第5章 比和比例易错训练与压轴训练（15易错+压轴）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第5章 比和比例易错训练与压轴训练（15易错+压轴） 01 思维导图 目录 易错题型一　比的意义 1 易错题型二　比的性质 4 易错题型三　比的化简 5 易错题型四　比的应用 9 易错题型五　按比例分配问题 11 易错题型六　比例的基本性质 13 易错题型七　解比例 14 易错题型八　比例的应用 17 易错题型九　百分比的意义 19 易错题型十　求一个数是另一个数的百分之几 21 易错题型十一　求一个数比另一个数多/少百分之几 22 易错题型十二　折扣问题利率问题 25 易错题型十三　利率问题 27 易错题型十四　利润问题 29 易错题型十五　等可能事件 31 压轴题型 比和比例压轴题型 33 02 易错题型 易错题型一　比的意义 例题：比的比值是（    ） A． B． C．0.9 D．2.5 巩固训练 1．从甲堆货物中取出给乙堆，这时两堆货物质量相等，原来甲、乙两堆的质量比是（   ）． A． B． C． D． 2．甲数是乙数的，甲数和乙数的比是 ；甲数比乙数少，甲数和乙数的比是 ． 3．的比值是 ，如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上 ． 4．（1）如图，在网格内，按把下面的三角形缩小，把缩小后的图形画在原图形的下方． （2）直接写出（1）中按缩小后图形的面积与原图形面积的比值为________． 易错题型二　比的性质 例题：的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应加上（    ）． A．20 B．8 C．12 D．10 巩固训练 1．若的后项加上6，要使比值不变，前项应加上（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 2．已知，其中a、b都大于零，则a b（用“>”或“<”填空） 3．将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的，则比值 （填扩大或缩小）为原来的 倍 4．已知，求x的值． 易错题型三　比的化简 例题：（a，b均不为），a与b的最简整数比是（　　） A． B． C． 巩固训练 1．下列是最简整数比的是（     ） A． B． C． D． 2．六（2）班学生人数比六（1）班少，六（1）班人数与六（2）班人数的比是 ： ． 3．把化成最简整数比是 ∶ ；的比值是 ． 4．化简比并求比值． (1)； (2)； (3)15分钟小时． 易错题型四　比的应用 例题：甲乙两只篮子各装了35个苹果，现从甲篮中拿出5个苹果放到乙篮，则乙篮子里的苹果比甲篮子里的多（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．从甲盐库取出的盐运到乙盐库，这时两个盐库所存的盐的质量相等，原来甲盐库和乙盐库的存盐质量的比是（    ）． A． B． C． 2．用一根长的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是，则这个长方形的面积是 ． 3．走同一段路，甲用了15小时，乙用了10小时，甲与乙行走的时间之比是 ，速度之比是 ． 4．某学校图书室原有图书210本，其中新书占，后来又买进一些新书后，新书本数与现在图书总本数的比是，现在图书室一共有多少本新书? 易错题型五　按比例分配问题 例题：将一盒糖果按照分给甲、乙、丙、丁四个小朋友，其中乙得到了12块，那么丙分到（    ）块糖果． A．6 B．9 C．15 D．12 巩固训练 1．三个自然数，甲与乙的比是，乙与丙的比是，这三个数的和是201，甲是（    ） A．49 B．36 C．60 D．105 2．用的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比为，长方体的体积是 ． 3．盒子里有三种颜色的球共200个．黄球个数与红球个数的比是，红球个数与白球个数的比是，那么盒子里的红球有 个． 4．张伯伯家里的菜地共，他准备用菜地的种西红柿，剩下的按的面积比种黄瓜和茄子． (1)西红柿的面积是多少？ (2)黄瓜和茄子的面积分别是多少？ 易错题型六　比例的基本性质 例题：与，，三个数可以组成比例，最大是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．在比例中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（      ）． A．