（从课本到奥数）第六讲 ：比例综合-数学六年级下册奥数人教版

从课本到奥数 六年级·寒假 LOREM 第六讲 ：比例综合 知识精讲 正比例与反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系.用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，那么正比例的关系式为： ，其中k是一定的. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.用字母x和y表示两种相关联的量，用k 表示它们的积，那么反比例的关系式为： ，其中k是一定的. 判断成正比例和反比例的方法 要看两种相关联的变量间的关系，如果它们的比值一定就成正比例关系；积一定成反比例关系；如果比值和积都不是定值，则不成比例. 正比例与反比例的应用 实际应用中，可以掌握一些这样的结论.以总价=单价×数量举例，当单价一定时，总价和数量成正比例关系，那么两个量的总价比等于数量比；同样地，数量一定时，总价比等于单价比；当总价一定时，单价和数量成反比例关系，此时单价比就等于数量反过来的比，如：对于总价都是100元的两种商品，如果已知单价比是，就可以得到购买的数量比是了. 路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间等公式也有类似的结论：路程一定，速度和时间成反比例关系，即；时间一定，路程和速度成正比例关系，即；速度一定，路程和时间成正比例关系，即. 题型汇总 题型一：正比例与反比例的辨析 1．下面各种关系中，成正比例的是（    ）。 A．路程一定，速度和时间 B．平行四边形的面积一定，它的底和高 C．三角形的高不变，它的底和面积 D．圆的半径一定，它的周长和圆周率 【答案】C 【分析】相关联的两个量对应的数值的比值一定，则这两个量成正比例关系。据此依次分析各个选项，进而得出答案。 【详解】A．路程＝速度×时间，路程一定，即速度与时间的乘积一定，不成正比例； B．平行四边形面积＝底×高，平行四边形面积一定，即底与高的乘积一定，不成正比例； C．三角形的高＝面积×2÷底，三角形面积与底的比值一定，即它的底和面积成正比例； D．圆的半径＝周长÷2÷圆周率，圆周率是一个定值，半径也是定值，则它的周长和圆周率不成比例。 则成正比例的是：三角形的高不变，它的底和面积。 故答案为：C 2．下列说法中成正比例关系的是（    ），成反比例关系的是（    ）。 ①《快乐数学》的订阅数量和付款钱数； ②人的身高和体重； ③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度； ④圆锥的体积一定，它的底面积和高。 A．①③；④ B．④；② C．②；④ D．③；① 【答案】A 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这两种量就成正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这两种量就成反比例关系。 【详解】①《快乐数学》的单价固定的，即付款钱数÷订阅数量＝单价（一定），因此《快乐数学》的订阅数量和付款钱数成正比例； ②人的身高和体重不是相关联的量，因此它们的积或比值都不一定，所以人的身高和体重不成比例； ③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度的比值是一定的，因此同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度成正比例； ④圆锥的体积＝×底面积×高，因为圆锥的体积一定，即底面积×高＝3×体积（一定），因此圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。 则成正比例关系的是①③，成反比例关系的是④。 故答案为：A 题型二：正比例的应用-高度问题 1．数学兴趣小组的同学测量一棵大树的高度，因工具有限只测得了这棵树的影长是5米，同时还测得旁边的一棵小树高1.8米，影长1米。请你计算出这棵大树的高度？（用比例的知识解答） 【答案】9米 【分析】同一时刻，物体的高度与影长成正比例，设这棵大树高x米，列比例：x∶5＝1.8∶1，解比例，即可解答。 【详解】解：设这棵大树高x米。 x∶5＝1.8∶1 x＝5×1.8 x＝9 答：这棵大树的高是9米。 2．为完成张老师布置的测量学校旗杆高度的实践作业，杨光同学将一根长3米的标杆直立在地上，测得该标杆影长为1.2米，而他的同伴夏天同学同时测得旗杆的影长比标杆影长多3.6米。他们记录了数据并通过计算，顺利地得到了旗杆的高度，旗杆的高度到底是多少米呢？（请运用比例求解旗杆的高度） 【答案】12米 【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设旗杆的高度是x米。 