。 【点睛】掌握等体积等底面积的圆柱和圆锥高之间的关系是解题的关键。 题型三：圆柱水中浸物问题 1．一个圆柱形玻璃缸的底面积是15平方分米，水深是15厘米，放进一块石头后水面上升到18厘米。这块石头的体积是多少？ 【答案】4500立方厘米 【分析】单位不统一，先换算单位：15平方分米＝1500立方厘米。石头的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝石头和水的体积之和－水的体积。玻璃缸是圆柱体，所以水面也是呈圆柱体上升，圆柱的体积＝底面积×高，据此代入数据计算即可。 【详解】1500×18－1500×15 ＝27000－22500 ＝4500（立方厘米） 答：这块石头的体积是4500立方厘米。 2．一个底面直径是8分米，高是7.5分米的圆柱形水桶里装有4分米高的水，现放入一个石块，石块全部没入水中，水面上升了2分米，这个石块的体积是多少立方分米？（水桶厚度忽略不计） 【答案】100.48立方分米 【分析】从题意可知：石块的体积＝圆柱形水桶的底面积×水面上升的高度，根据圆柱的底面积：S＝πr2，代入数据计算，求出底面积，再乘上升高度2分米，即可求出石块的体积。 【详解】3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方分米） 答：这个石块的体积是100.48立方分米。 题型四：圆锥水中浸物问题 1．一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8厘米，高10厘米里装了一些水，把一个底面直径是4厘米的圆锥形铁块（完全淹没），水面上升了0.5厘米，圆锥的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块的体积＝上升的水的体积，而上升的水的形状是底面直径8厘米，高0.5厘米的圆柱。根据圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，代入数据求出上升的水的体积，即圆锥的体积。圆的面积＝πr2，据此求出圆锥的底面积。根据圆锥的体积＝πr2h，用求得的圆锥的体积除以和它的底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】3.14×（8÷2）2×0.5 ＝3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝25.12（立方厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 25.12÷÷12.56 ＝25.12×3÷12.56 ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥的高是6厘米。 2．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【详解】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 题型五：瓶子容积 1．为了测量一个如图形状的酒瓶容积，一位同学先向酒瓶倒入了一些水，塞上瓶盖，量得了一些数据，再将酒瓶旋转过来又量得一些数据。你能帮他算一下酒瓶的容积吗？（单位：厘米） 【答案】1256立方厘米 【分析】瓶子的底面直径和正放时水的高度已知，根据圆柱的体积公式：，代入数据即可求出瓶内水的体积，同样的方法，可以求出倒放时空余部分的体积，然后根据酒瓶的容积＝水的体积＋倒放时空余部分的体积，即可求出酒瓶的容积。 【详解】水的体积： （立方厘米） 倒放时空余部分的体积： （立方厘米） （立方厘米） 答：酒瓶的容积是1256立方厘米。 2．一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方厘米，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是20厘米，倒放时，空余部分的高度是5厘米，瓶中现有多少毫升饮料？ 【答案】24毫升 【分析】因为饮料瓶的容积不变，瓶内饮料的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面积不变，高为（20＋5）厘米的圆柱的体积，那么瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的，根据求一个数的几分之几是多少，用整个饮料瓶的容积乘，即可求出瓶内饮料的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【详解】30× ＝30× ＝24（立方厘米） 24立方厘米＝24毫升 答：瓶中现有24毫升饮料。 跟踪训练 1．一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。 （1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？ （2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？ 2．圆圆把一块底面半径3厘米、高8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面与圆柱底面相等的圆锥。圆锥的高是多少厘米？ 3．寒假的一天下午，聪聪独自一个人在家，闲着无聊，于是到后院去玩，看到了一个圆柱形的木棒，他想把这根木棒削成一个最大的圆锥，削好后，他认真计算一下，发现圆锥的体积与这根圆柱形木棒的体积之和是60cm3，请你算一算这根圆柱形木棒的体积是多少？ 4．把一个底面半径4分米，高2分米的圆柱钢材熔铸成一个圆锥，圆锥底面直径8分米，它的高是多少分米？ 5．一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24平方分米。圆柱和圆锥的体积分别是多少？ 6．把一根半径3厘米，长12厘米的圆柱形钢材铸成与它等底的圆锥体，圆锥的高是多少厘米？ 7．一个圆柱的体积是282.6cm3，已知一个与它等底等高的圆锥的底面积是113.04cm2，这个圆锥的高是多少厘米？ 8．吃饭的时候妈妈拿出了装有毫升的饮料（图①）。问小明：“你能计算出这个瓶子的容积吗？”小明说：“so  easy！”小明的方法如下： 140毫升＝140立方厘米 立方厘米＝360毫升 答：这个瓶子的容积是毫升。 你认为小明的方法对吗？如果不对，请写出你的方法。 9．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 10．琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为6厘米的圆柱形容器里。