8 B．12 C．24 D．36 2．如果，那么 ．如果，那么 ． 3．若，，且，则 ． 4．已知：，，求的最简整数比． 易错题型七　解比例 例题：甲、乙两数的比是，乙数是60，甲数是（    ） A．90 B．40 C．36 巩固训练 1．已知（、、均大于0），那么（    ）最大． A． B． C．c D．无法比较哪个 2．一个分数的分子和分母相差3，如果分子和分母同时加上13后，可约分为，原分数为 ． 3．如果2是x与5的比例中项，则 ． 4．解方程 (1) (2) (3) (4) 易错题型八　比例的应用 例题：把如图线段比例尺改写成数值比例尺是（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．在一幅比例尺是的地图上，量得成都到北京的距离约是30厘米，成都到北京的实际距离约是（    ）千米． A．15 B．150 C．1500 D．15000 2．一个牧场有马200匹、羊300只、牛80头，绘制条形统计图时，表示牛的直条高4厘米，表示马的直条高应是 厘米，表示羊的直条高应是 厘米． 3．2022年6月5日上午10点44分，中国载人航天飞船神舟十四号在酒泉卫星发射中心成功发射．陈冬、刘洋、蔡旭哲三位航天员于6月5日20时50分顺利进入天和核心舱.该核心舱的某精密零件是按放大后画在图纸上的，在图纸上长．这个零件实际长 ． 4．果园收购一批苹果，按质量分为三等，最好的苹果为一等，每千克售价3.6元；其次是二等苹果，每千克售价2.8元；最次的是三等苹果，每千克售价2.1元．这三种苹果的数量之比为．若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价多少元比较适宜？ 易错题型九　百分比的意义 例题：与相等的数是（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（分数、百分数的应用）某班的男生比全班人数的少4人，女生比全班人数的多6人，那么这个班男生比女生少（   ）人． A．5 B．3 C．9 D．10 2．在四个数中，最大的是 ，最小的是 ． 3． ．依次应填入： ， ， ， 易错题型十　求一个数是另一个数的百分之几 例题：在10的后面添上百分号，这个数是原数的（   ） A．1倍 B．倍 C．10倍 D．100倍 巩固训练 1．淘气去年身高140厘米，今年比去年长高了，淘气今年身高多少厘米？小芳同学列式为，其中表示（     ） A．淘气去年的身高 B．淘气今年的身高是去年的几分之几 C．淘气今年的身高 D．淘气今年的身高比去年多几分之几 2．90 米是 120 米的 %，120 千克的是 千克． 3、（百分数的应用）王刚把6千克味精平均包在8个塑料袋中，每袋占味精总质量的 ． 4．甲数的25%是，乙数是60的20%，乙数是甲数的百分之几？ 易错题型十一　求一个数比另一个数多/少百分之几 例题：甲数与乙数的比是，甲数比乙数大（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．下面可以用解决的数学问题是（    ） A．3米的是多少？ B．一条绳子比3米长，这条绳子长多少米？ C．3吨比吨多百分之几？ D．3吨是吨的多少倍？ 2．甲数除以乙数的商是3.2，甲：乙=( )：( )，乙数比甲数少( )% 3．六（3）班有男生22人，女生28人，则男生人数占全班人数的( )，男生比女生人数少( )．（除不尽的百分号前保留一位小数） 4．王叔叔要出差，买了一张12月9日上午的火车票，票价120元，由于临时有事，王叔叔12月8日下午收到出差取消的通知，随即他就在网上进行了退票，按照规定，退票需要扣除手续费，具体费用如表所示，王叔叔最后收到退票的钱是多少？ 退票时间 退票手续费占票价的百分比 开车前48时至8天 开车前24时至48时 开车前24小时以内 易错题型十二　折扣问题利率问题 例题：一件商品，如果八折出售，就比原价便宜84元，原价是（   ）元． A． B． C． 巩固训练 1．一种商品提价后，又以八五折出售，现价与原价相比（   ）． A．比原价高 B．比原价低 C．和原价相等 D．无法比较 2．一身衣服打七五折后售价120元，这身衣服原价 元． 3．国庆节期间，某鞋店推出“买一送一”的活动（不同价格的两双鞋子按价格高的那双付款），张阿姨看中了两双鞋子，价格分别是180元和120元，她同时买下这两双鞋子，相当于打 折． 4．学校准备给120名教职工每人购买一套工作服有三家商场有符合要求的服装，且每套服装定价都是200元三家商场优惠情况如下： A商场：一次性购买50套以上，享受七五折优惠； B商场：每购物满500元返100元现金； C商场：购买30套以内，无优惠：超过30套的部分，享受七折优惠； 到哪家商场购买工作服比较合算？