3∶1.2＝x∶（1.2＋3.6） 1.2x＝3×4.8 1.2x＝14.4 1.2x÷1.2＝14.4÷1.2 x＝12 答：旗杆的高度是12米。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 题型三：正比例的应用-路程问题 1．甲、乙两站间的铁路长为360千米，两列火车同时相向开出，小时后相遇，相遇时两车所行路程的比是8∶7，两列火车的速度分别为每小时行多少千米？ 【答案】分别为每小时80千米和每小时70千米。 【分析】根据相遇问题的解法，可求出两车速度和为（千米/时）。 由于相遇时间一定，所以两车相遇所行的路程与速度成正比例，路程比是8∶7，速度比也是8∶7，然后用按比例分配的方法解决。 【详解】（千米/时） （千米/时） （千米/时）， 答：两列火车的速度分别为每小时80千米和每小时70千米。 2．一辆汽车从甲城开往乙城，3小时行驶195千米，用同样的速度又行驶了1.2小时到达乙城，甲城到乙城有多少千米？（用比例解） 【答案】273千米 【分析】根据题意可知，这辆汽车的速度不变，即＝速度（一定），比值一定，则路程和行驶时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设甲城到乙城有千米。 ＝ 3＝195×（3＋1.2） 3＝195×4.2 3＝819 ＝819÷3 ＝273 答：甲城到乙城有273千米。 题型四：反比例的应用-路程问题 1．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时可以到达。从乙地返回甲地，每小时行48千米，需要多少小时到达？（用比例解） 【答案】6小时 【分析】根据题意可知，甲地与乙地的距离一定；根据速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则汽车的速度和行驶的时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要小时到达。 答：需要6小时到达。 2．李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶90千米，6小时可以到达。若每小时行驶100千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 【答案】0.6小时 【分析】根据题意可知，甲地到乙地的距离不变，即路程一定，速度与时间成反比例；设若每小时行驶100千米，李老师x小时到达乙地，列比例，100x＝90×6，求出若每小时行驶100千米，李老师多少小时到达乙地，再用6－每小时行驶100千米到达乙地的时间，即可解答。 【详解】解：设若每小时行驶100千米，李老师x小时到达乙地。 100x＝90×6 100x＝540 x＝540÷100 x＝5.4 6－5.4＝0.6（小时） 答：李老师可以提前0.6小时到达。 题型五：反比例的应用-面积问题 1．学校图书室用方砖铺地，若用边长为6分米的方砖铺，要用320块；如果改用边长为8分米的方砖铺，要用多少块？（用比例解答） 【答案】180块 【分析】边长为6分米的方砖面积为6×6＝36平方分米，边长为8分米的方砖面积为8×8＝64平方分米；图书馆铺地的面积是一定的，总面积＝方砖的面积×块数，则方砖的面积和对应的块数成反比例，据此列比例解答。 【详解】解：设如果改用边长为8分米的方砖铺，要用x块。 8×8×x＝6×6×320 64x＝11520 64x÷64＝11520÷64 x＝180 答：如果改用边长为8分米的方砖铺，要用180块。 【点睛】解决问题的关键在于判断块数与方砖的面积是成反比例的，需要铺的面积是定值。 2．某街道要用方砖重新铺设一个小广场。用边长2分米的方砖铺需要用216块，如果改用边长是3分米的方砖铺，需要多少块？（用比例知识解） 【答案】96块 【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。 【详解】解：设需要x块。 答：需要96块。 【点睛】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 跟踪训练 1．给一个房间地面铺地砖，用面积9平方分米的地砖要96块，如果改用面积是4平方分米的地砖，需要多少块？（用比例解） 2．甲、乙两地间的距离是490千米。一辆汽车从甲地出发去乙地，5小时行驶了350千米。照这样计算，行完全程还需要多少小时？ 3．A城到B城，如果每时行54千米，需要行8小时，一列火车从A城到B城，前2小时行驶了96千米，照这样的速度，再过几小时才能到达？（分别用正、反比例解答） 4．一艘轮船从甲港驶往乙港，每小时行25千米，12小时到达。返回时每小时行30千米，可以提前几小时到达？（用比例知识解答） 5．一辆小汽车3时行驶了195km，照这样的速度行驶，这辆车从A地开往B地共行驶了9时，两地相距多少千米？