如图，浸入石头后水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，这块石头的体积是多少？ 11．如图，一瓶饮料的容积是625毫升，淘气喝了一些后，想知道喝了多少，他把瓶子正放，量出饮料的高度是8厘米。再将瓶子倒放，量出空余部分的高度是4.5厘米，你能帮淘气算出瓶内的饮料有多少毫升吗？ 12．如图所示，在一个盛有水的圆柱形容器内，放入一个底面直径为10厘米的圆锥形铁器，水面上升了0.5厘米。已知圆柱形容器的底面直径为2分米，这个圆锥的高是多少厘米？ 13．一瓶果汁喝掉了部分，把盖子拧紧后倒过来平放，如下图，请计算瓶子的容积是多少？ 14．一个底面半径为6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底面半径3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5毫米，这个圆锥形铅锤的高是多少？ 15．一个无盖圆柱形容器，底面直径是20厘米，高30厘米，装有24厘米高的水，将一个石块放入水中（完全浸没），水面上升到了27厘米。这个石块的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 16．在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为3厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升8厘米。把这段钢材竖着拉出水面6厘米，水面下降4厘米，这段钢材的体积是多少立方厘米？ 17．一个底面直径为6分米、高为7.5分米的圆柱形水桶里装有4分米高的水，现放入一个石块全部没入水中，水面上升了2分米，这个石块的体积是多少立方分米？ 18．一种饮料瓶形状如图，倒入300毫升水后，水面高度是10厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高8厘米。这个瓶子的容积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）94.2平方分米 （2）47.1立方分米 【分析】（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此求出需要涂出的面积； （2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，先求出圆柱的体积，再求出圆锥的体积即可。 【详解】（1） （平方分米） 答：需要涂94.2平方分米。 （2） （立方分米） 答：圆锥体积是47.1立方分米。 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积、圆锥的体积，解答本题的关键是熟记侧面积和体积计算公式。 2．24厘米 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式进行解答，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h。 【详解】3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 226.08×3÷（3.14×32） ＝678.24÷28.26 ＝24（厘米） 答：圆锥的高是24厘米。 【点睛】本题还可以利用等底等高的圆柱与圆锥的体积关系解答，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积3倍。它们的体积、底面积相同，圆锥的高是圆柱的高的3倍。 3．45cm3 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积是3份，它们的和是（1＋3）份，由此再根据“它们的体积之和是60cm3”，即可求出圆柱的体积。 【详解】60÷（1＋3） ＝60÷4 ＝15（cm3） 15×3＝45（cm3） 答：这根圆柱形木棒的体积是45cm3。 【点睛】此题主要考查了等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的关系。 4．6分米 【分析】根据题意，圆柱钢材熔铸成一个圆锥，根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高；再根据圆锥的体积公式：圆锥的体积＝底面积×高×；由于体积不变，圆锥的底面半径为8÷2＝4分米，圆柱底面与圆锥的底面相等；则：圆锥的高＝圆柱的高×3，代入数据，即可解答。 【详解】8÷2＝4（分米） 2×3＝6（分米） 答：它的高是6分米。 【点睛】根据等底等体积的圆柱与圆锥的关系解答本题。 5．圆柱的体积是18立方分米，圆锥的体积是6立方分米 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积是3份，它们的和是（1＋3）份，由此再根据“它们的体积之和是24立方分米”，求出圆柱与圆锥的体积。 【详解】圆锥的体积： 24÷（1＋3）， ＝24÷4， ＝6（立方分米）， 圆柱的体积：6×3＝18（立方分米）。 答：圆柱的体积是18立方分米，圆锥的体积是6立方分米。 【点睛】此题主要考查了等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的关系，解答时注意找准24立方分米的对应倍数。 6．36厘米 【分析】浇铸前后的体积不变，圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积，代入数据即可解得。 【详解】3.14×32×12， ＝3.14×9×12， ＝339.12（立方厘米）， 339.12×3÷（3.14×32）， ＝1017.36÷（3.14×9）， ＝1017.36÷28.26， ＝36（厘米）， 答：圆锥的高是36厘米． 【点睛】抓住浇铸前后体积不变，也可以采用体积和底面积都相等的圆柱和圆锥的高的比是1∶3，也可以求出圆锥的高是12×3＝36（厘米）。 7．2.5厘米 【分析】圆柱与圆锥的体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。据此解答即可。 【详解】圆锥体积：282.6÷3＝94.2（立方厘米） 圆锥的高：94.2×3÷113.04＝2.5（厘米） 答：这个圆锥的高是2.5厘米。 【点睛】考查了等底等高前提下圆锥的体积是圆柱体积的三分之一这个关系。 8．不对；500毫升 【分析】140毫升＝140立方厘米，圆柱体的体积＝底面积×高，根据瓶子正放时饮料的体积和高度，算出瓶子的底面积为平方厘米。