（从课本到奥数）第八讲 ：浓度问题-数学六年级下册奥数人教版

从课本到奥数 六年级·寒假 LOREM 第八讲 ：浓度问题 知识精讲 溶质、溶剂、溶液 我们知道，将糖溶于水得到糖水，将盐溶于水得到盐水，将纯酒精溶于水得到酒精溶液…… 通常把被溶解的物质叫做溶质，如糖、盐、纯酒精等；把溶解这些溶质的液体称为溶剂，如水；溶质和溶剂的混合液体称为溶液，如糖水、盐水、酒精溶液等. 一般地，有下面的关系式： 例如：50克纯酒精和150克水混合后可以得到200克酒精溶液. 浓度的求法 通常我们都有这样的体会，当我们往白水中加入更多的糖时，糖水就会越来越甜.为了表征糖水的甜度并且量化这种表征，我们引入浓度这一概念，也就是浓度越大，糖水就越甜.想一想我们可以怎样定义浓度呢？ 浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即： 有了上面的关系，那么溶质的质量、溶剂的质量、溶液的质量和浓度这四个量，知道任意两个，可以求另外两个了. 浓度问题 与溶液浓度有关的应用题叫做浓度问题.计算溶液的浓度我们常常用定义来计算.抓住不变量是我们小学阶段解决问题的重要思想，在涉及到浓度问题的一些题目中也会用到这种思想. 例如：把50克纯酒精加入到150克浓度为20%的酒精溶液中，混合后得到的酒精溶液浓度是多少？ 混合前后的酒精溶液的溶剂不变，溶质增加了50克，所以混合后的酒精溶液的浓度是. 在生活中我们常常会遇到溶液混合的问题，例如：科学家在做实验的时候，需要某种浓度的溶液，但是目前实验室中只有浓度比较高和浓度比较低的溶液，这个时候就需要将两种溶液进行混合，以得到适当浓度的溶液. 题型汇总 题型一：盐重量不变的问题 1．李老师将10千克含盐率为15%的盐水，加水稀释配制成含盐率为10%的盐水用于科学实验，需加水多少千克？ 【答案】5千克 【分析】根据题意可知，加水稀释前后盐水中盐的质量不变，得出等量关系：稀释后盐水的质量×10%＝稀释前盐水的质量×15%，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设需加水千克。 （10＋）×10%＝10×15% （10＋）×0.1＝10×0.15 10×0.1＋0.1＝1.5 1＋0.1＝1.5 0.1＝1.5－1 0.1＝0.5 ＝0.5÷0.1 ＝5 答：需加水5千克。 2．含盐率8%的盐水200克，要使这些盐水的含盐率变为5%，需要加水多少克？ 【答案】120克 【分析】据题意可知，两种盐水中盐的质量没有变，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用200×8%，得到盐的质量；再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，用盐的质量除以后来的含盐率，求出后来盐水的质量，再减去原来盐水的质量，即是需要加水的质量。 【详解】 （克） 答：需要加水120克。 题型二：盐不变问题变式 1．一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，糖水的浓度变为15％．这个容器内原来含有糖多少千克？ 【答案】7.5千克 【分析】由于加水前后容器中所含有的糖的重量并没有改变，所以我们只需将加水前后容器中所含糖的重量表示出来，即可计算出结果． 【详解】解：设容器中原有糖水x千克，根据题意列方程 25％x=（x＋20）×15％ 解得x=30 30×25％=7.5（千克） 答：容器中原来含糖7.5千克． 2．一容器内盛有浓度为45％的盐水，若再加入16千克水，则浓度变为25％．这个容器内原来含有盐多少千克？ 【答案】9千克 【分析】此题可先求出原来盐水的重量，然后根据含盐量，求出原来盐水中含盐多少千克．在求原来盐水的重量时，可设原来盐水重量为x千克，根据含盐量不变，列出方程解答即可． 【详解】解：设原来盐水重量为x千克，则 45%x=（x+16）×25% 解得，x=20 20×45%=9（千克） 答：这个容器内原来含盐9千克． 题型三：混合浓度问题 1．配制含糖量为20％的糖水500克，需要用含糖量为18％和23％的糖水各多少克？ 【答案】18%的糖水300克  23%的糖水200克 【分析】设需要23%的糖水x克，那么它的含糖量就是23%x克；需要18%的糖水（500-x）克，它的含糖量是（500-x）×18%，由两种溶液中含糖的总重量是500×20%克列出方程求解． 【详解】解：设需要23%的糖水x克，由题意得： 23%x+（500-x）×18%=500×20%， 解得，x=200； 500-x=500-200=300（克）； 答：需要需要23%的糖水200克，18%的糖水300克． 2．现有浓度为10％和浓度为30％的盐水，要想配制浓度为22％的盐水250千克，需上述两种盐水各多少千克？ 【答案】浓度为10%的盐水100千克，浓度为30%的盐水150千克 【分析】设需要浓度为10%的盐水x千克，那么浓度为30%的就需要250-x千克，依据浓度为10%的盐水中盐的重量+浓度为30%的盐水中盐的重量=250千克浓度为22%的盐水中盐的重量，可列方程求解． 【详解】解：设需要浓度为10%的盐水x千克，根据题意列方程 10%x+（250-x）×30%=250×22% 解得，x=100 250-100=150（千克）； 答：需要浓度为10%的盐水100千克，浓度为30%的盐水150千克． 题型四：其他浓度问题 1．甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问： （1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？ （2）再往乙容器倒入水多少克？ 【答案】（1）6％；（2）140克 【详解】（1）现在甲容器中盐水含盐量是180×2％＋ 240×9％＝25.2（克）. 