（用比例解） 6．活动课上，数学老师带领小朋友们测量校园里一棵古树的高度。他们先量出古树影子的长度是10.8米，同时在古树附近竖立一根3米长的标杆，量得它的影子长度是1.8米。请问这棵古树高几米？ 7．某工程队修一条公路，15天共修960米，还剩下512米没修，照这样的速度，修完这条公路，共需要多少天？（用比例解） 8．已知同一时间同一地点物体的高度与影长成正比例关系。如果一个小朋友的身高为1.5米，他站在太阳底下的影长为1.2米，那么同一时间同一地点，影长为9.6米的松树的高度是多少米？（用比例解答） 9．爸爸、妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三个所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元而三人行李共重150千克。如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元。求每人可免费携带行李的质量。（列方程解） 10．明明家要重新装修，用边长为60厘米的地砖铺地，需要地砖96块，如果改用边长80厘米的地砖铺地，需要多少块？ 11．李老师家装修房子，准备用边长是0.6米的正方形地砖铺客厅地面，这样需要80块；后来改用面积是0.64平方米的正方形地砖铺地。请你算一算，需要用0.64平方米的正方形地砖多少块？（用比例解答） 12．一段人行道，用每块是25平方分米的方砖铺地，需要960块，如果改用边长是4分米的方砖铺地，至少需要多少块？（用比例解） 13．一个工程队铺装大理石地砖，计划平均每天铺160块，25天铺完，实际提前5天完成，实际平均每天铺装多少块？（用解比例） 14．从甲地运送一批救灾物品到乙地，原计划每小时行60千米，6.5小时到达，实际每小时比计划多行18千米，照这样计算，行完全程需要多少小时？（用比例解） 15．某供暖公司购进一些煤，计划每天用量18吨，能用40天。若更换新锅炉，每天能节约用煤2吨。更换新锅炉，这些煤能用多少天？（用比例解） 16．为庆祝建党一百周年，实验小学新建了一个少先队活动室。现在需要在地面铺地砖，如果用边长5分米的方砖，需要400块；如果改用边长为4分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解答） 17．甲、乙两个圆柱形容器，底面积比是4：3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，现在往两个容器中注入同样多的水，直到水的深度一样为止，这时甲、乙两个容器中的水深多少厘米？ 18．甲齿轮有60齿，乙齿轮有48齿，为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动13圈，须在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙。齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同）。丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合。求丙轮上大、小齿轮齿数之比是多少？若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有多少齿？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．216块 【分析】根据题意可知：每块地砖的面积地砖的数量房间地面的面积，房间地面的面积一定，则“每块地砖的面积”和“地砖的数量”成反比例关系，设如果改用面积是4平方分米的地砖，需要块，据此列比例解答。 【详解】解：设如果改用面积是4平方分米的地砖，需要块。 4x÷4＝864÷4 答：如果改用面积是4平方分米的地砖，需要216块。 2．2小时 【分析】根据题意可知，这辆汽车行驶的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值一定，则路程和时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设行完全程还需要小时。 （490－350）∶＝350∶5 350＝（490－350）×5 350＝140×5 350＝700 350÷350＝700÷350 ＝2 答：行完全程还需要2小时。 【点睛】先确定汽车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。 3．7小时 【分析】根据速度×时间＝路程，用54×8即可求出A、B两地的距离；如果前2小时行驶了96千米，速度不变，根据速度＝路程÷时间，可知路程和时间成正比例，据此设再过x小时才能到达，列方程为：（54×8－96）∶x＝96∶2，然后解出方程即可； 根据速度×时间＝路程，总路程一定，所以时间和速度成反比例，设再过y小时才能到达，则照这样的速度，列方程为（y＋2）×（96÷2）＝54×8，然后解出方程即可。 