最少需要多少钱？ 易错题型十三　利率问题 例题：王明把2000元存入银行，定期两年，年利率是2.10%，到期后，王明一共可获得本金和利息（）元． A．2084元 B．84元 C．2042元 D．2420元 巩固训练 1．某商店同时卖出两件商品，卖价均为120元，其中一件盈利，另一件亏本，这个商店卖出这两件商品，相对成本而言，总体上（    ） A．不亏不赚 B．赚了10元 C．亏了10元 D．亏了20元 2．小芳家购置车辆向银行贷款50000元钱，目前该银行的基准利率一年期为，到期后，小芳家需向银行偿还本息( )元． 3．下图是李亮在银行的一张存款单．这笔存款的存期是( )年，到期时可取回本金和利息一共( )元． 4．一批商品若进货价降低而售价不变，那么利润率（按照进货价而定）可以由原来的增加到，则原来的利润率是多少？ 易错题型十四　利润问题 例题：某商场2012年12月份的营业额约是400万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，应纳税额约是（    ）万元 A．15 B．20 C．25 D．30 巩固训练 1．文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖420元，以成本计算，其中一台盈利，另一台亏本，则这次出售中商场（　　） A．不赔不赚 B．赚70元 C．赚35元 D．赔35元 2．某种微波炉的标价为1260元，若九折降价出售仍可获利（相对于进价）．若以标价1260元出售，可获利（相对于进价）( )元． 3．（1）一件服装进价为100元，售价为120元，则它的盈利率为 ； （2）一台冰箱批发价为2000元，若要盈利60%，则每台的售价为 元． 4．商店有甲乙两件商品，售价都是60元，卖出甲商品赚了25%，卖出乙商品亏了25%．如果两种商品都卖出，那么商店是赚了还是亏了？赚了或亏了多少元． 易错题型十五　等可能事件 例题．一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（    ） A．小明一定摸到35次红球，15次白球 B．小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C．小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D．小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 巩固训练 1．盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（    ）盒做的试验． A． B． C． D．红球： 2．盒子里装有5张数字卡片（卡片除了上面的数字不同外，其他完全一样），上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是，分子是 ，分母是 ． 3．有红、绿、黄三种颜色的球各6个，放到一个不透明的袋子里．至少取( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球． 4．一则广告称：本次抽奖活动的中奖率为50%，其中一等奖的中奖率为10%，小明看到这则广告后，想：“，那么我抽两张就会有一张中奖，抽10张就会有1张中一等奖”．你认为小明的想法对吗？请说明理由． 03 压轴题型 压轴题型 比和比例压轴题型　 1．甲、乙、丙三根不同的鱼竿，甲与乙的长度之比是，如果将甲鱼竿的浸入河水里，将丙鱼竿的一部分浸入河水里，甲与丙浸入河水里的长度之比是，未浸入河水里的那部分鱼竿一样长，则乙、丙两根鱼竿的长度之比是（    ） A．6：5 B．24：25 C．13：15 D．25：26 2．x的等于y的时（x，y不等于零）（    ） A． B． C． D．无法确定 3．甲瓶盐水浓度是，乙瓶盐水浓度是．当两瓶盐水混合时，盐水浓度为，如果把两瓶盐水各取出10升，再把剩下的盐水混合，这时盐水浓度为，乙瓶原来有盐水 升． 4．(浓度问题)甲容器中有的盐水120克，乙容器中有某种浓度的盐水若干．从乙中取出480克盐水，放入甲种混合成浓度为的盐水，则乙容器中的盐水浓度是 ． 5．甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲到终点时，乙离终点 5 米，丙离终点 10 米，乙到终点时，丙离终点还有 米．一个自然数除以 7、8、9 分别余 1、2、3，而所得的三个商的和是 570，这个数是 ． 