（从课本到奥数）第四讲 ：圆柱与圆锥（二）-数学六年级下册奥数人教版

从课本到奥数 六年级·寒假 LOREM 第四讲 ：圆柱与圆锥（二） 知识精讲 圆柱表面积的切割与拼接 两个一模一样的圆柱可以拼成一个大圆柱；大圆柱的表面积与原来两个圆柱表面积之和相比，减少了拼接处两个底面圆的面积.反过来，如果将一个大圆柱切一刀分成两个圆柱，那么两个圆柱的表面积之和就是大圆柱的表面积加上新增的两个切面圆的面积.需要强调的是，每切一刀或锯一段都会增加两个切面. 圆柱体积的切割与拼接 前面已经学习了求长方体、正方体和圆柱、圆锥体积的公式，对于由多种立体图形组合而成的新图形，在求体积时要弄清楚组合图形是由哪些学过的立体图形组成的，逐一计算体积并相加； 旋转体积问题 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成立体图形。长方形(正方形)绕某条边旋转一周形成圆柱，直角三角形绕某条直角边旋转一周形成圆锥，等腰三角形绕它底边上的高旋转一周也能形成圆锥，半圆形绕直径旋转一周形成球. 题型汇总 题型一：组合圆柱的表面积 1．将高都是1米，底面半径分别是1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个立体图形（如下图），这个立体图形的表面积是多少平方米？ 【答案】32.97平方米 【分析】根据题意得：立体图形由三个圆柱叠加组成，立体图形表面积＝三个圆柱的侧面积之和＋最下面圆柱的底面积×2，根据圆柱侧面积＝，底面积＝。据此计算可得出答案。 【详解】最下面的圆柱侧面积为：3.14×1.5×2×1＝9.42（平方米） 中间的圆柱侧面积为：3.14×1×2×1＝6.28（平方米） 最上面的圆柱侧面积为：3.14×0.5×2×1＝3.14（平方米） 侧面积之和为：9.42＋6.28＋3.14＝18.84（平方米） 最下面圆柱的2个底面积为：3.14×1.52×2＝14.13（平方米） 则立体图形表面积为：18.84＋14.13＝32.97（平方米） 答：这个立体图形的表面积是32.97平方米。 2．一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 【答案】3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 【分析】涂色部分等于底面半径是8厘米，高是10厘米的圆柱的表面积加上底面半径是4厘米，高是10厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 ＝3.14×64×2＋25.12×2×10＋12.56×2×10 ＝401.92＋502.4＋251.2 ＝1155.52（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1155.52平方厘米。 题型二：圆柱表面积的切割 1．一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【答案】1582.56平方厘米 【分析】如图所示，把这根圆柱形木棍平均截成三段后，表面积比原来增加4个截面的面积，，涂色部分的面积＝原来圆柱的表面积＋增加部分的面积，据此解答。 【详解】12分米＝120厘米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×（120＋2＋4） ＝12.56×126 ＝1582.56（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1582.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 2．把一个底面半径是40cm、长是12分米的圆柱形木头锯成长短不同的4小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？ 【答案】301.44平方分米 【分析】把圆柱形木头锯成长短不同的4小段圆柱形木头，增加了6个圆柱的底面，所以它的表面积就增加了6个底面积，根据“圆柱的底面积＝πr2”求出圆柱的一个底面积，进而求出增加的表面积。 【详解】40cm＝4dm 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44 （dm2） 答：表面积增加了301.44平方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的表面积。 题型三：圆柱体积的切割 1．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】62.8立方厘米 【分析】长方体表面积比原来圆柱表面积增加20平方厘米，20平方厘米实际上是长方体的左右两个侧面的面积，沿直径把圆柱切开拼成一个体积相等的长方体后，这个长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。用这个长方体的一个侧面面积乘这个长方体的长就可以求出它的体积． 【详解】20÷2＝10（平方厘米） 4×3.14÷2＝6.28（平方厘米） 6.28×10＝62.8（立方厘米） 答：这个长方体的体积是62.8立方厘米。 2．如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 【答案】62.8立方厘米 【分析】如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米，将25.12平方厘米除以2，即可求出圆柱的底面积。将圆柱底面积除以3.14，求出圆柱的底面直径。如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，增加的两个面每个面都是长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面直径。