瓶子倒放时，瓶子空余高度为18厘米，则瓶子空余部分可容纳饮料的体积为立方厘米，再加上瓶内原有饮料的体积，即可算出这个瓶子的容积。 小明的计算方法不对。他计算出来的360毫升为已经装了140毫升饮料后瓶子空余部分的容积，所以360毫升再加上140毫升，即为这个瓶子的容积。 【详解】小明的方法不对。 140毫升＝140立方厘米 （立方厘米） 500立方厘米＝500毫升 答：这个瓶子的容积是500毫升。 9．6厘米 【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积； 水面上升部分是一个底面半径为4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积； 已知圆锥形铅锤的底面直径是8厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铅锤的底面积； 由圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤的体积： 3.14×42×（12－10） ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 10．113.04立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头完全浸入有水的圆柱形容器中，水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，水面下降（4－3）厘米，那么水下降部分的体积等于这块石头的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】3.14×62×（4－3） ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这块石头的体积是113.04立方厘米。 11．400毫升 【分析】因为饮料瓶的容积不变，瓶内饮料的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，则饮料瓶的容积相当于一个底面积不变，高为（8＋4.5）厘米的圆柱的体积；根据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出饮料瓶的底面积。 正放时瓶内的饮料相当于一个底面积不变，高为8厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出瓶内饮料的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【详解】625毫升＝625立方厘米 饮料的底面积： 625÷（8＋4.5） ＝625÷12.5 ＝50（平方厘米） 饮料的体积： 50×8＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：瓶内的饮料有400毫升。 12．6厘米 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就在这个圆锥形铁器的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出水面上升部分的体积，也就是圆锥形铁器的体积；再根据圆锥体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答；注意单位名数的统一。 【详解】2分米＝20厘米 3.14×（20÷2）2×0.5÷[3.14×（10÷2）2]÷ ＝3.14×102×0.5÷[3.14×52]×3 ＝3.14×100×0.5÷[3.14×25]×3 ＝314×0.5÷78.5×3 ＝175÷78.5×3 ＝2×3 ＝6（厘米） 答：这个圆锥的高是6厘米。 13．288.252立方厘米 【分析】瓶子的容积＝正放时候剩余水的体积＋倒放时候空着部分的体积，利用V＝πr2h求出瓶子的容积。 【详解】3.14×（6÷2）2×3.4＋3.14×（6÷2）2×6.8 ＝3.14×（6÷2）2×（3.4＋6.8） ＝3.14×32×10.2 ＝3.14×9×10.2 ＝28.26×10.2 ＝288.252（立方厘米） 答：瓶子的容积是288.252立方厘米。 14．6厘米 【分析】根据题意得：圆锥形铅锤的体积等于圆柱水面下降的体积，圆柱体积＝，可得出圆锥形铅锤的体积，再根据圆锥体积＝，可得出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤体积为：（立方厘米） 则圆锥形铅锤的高为： （厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是6厘米。 15．942立方厘米 【分析】这块石头的体积等于上升的这部分水的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，用圆柱的底面积乘水上升的高度，所得结果即为这个石块的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这个石块的体积是942立方厘米。 16．339.12立方厘米 【分析】6厘米高的这个圆柱形钢材的体积等于圆柱形储水桶中4厘米高的水的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，求出6厘米高的这个圆柱形钢材的体积，再除以4，即可计算出这个圆柱形储水桶的底面积；而这段钢材的体积等于储水桶中8厘米高的水的体积，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】3.14×32×6÷4×8 ＝3.14×9×6÷4×8 ＝169.56÷4×8 ＝42.39×8 ＝339.12（立方厘米） 答：这段钢材的体积是339.12立方厘米。 17．56.52立方分米 【分析】一个石块全部没入水中，此时水面上升2分米，这部分上升的水的体积就等于这个石块的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 答：这个石块的体积是56.52立方分米。 18．540毫升 【分析】由题意可知，饮料瓶和的水的容积都不变。当饮料瓶正放时，水的容积等于饮料瓶底面积乘水的高度，由此可以用水的容积除以水的高度求出饮料瓶的底面积。当饮料瓶倒置时，无水部分的容积等于饮料瓶底面积乘无水部分的高。最后把水的容积加无水部分的容积就是瓶子的容积，据此解答。 【详解】300÷10＝30（平方厘米） 30×8＝240（毫升） 300＋240＝540（毫升） 答：这个瓶子的容积是540毫升。 $$