6．昨天六年级进行了纪念“一二·九”红歌合唱活动，最后一个合唱组合由三个班级组成．其中A班有49人，比两班人数和的少1人． (1)B班和C班共有多少人？ (2)其中两班女同学的人数比是，这两个班级男同学人数和比这两个班级女同学人数和多，A班男同学比B班女同学多1人，A班男同学有多少人？ (3)在（2）的条件下，音乐老师排好第一排队形后发现，如果让第一排再加入两个男同学，那么第一排的女同学的人数就比男同学少；如果加入一名女同学，那么第一排男、女同学人数就相等，合唱队伍共六排，第二至第五排每排男、女同学人数都和第一排一样，其余同学站在第六排，求此时第六排女同学比男同学少几分之几？ 7．为传承和弘扬中华传统文化，提高学生书法水平和审美素养，哈尔滨市第中学初一年级开展“传承经典文化，书写精彩人生”书法比赛．在参加比赛的队伍中是女生，男生有名．这名男生占初一年级男生人数的，未参加书法大赛的学生人数与初一年级学生人数比． (1)参加书法大赛的有多少名学生？ (2)初一年级共有多少名女生？ (3)参加本次书法大赛的同学分别荣获一等奖、二等奖以及三等奖，其中二等奖人数比一等奖多，三等奖人数比二等奖多．一等奖奖励一个笔袋和一张证书，每个笔袋元，二等奖奖励一个笔筒和一张证书，每个笔筒5元，三等奖奖励一张证书，一等奖、二等奖和三等奖的奖励证书均为每张元，现甲乙两个商店给出优惠购买方案： ①甲商店的优惠方案为：在甲商店购买一律按原价的出售． ②乙商店的优惠方案为：笔袋单价按原价出售，笔筒单价降价，证书单价降价，在哪家购买划算？ 8．如图，有一块土地，可看成由两个部分重叠的长方形构成，经过测量可知：重叠部分面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的． (1)大长方形和小长方形的面积的比值是多少？ (2)若大长方形中空白部分的面积比小长方形中空白部分的面积多120亩，则重叠部分面积是多少亩？ (3)在（2）的条件下，若重叠部分种植土豆，大长方形中空白部分种植玉米，小长方形中空白部分种植黄瓜．种植玉米所花的费用比种植土豆和黄瓜所花的费用和少，种植玉米和黄瓜所花的费用和比种植土豆所花的费用多，种植黄瓜每亩所需的费用为2000元， 已知三种蔬菜每亩的产量和销售价格如下表所示： 蔬菜 玉米 土豆 黄瓜 产量（单位：斤/亩） 1500 5000 2000 销售价格（单位：元/斤） 1 0.6 1.5 在收割储存运输的过程中，玉米和黄瓜都有的损耗，求将这块土地产出的三种蔬菜全部卖出所获得的利润占总的种植成本的几分之几？（卖出蔬菜获得的利润销售全部蔬菜获得的钱数种植三种蔬菜的总成本） 9．第19届杭州亚运会在杭州举行．甲、乙、丙三人合作生产了一批吉祥物玩偶．甲、乙合作5天做了这批玩偶的，乙、丙合作2天做了剩下玩偶的，剩下的三人合作4天完成，共得工资2280元，按各人所完成的工作量合理分配，每人应得多少元？ 10．A、B两个工程分别由甲、乙两个队来完成．在晴天，甲队完成A工程需要12天，乙队完成B工程需要15天；在雨天，甲队的效率要下降，乙队的工作效率要下降，现在两队同时开工，并同时完成这两个工程，那么在施工的日子里，晴天有几天？雨天有几天？ 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 比和比例易错训练与压轴训练（15易错+压轴） 01 思维导图 目录 易错题型一　比的意义 1 易错题型二　比的性质 4 易错题型三　比的化简 5 易错题型四　比的应用 9 易错题型五　按比例分配问题 11 易错题型六　比例的基本性质 13 易错题型七　解比例 14 易错题型八　比例的应用 17 易错题型九　百分比的意义 19 易错题型十　求一个数是另一个数的百分之几 21 易错题型十一　求一个数比另一个数多/少百分之几 22 易错题型十二　折扣问题利率问题 25 易错题型十三　利率问题 27 易错题型十四　利润问题 29 易错题型十五　等可能事件 31 压轴题型 比和比例压轴题型 33 02 易错题型 易错题型一　比的意义 例题：比的比值是（    ） A． B． C．0.9 D．2.5 【答案】D 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可把比例进行化简，进而问题可求解． 【详解】解：； 故选D． 巩固训练 1．从甲堆货物中取出给乙堆，这时两堆货物质量相等，原来甲、乙两堆的质量比是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，可把甲堆货物的质量看作单位“1”，是9份，拿出1份给乙后两袋大米质量相等，那么就说明甲原来比乙多2份，即乙原有7份，据此可列比解答即可． 