那么，将40平方厘米除以2，再除以底面直径即可求出圆柱的高。根据“圆柱体积＝底面积×高”列式求出原圆柱体的体积。 【详解】底面积：25.12÷2＝12.56（平方厘米） 底面直径：12.56÷3.14＝4（厘米） 高：40÷2÷4＝5（厘米） 体积：12.56×5＝62.8（立方厘米） 答：原圆柱体的体积是62.8立方厘米。 题型四：组合图形的体积 1．求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】 【分析】这个图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，底面积＝，根据公式计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 所以这个图形的体积是。 2．求下面立体图形的体积。 【答案】7638.5立方厘米 【分析】图中立体图形的体积等于圆锥体体积加上长方体体积，根据圆锥体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，即可算出图中立体图形的体积。 【详解】圆锥体体积： （立方厘米） 长方体体积： （立方厘米） 图中立体图形的体积：6358.5＋1280＝7638.5（立方厘米） 题型五：旋转图形的体积 1．如图，长方形硬纸片长15厘米，宽5厘米。以长边所在直线为轴旋转一周，请你想象旋转后所形成的图形，再解答。 ①旋转后形成的图形，它的底面周长是多少？ ②把旋转后形成的图形，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少？ 【答案】①厘米 ②785立方厘米 【分析】根据圆柱的特征，把这个长方形旋转后形成的图形是圆柱。圆柱的底面半径是厘米，高是厘米。 ①圆的周长＝2πr，据此代入数据计算，即可求出圆柱的底面周长。 ②把圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，体积是圆柱的。把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积是圆柱体积的（1－）。圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。 【详解】①（厘米） 答：它的底面周长是厘米。 ②3.14×52×15×（1－） ＝3.14×25×15× ＝3.14×250 ＝785（立方厘米） 答：削去部分的体积是785立方厘米。 2．转一转：下面各图形以虚线为轴，想象它们快速旋转后形成的几何体，再填空。 ①甲和乙旋转后的几何体，（    ）的表面积比较大，相差（    ）平方分米。 ②四个几何体中，丁体积是甲的，甲和丙体积比是（    ）。 【答案】①乙；6.28；②；3∶2 【分析】①根据圆柱的特征可知，甲旋转后形成一个底面半径是1分米，高是2分米的圆柱；乙旋转后形成两个底面半径是1分米，高是1分米的圆柱；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，分别求出甲的表面积和乙的表面积，进而解答。 ②根据圆柱和圆锥的特征可知，丙旋转后形成一个圆柱与圆柱的合体，丁旋转后形成一个圆锥，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱的，所以丁的体积是甲的；再求出丙的体积，再根据比的意义，用甲的体积∶丙的体积，据此解答。 【详解】①甲旋转后的表面积： 3.14×12×2＋3.14×1×2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×2×2 ＝3.14×2＋6.28×2 ＝6.28＋12.56 ＝18.84（平方分米） 乙旋转后的表面积： （3.14×12×2＋3.14×1×2×1）×2 ＝（3.14×1×2＋3.14×2×1）×2 ＝（3.14×2＋3.14×2）×2 ＝（6.28＋6.28）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 25.12＞18.84，乙的表面积大。 25.12－18.84＝6.28（平方分米） 甲和乙旋转后的几何体，乙的表面积比较大，相差6.28平方分米。 ②甲旋转后的几何体是圆柱；丁旋转后的几何体是圆锥；它们是等底等高； 圆锥的体积是圆柱体积的，所以丁的体积是甲的。 甲的体积： 3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（立方分米） 丙的体积： 3.14×12×1＋3.14×12×（2－1）× ＝3.14×1×1＋3.14×1×1× ＝3.14×1＋3.14×1× ＝3.14＋3.14× ＝（立方分米） 6.28∶ ＝（6.28×3）∶（×3） ＝18.84∶12.56 ＝（18.84÷6.28）∶（12.56÷6.28） ＝3∶2 四个几何体中，丁体积是甲的，甲和丙体积比是3∶2。 跟踪训练 1．求下图的表面积和体积。（单位：厘米） 2．计算下图的体积。（单位：厘米） 3．计算下面图形的体积。    4．计算图中阴影部分的体积。 5．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 6．物体由两个圆柱组成，这两个圆柱的高都是5厘米，底面直径是6厘米与12厘米，求它的表面积。 7．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 8．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 9．把一根高为6分米的圆柱形木料，沿直径对半切成两个半圆柱，表面积增加了120平方分米，这根木料的表面积和体积是多少？ 10．