浓度是25.2÷（180 ＋ 240）× 100％=6％. （2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克）， 还要倒入水420-280＝140（克）. 答：（1）甲容器中盐水浓度是6％；（2）乙容器再要倒入140克水. 2．白色容器中有浓度为12%的盐水500克，黄色容器中有500克水．把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多．问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？ 【答案】4.8% 【详解】从白色容器中倒一半给黄色容器后，黄色容器中有盐水750克，其中含盐． 从黄色容器中倒一半给白色容器后，白色容器中有盐水250+375=625（克），其中含盐30+15=45（克），黄色容器中含盐为30-15=15（克）． 从白色容器中倒入625-500=125（克）给黄色容器，其中含盐．最后黄色容器中溶液浓度为（15+9）÷500×100%=4.8%． 跟踪训练 1．现有一瓶浓度为38％的橘子汁水800克，问这瓶橘子汁水中含橘子汁和水各多少克？ 2．100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为，稍微晾晒后，含水量下降到，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？ 3．将含农药的药液，加入一定量的水以后，药液含药，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是多少？ 4．化学兴趣小组的同学配制了10千克的高锰酸钾溶液，溶液的含水量是，蒸发后，含水量下降到，此时溶液重多少千克？ 5．A、B两只装满硫酸溶液的容器，A容器中装有浓度为8%的硫酸溶液150千克，B容器中装有浓度为40%的硫酸溶液100千克，各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？ 6．若干盐水加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，再加入同样多的水后浓度降到2%，问，如果再加入同样多的水后浓度降到多少？ 7．甲容器中有20%的盐水300克，乙容器中有25%的盐水200克。往甲、乙两容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。每个容器应倒入水多少克？ 8．在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，原来有多少千克酒精？ 9．现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？ 10．20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？ 11．甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲，这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等．乙容器中原有盐水多少克？ 12．把浓度为20%、30%、和45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓渡为35%的酒精溶液45千克．已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍．原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？ 13．将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配成浓度为10%的盐水60克．需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？ 14．甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？ 15．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 16．A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．含橘子汁304克，水496克 【详解】解：由已知浓度和溶液质量，要求的橘子汁质量为：800×38％=304（克） 水的质量=溶液质量一溶质质量=800－304=496（克） 答：含橘子汁304克，水496克． 2．50千克 【详解】晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本题可以抓住这个不变量来解． 原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为千克，晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是1千克，所以晾晒后的蘑菇有千克． 3．20% 【详解】开始时药与水的比为，加入一定量的水后，药与水的比为，由于在操作开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为，即，原来药占份，水占份；加入一定量的水后，药还是份，水变为份，所以加入了份的水，若再加入份的水，则水变为份，药仍然为份，所以最后得到的药水中药的百分比为：． 4．5千克 【分析】此题可以转换为浓度问题来解决。根据10千克的高锰酸钾溶液的含水量是，可以先求出其中高锰酸钾所占的百分比，从而求出高锰酸钾的质量。