【详解】①速度一定，路程和时间成正比例； 解：设再过x小时到达。 （54×8－96）∶x＝96∶2 （432－96）∶x＝96∶2 336∶x＝96∶2 96x＝336×2 96x＝672 x＝672÷96 x＝7 ②总路程一定，时间和速度成反比例； 解：设再过y小时到达。 （y＋2）×（96÷2）＝54×8 （y＋2）×48＝54×8 （y＋2）×48＝432 y＋2＝432÷48 y＋2＝9 y＝9－2 y＝7 答：再过7小时才能到达。 【点睛】本题考查了正、反比例的应用，找到相关联的量是解答本题的关键。 4．2小时 【分析】根据题意可知，轮船往返甲、乙港的路程不变，即速度×时间＝路程（一定），乘积一定，那么速度和时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设返回时要用小时到达。 30＝25×12 30＝300 30÷30＝300÷30 ＝10 12－10＝2（小时） 答：可以提前2小时到达。 【点睛】先确定路程一定，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出速度和时间成反比例关系，列出相应的比例方程。 5．585千米 【分析】速度一定，这辆汽车行驶的路程和所用的时间成正比例，据此列比例解答。 【详解】解：设两地相距x千米。 195∶3＝x∶9 3x＝1755 x＝585 答：两地相距585千米。 【点睛】本题解题的关键是能够判断出题中的两种相关联的量成正比例。 6．18米 【分析】根据题意可知，同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值一定，那么物体高度与影子长度成正比例关系，即古树的高度∶古树的影长＝标杆的长度∶标杆的影长，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设这棵古树高米。 ∶10.8＝3∶1.8 1.8＝10.8×3 1.8＝32.4 1.8÷1.8＝32.4÷1.8 ＝18 答：这棵古树高18米。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 7．23天 【分析】每天修的米数（即工作效率）一定，说明修的总米数和天数成正比例关系，据此列比例式解答即可。 【详解】解：设剩下的512米需要x天修完； 512∶x＝960∶15 960x＝512×15 960x÷960＝512×15÷960 x＝8； 15＋8＝23（天） 答：修完这条公路，共需要23天。 【点睛】正确判断修的总米数和天数两个相关联的量成什么比例是解答本题的关键。 8．12米 【分析】在同一时间同一地点，物体的高度与影长的比值一定，据此列比例方程，进行解答。 【详解】解：设影长为9.6米的松树的高度是x米。 1.5∶1.2＝x∶9.6 1.2x＝1.5×9.6 1.2x÷1.2＝14.4÷1.2 x＝12 答：影长为9.6米的松树的高度是12米。 【点睛】本题主要考查正比例的实际应用。 9．30千克 【分析】根据单价×数量＝总价，可知付的行李总价÷超过免费携带行李的质量＝应付的行李单价，单价一定，则付的行李总价和超过免费携带行李的质量成正比例，设每人可免费携带行李的质量为x千克，8元付的是（150－x）千克的价格，4元付的是（150－3x）千克的价格，据此列比例为8∶（150－x）＝4∶（150－3x），然后解出比例即可。 【详解】解：设每人可免费携带行李的质量为x千克。 8∶（150－x）＝4∶（150－3x） 4×（150－x）＝8×（150－3x） 600－4x＝1200－24x 600＋24x－4x＝1200 600＋20x＝1200 20x＝1200－600 20x＝600 x＝600÷20 x＝30 答：每人可免费携带行李的质量是30千克。 【点睛】本题可利用正比例解决问题，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 10．54块 【分析】根据题意知道，明明家的面积一定，每块砖的面积和砖的块数成反比例，即每块砖的面积乘砖的块数是相等的，列比例解决问题。 【详解】解：设最少需要x块。 80×80×x＝60×60×96 6400x＝3600×96 x＝54 答：需要54块。 【点睛】解答此题的关键是，判断哪两种相关联的量成何比例，注意是每一块砖的面积与块数之间的关系，不要把边长当面积，由此列比例解答，结果要用进一法解决。 11．45块 【分析】根据题意可知，每块砖的面积×块数＝地面的总面积（一定），每块砖的面积和块数的乘积一定，则它们成反比例；设需要用0.64平方米的正方形地砖x块，列方程为：0.64x＝0.6×0.6×80，然后解出方程即可。 【详解】解：设需要用0.64平方米的正方形地砖x块。 