（如下图）圆柱和圆锥黏合而成的，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米。求原来这个物体的体积是多少立方厘米？ 11．如图，以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（    ），已知AB＝7厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 12．一个直角三角形的直角边分别长9厘米、12厘米，以最长的直角边为轴旋转一周形成一个新的立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 13．一段圆木长100厘米，沿圆木的底面直径垂直切开，把圆木分成相等的两半，这时表面积增加了6000平方厘米，求这个圆木的体积是多少立方厘米？ 14．如图，一个圆锥的底面半径是5厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 15．现在我们常用的稻谷储粮罐都是锥底的，虽然比以前的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，请计算出它的体积。 16．下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。它们的体积各是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．表面积是30.28平方厘米；体积是9.57立方厘米 【分析】观察题意可知，在正方体上面放一个圆柱体，立体图形的表面积比正方体多了一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式：V＝6a2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，用6×2×2＋3.14×1×2即可求出立体图形的表面积。根据正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h，用2×2×2＋3.14×（1÷2）2×2即可求出立体图形的体积。据此解答。 【详解】6×2×2＋3.14×1×2 ＝24＋6.28 ＝30.28（平方厘米） 立体图形的表面积是30.28平方厘米。 2×2×2＋3.14×（1÷2）2×2 ＝2×2×2＋3.14×0.52×2 ＝2×2×2＋3.14×0.25×2 ＝8＋1.57 ＝9.57（立方厘米） 立体图形的体积是9.57立方厘米。 2．75.36立方厘米 【分析】由图可知，整个图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，“”“”把题中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝24×3.14 ＝75.36（立方厘米） 所以，这个图形的体积是75.36立方厘米。 3． 【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于一个底面直径2cm、高15cm的圆柱的体积加上2个底面直径2cm、高6cm的圆锥的体积之和，据此根据“圆柱的体积计算公式： 、圆锥的体积公式：”，代入数据计算，即可求出这个图形的体积。 【详解】 （cm3） 所以，这个图形的体积是。 4．251.2cm3 【分析】观察图形可知，阴影部分的体积等于圆柱的体积加上圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】3.14×42×2＋×3.14×42×9 ＝3.14×16×2＋×3.14×16×9 ＝50.24×2＋3.14×16×（×9） ＝100.48＋3.14×16×3 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 5．立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 6．508.68平方厘米 【分析】观察图形可知，这个组合体的表面积等于底面直径是12厘米，高是5厘米的圆柱的表面积，再加上底面直径是6厘米，高是5厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，以及圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×2＋3.14×12×5＋3.14×6×5 ＝3.14×62×2＋37.68×5＋18.84×5 ＝3.14×36×2＋188.4＋94.2 ＝113.04×2＋188.4＋94.2 ＝226.08＋188.4＋94.2 ＝414.48＋94.2 ＝508.68（平方厘米） 答：它的表面积是508.68平方厘米。 7．150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 8．1884立方米 【分析】观察图形可知，粮囤是由一个圆锥和一个圆柱组成，它们的底面积相等。已知粮囤的底面周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出粮囤的底面半径； 已知整个粮囤的高度是8米，圆柱的高与圆锥的高的比是5∶3，则圆柱的高占整个粮囤的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出圆柱的高；再用整个粮囤的高减去圆柱的高，求出圆锥的高； 根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的容积，再相加即是这个粮囤的最多能装多少立方米稻谷。 