蒸发后，含水量下降到，这个过程中只有水被蒸发质量减少，高锰酸钾的质量不会发生变化。因此用高锰酸钾的质量除以高锰酸钾此时所占的百分比，即可求出此时高锰酸钾溶液的总质量。 【详解】高锰酸钾的质量： （千克） 现在高锰酸钾溶液的质量： （千克） 答：此时溶液重5千克。 5．60千克 【分析】原来A容器和B容器的溶液比是150∶100，也就是3∶2；根据题意可知，题目的操作相当于将两种溶液混合以后，再重新分成150千克和100千克，此时这每种溶液中，含有原来 A容器和B容器的溶液比是3∶2；根据分数和比的关系，现在150千克中原来 A容器的溶液占150千克的，根据分数乘法的意义，用150×即可求出现在150千克含有原来A容器的溶液的质量，然后用150千克减去含有的A容器的溶液的质量，即可求出含有B容器的溶液的质量，也就是取了多少千克B容器中的溶液放入到A容器的溶液中。 【详解】150∶100 ＝（150÷50）∶（100÷50） ＝3∶2 150× ＝150× ＝90（千克） 150－90＝60（千克） 答：各取60千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样。 【点睛】本题考查了浓度问题，明确浓度一样以后，无论溶液怎么分配，原来两种溶液的比不变。 6．1.5% 【分析】假设3%的盐水有100克，根据百分数乘法的意义，用100×3%即可求出盐的质量，盐的质量不变，再加入同样多的水后浓度降到2%，则把2%的盐水质量看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用100×3%÷2%即可求出2%的盐水质量，然后用2%的盐水质量减去3%的盐水质量，即可求出加入的水的质量，如果再加入同样多的水，则现在的质量等于2%的盐水质量加上同样多的水的质量，最后根据求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数，则用盐的质量除以现在的盐水质量，即可求出现在的盐水浓度。 【详解】假设3%的盐水有100克， 盐的质量：100×3%＝3（克） 2%的盐水质量：3÷2%＝150（克） 加入的水的质量：150－100＝50（克） 现在的质量：150＋50＝200（克） 现在盐水浓度：3÷200＝1.5% 答：如果再加入同样多的水后浓度降到1.5%。 【点睛】本题考查了浓度问题，可用假设法解决问题，关键是将3%的溶液看作原溶液。 7．300克 【分析】根据溶液×浓度＝溶质，代入数据分别求出两种盐水中盐的质量，甲容器中有60克盐，乙容器中有50克盐；往甲、乙两容器中分别加入等量的水，甲容器和乙容器的盐水质量差不变，根据浓度＝溶质÷溶液，浓度相同，溶质比＝溶液比，据此可知，现在甲、乙的溶液比＝60∶50＝6∶5，把现在甲容器的盐水质量看作6份，乙容器的盐水质量看作5份，它们相差（6－5）份，也就是（6－5）份是（300－200）克，据此求出每份是多少，进而求出6份，也就是现在甲容器的盐水质量，然后减去300克，即可求出加入的水的质量。 【详解】300×20%＝60（克） 200×25%＝50（克） 60∶50 ＝（60÷10）∶（50÷10） ＝6∶5 （300－200）÷（6－5） ＝100÷1 ＝100（克） 6×100＝600（克） 600－300＝300（克） 答：每个容器应倒入水300克。 【点睛】本题考查了浓度问题的应用，可利用比例的知识解答，明确浓度相同，溶质比等于溶液比是解答本题的关键。 8．6千克 【分析】设原来酒精溶液为x千克，则原溶液中酒精的质量x×40%，加入水后酒精的质量不变，可求出原来酒精的质量． 【详解】解：设原来有酒精溶液x千克，则原溶液中酒精的质量x×40%，根据题意列方程 40%x÷（x+5）=30% 0.4x=0.3×（x+5） 0.4x=0.3x+1.5 0.1x=1.5 x=15 40%x=40%×15=6（千克） 答：原来有6千克酒精． 9．30千克 【分析】设加入浓度为30%的盐水溶液x千克，那么这其中盐的质量就是30%x千克；浓度为10%的盐水溶液20千克，这其中盐的质量为20×10%千克；后来盐水的总质量就是（20+x）千克，它的浓度是22%，那么这其中的含盐（20+x）×22%千克，根据原来盐的质量+加入盐的质量=后来盐的质量列出方程求解． 【详解】解：设加入浓度为30%的盐水溶液x千克，根据题意列方程： 20×10%+30%x=（20+x）×22% 解得，x=30 答：再加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水. 10．需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克 【详解】20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量（20％-15％）×20％所需数量要恰好能弥补少的含盐量（15％-5％）×5％所需数量. 也就是 ==． 画出示意图： 相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系. 因此，需要20%的食盐水：900×=600（克）， 需要5%的食盐水：900×=300（克） 答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克. 11．520克 【详解】甲容器中原有食盐180×2%=3.6（克），甲容器中现有食盐3.6+240×9%=25.2（克），又知此时甲、乙两容器内食盐量相等．乙容器的浓度为9%，设现有乙溶液x克，则列方程得x·9%=25.2，解方程得x=280（克），所以乙容器中原有盐水240+280=520（克）． 12．浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克 【分析】从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍”可知，无论它们各取多少，它们之间的用量的比总是3∶1，那么混合后得到一种新的酒精溶液，其浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，这样原题变为“把浓度为22.5%和45%的两种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45千克．求每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？” 【详解】浓度为20%与30%的两种酒精按3∶1的比例混合后所得到酒精溶液的浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5% 浓度为45%的酒精用量为：（45×35%-45×22.5%）÷(45%-22.5%)=25（千克） 浓度为30%的酒精用量为：（45-25）÷（3+1）=5（千克） 浓度为20%的酒精用量：5×3=15（千克） 答：浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克． 13．需要20%的盐水20克，5%的盐水40克 【分析】根据题意，将20%的盐水与5%的盐水混合，配成10%的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量的和与混合后盐水中盐的质量是相等的．可根据这一数量间的关系列方程解答． 【详解】解：设20%的盐水有x克，则5%的盐水有（60-x）克 20%x+(60-x)×5%=60×10% 20%x+60×5%-5%x=6 解得x=20 60-20=40（克） 答：需要20%的盐水20克，5%的盐水40克． 14．甲取12升，乙取30升 【分析】这道题，我们可以把他看成一道分数百分数问题，首先选取单位“1”，但是注意，两次混合就要选取两次单位“1”，要对应联系起来，我们可以每次都选取乙为单位“1”． 【详解】解法一：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率为：（62%-58%）÷（72%-62%）=； 第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率（63.25%-58%）÷（72%-63.25%）= 根据量率对应的关系： 乙可取15÷[3÷（5-3）–2÷（5-2）]÷（1-）=30（升） 甲可取30×=12（升）． 解法二：可以采用“十字交叉相减”法，这个方法和杠杆原理很类似，两种浓度不同的溶液混合在一起，混合后的浓度一定在混合前两种溶液的浓度之间，比大的小，比小的大，并且接近质量多的溶液．具体解体方法如下： 混合前甲，乙溶液浓度：   甲                   乙 交叉相减求差：         62%-58%=4%          72%-62%=10%            差的比值：                4%          ：       10% 甲，乙溶液质量的比值：    2           ：        5   第二次配比也是相同的方法 混合前甲，乙溶液浓度：      甲                   乙     交叉相减求差：          63.25%-58%=5.25%    72%-63.25%=8.75%         差的比值：                    5.25%       ：      8.75% 甲、乙溶液质量的比值：         3          ：        5 这样我们可以轻松的得到配比前两种溶液质量的比值，剩下的步骤就很容易了． 【点睛】溶液的配比问题可以抓住不变量，利用方程或“十字交叉”法来解决． 15．20% 【分析】根据题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍。设B种酒精浓度为x%，则A种酒精浓度为2x%。A种酒精溶液100克，因此100×2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。B种酒精溶液400克，因此400×x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。 【详解】解：设B种酒精浓度为x%，则A种酒精的浓度为2x%。 150＋6x＝14×15 x＝10 2x%＝2×10%＝20%。 答：A种酒精的浓度为20%。 【点睛】本题考查浓度问题，明确溶液、溶质和溶剂三个概念并掌握它们之间的关系是解题的关键。 溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。 溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。 基本公式： 浓度＝溶质÷溶液×100%＝溶质÷（溶质＋溶剂）×100% 溶质＝溶液×浓度 溶液＝溶质÷浓度 溶剂＝溶质÷浓度－溶质＝溶液×（1－浓度百分数） 16．50克 【分析】三瓶糖水的浓度都是已知的，并且知道B瓶比C瓶多30克，可以假设C瓶为x克，那么B瓶为（x+30）克，A瓶糖水为：100-（x+x+30）=70-2x克，混合前后溶质的质量和没有发生变化，我们可以用这个等量关系来列方程解题． 【详解】解：设C瓶糖水有x克，则B瓶糖水为x+30克，A瓶糖水为100-（x+x+30）=70-2x， （70-2x）×20%+（x+30）×18%+x×16%=100×18.8%，整理得0.06x=0.6，解得x=10，所以A瓶糖水为：70-2×10=50（g） 答：A瓶糖水有50克． $$