0.64x＝0.6×0.6×80 0.64x＝28.8 x＝28.8÷0.64 x＝45 答：需要用0.64平方米的正方形地砖45块。 【点睛】本题主要考查了反比例的应用，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 12．1500块 【分析】由题意可知：这段人行道总面积是一定的，即每块方砖的面积与方砖数量的乘积是一定的，则每块方砖的面积与方砖数量成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设至少需要x块。 25×960＝4×4×x 24000＝16x x＝2400÷16 x＝1500 答：至少需要1500块。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 13．200块 【分析】铺装大理石地砖的总数量是一定的，平均每天铺装的数量与天数成反例，设出未知数，列出比例式解答即可。 【详解】解：设实际平均每天铺装x块；可得： （25－5）×x＝160×25 20x＝4000 20x÷20＝4000÷20 x＝200 答：实际平均每天铺装200块。 【点睛】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 14．5小时 【分析】根据“速度×时间＝路程”，路程一定，那么速度和时间成反比例关系，等量关系：原计算的速度×原计划的时间＝实际的速度×实际的时间，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设行完全程需要小时。 （60＋18）＝60×6.5 78＝390 78÷78＝390÷78 ＝5 答：行完全程需要5小时。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 15．45天 【分析】每天用量×所用天数＝煤的总量（一定），所以每天用量与所用天数的乘积一定，成反比例关系，由此列方程计算。 【详解】解：设更换新锅炉，这些煤能用x天。 （18－2）x＝18×40 16x＝720 16x÷16＝720÷16 x＝45 答：更换新锅炉，这些煤能用45天。 【点睛】本题考查反比例的应用，两个相关联的量，乘积一定，这两个量成反比例关系。 16．625块 【分析】总面积一定，每块方砖的面积和块数成反比例，每块边长5分米方砖的面积×边长5分米方砖需要的块数＝每块边长4分米方砖的面积×边长4分米方砖需要的块数，据此列比例解答即可。 【详解】解：设需要边长4分米方砖x块， 4×4×x＝5×5×400 16x÷16＝10000÷16 x＝625 答：需要边长4分米方砖625块。 【点睛】分析题中的数量之间关系，列出等量关系式，根据等量关系式列比例解答。 17．19 【详解】试题分析：根据体积相等时，圆柱的底面积和高成反比，底面积比为4：3，那么注入同体积的水的深度比是3：4．根据题中条件可求出甲容器要注入几厘米深的水，即可求出现在的水深． 解：注入甲乙相同体积的水的深度的比是3：4． 甲容器要注入的水深：（7﹣3）÷（4﹣3）×3=12（厘米） 这时的水深：12+7=19厘米． 答：这时甲、乙两个容器中的水深19厘米． 点评：此题主要根据题意得出诸如同体积水深的比，再求出注入的水深，即可求出现在水深． 18．85∶52；52齿 【分析】根据题意可知，丙轮上的大齿轮齿数×丙轮转动圈数＝甲轮的齿数×甲轮转动的圈数，丙轮上的小齿轮齿数×丙轮转动圈数＝乙轮的齿数×乙轮转动的圈数，根据比的意义和基本性质，可知丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数＝（甲轮的齿数×甲轮转动的圈数）∶（乙轮的齿数×乙轮转动的圈数），也就是（60×17）∶（48×13），再根据比的基本性质化简即可，也就是85∶52；已知甲齿轮、丙齿轮不变，则丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数还是85∶52，设乙轮有x齿，据此列比例为（60×17）∶（12x）＝85∶52，然后解出比例即可。 【详解】（60×17）∶（48×13） ＝（60×17÷12）∶（48×13÷12） ＝85∶52 解：设要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有x齿。 （60×17）∶（12x）＝85∶52 （60×17÷12）∶（12x÷12）＝85∶52 （5×17）∶x＝85∶52 85∶x＝85∶52 85x＝85×52 x＝85×52÷85 x＝52 答：丙轮上大、小齿轮齿数之比是85∶52；若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有52齿。 【点睛】解答本题的关键是明确齿数和圈数之间的关系，然后利用比和比例的知识进行解答。 $$