【详解】底面半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 圆柱的高： 8× ＝8× ＝5（米） 圆锥的高：8－5＝3（米） 粮囤的容积： 3.14×102×5＋×3.14×102×3 ＝3.14×100×5＋×3.14×100×3 ＝1570＋314 ＝1884（立方米） 答：这个粮囤最多能装1884立方米稻谷。 9．345.4平方分米；471立方分米 【分析】将圆柱沿直径对半切成两个半圆柱，表面积增加了2个长方形的切面，长方形的长＝圆柱的底面直径，长方形的宽＝圆柱的高，增加的表面积÷2÷高＝底面直径，圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的体积＝底面积×高，据此列式解答。 【详解】120÷2÷6＝10（分米） 10÷2＝5（分米） 表面积： 3.14×52×2＋3.14×10×6 ＝3.14×25×2＋188.4 ＝157＋188.4 ＝345.4（平方分米） 体积：3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝471（立方分米） 答：这根木料的表面积是345.4平方分米，体积是471立方分米。 10．200.96立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱和圆锥分开后增加的表面积是圆锥的底面积和圆柱的一个底面积之和，且圆锥的底面积和圆柱的一个底面积相等，可由此求出底面积。由图形可得，圆柱的高为6厘米，圆锥的高为12－6＝6厘米。再根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出两部分的体积，最后相加即可。 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 12－6＝6（厘米） 25.12×6＋×25.12×6 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米。 11．圆柱体；87.92立方厘米。 【分析】由图知：以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个圆柱，圆柱的底面半径是4÷2＝2厘米，高是7厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，将数据代入计算即可。 【详解】以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（圆柱体）。 ＝ ＝12.56×7 ＝87.92（立方厘米） 答：它的体积是87.92立方厘米。 12．1017.36立方厘米 【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 以最长的直角边为轴旋转一周形成的圆锥，底面直径是9厘米，高是12厘米，根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 【详解】3.14×92×12 ＝3.14×81×12 ＝254.34×12 ＝1017.36（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是1017.36立方厘米。 13．70650立方厘米 【分析】把这段圆木沿底面直径垂直切开，分成相等的两半，这时表面积比原来增加了两个切面的面积，根据圆柱的切割特点可知，切面是两个长方形，长是100厘米，宽是圆柱的底面直径，据此求出底面直径，再根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】6000÷2÷100 ＝3000÷100 ＝30（厘米） 3.14×（30÷2）2×100 ＝3.14×225×100 ＝706.5×100 ＝70650（立方厘米） 答：这个圆木的体积是70650立方厘米。 14．157立方厘米 【分析】增加的面积为两个底为（5×2）厘米，高与圆锥的高相同的三角形面积，据此可以求出圆锥的高，圆锥的体积V＝πr2h，据此代入数据进行解答。 【详解】圆锥的高： 60÷2×2÷（5×2） ＝60÷10 ＝6（厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝3.14×25×（6×） ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是157立方厘米。 15．5.652立方米 【分析】由图可知，新型储粮罐的体积＝底面直径为2米，高0.9米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1.5米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×12×0.9×＋3.14×12×1＋3.14×12×1.5× ＝3.14×0.9×＋3.14＋3.14×1.5× ＝2.826×＋3.14＋4.71× ＝0.942＋3.14＋1.57 ＝4.082＋1.57 ＝5.652（立方米） 答：新型储粮罐的体积是5.652立方米。 16．6280立方厘米， 12560立方厘米 【分析】圆柱的体积＝，当以长为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径是10厘米，高为20厘米，再根据圆柱的体积公式算体积；当以宽为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径是20厘米，高为10厘米，再根据圆柱的体积公式算体积。 【详解】以长为轴旋转一周 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 以宽为轴旋转一周 3.14×202×10 ＝3.14×400×10 ＝12560（立方厘米） 答：以长为轴旋转一周的圆柱的体积为6280立方厘米，以宽为轴旋转一周的圆柱的体积为12560立方厘米。 $$