【详解】 解：由“从甲堆货物中取出给乙堆货物，这时两堆货物的质量相等”可知，甲原有9份，乙原有份， 原来甲和乙的比是； 故选：C． 【点睛】此题关键是弄清：“甲把自己的1份给乙后二者相等”意思是“原来甲比乙多2份”． 2．甲数是乙数的，甲数和乙数的比是 ；甲数比乙数少，甲数和乙数的比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求比值，将乙数看作单位1，根据甲数是乙数的，求出甲数和乙数的比即可；将乙数看作单位1，根据甲数比乙数少，求出甲数和乙数的比即可． 【详解】解：∵甲数是乙数的， ∴甲数和乙数的比是； ∵甲数比乙数少， ∴甲数和乙数的比是：． 故答案为：；． 3．的比值是 ，如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上 ． 【答案】 3.2 【分析】此题考查了比的性质， 根据比的性质化简即可求出的比值，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】， 如果前项加上0.8为 要使比值不变， ∴ ∴ ∴后项应加上3.2． 故答案为：，3.2． 4．（1）如图，在网格内，按把下面的三角形缩小，把缩小后的图形画在原图形的下方． （2）直接写出（1）中按缩小后图形的面积与原图形面积的比值为________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）原来三角形的两条直角边分别是2和4，按的比例缩小后的两条直角边分别是1和2，据此画图即可； （2）先求出面积，再求比值即可 【详解】解：（1）如图， （2）原三角形的面积， 缩小后三角形的面积， 所以按缩小后图形的面积与原图形面积的比值为． 故答案为：． 【点睛】本题是考查图形的放大与缩小，以及三角形的面积计算．使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念． 易错题型二　比的性质 例题：的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应加上（    ）． A．20 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了比的性质，明确：比的前项和后项同时乘或除以相同的不为的数，比值不变． 比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的不为的数，比值不变，的后项扩大到原来的三倍，要使比值不变，前项也应该扩大到原来的三倍，求得后来的前项，即可得解． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B ． 巩固训练 1．若的后项加上6，要使比值不变，前项应加上（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握比的基本性质是解题的关键； 后项加上6，扩大到原来的3倍，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，增加了2倍，据此即可解答． 【详解】解：，， 比的后项变成了9，扩大了3倍， 要使比值不变，比的前项也要扩大3倍， 比的前项加上； 故选：B． 2．已知，其中a、b都大于零，则a b（用“>”或“<”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了比的性质，先根据比的性质得出，即可判断a与b的大小关系，解题的关键是根据比的性质得出a和b的关系． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，a、b都大于零， ∴， 故答案为：． 3．将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的，则比值 （填扩大或缩小）为原来的 倍 【答案】 扩大 4 【分析】本题主要考查了比的性质，设原比值为1，则将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的后的比为，据此可得答案． 【详解】解：设原比值为1，则将比的前项扩大2倍，比的后项缩小至原来的后的比为，即比值为4， 所以比值扩大为原来的4倍． 故答案为：扩大，4． 4．已知，求x的值． 【答案】2 【分析】根据比的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据比的基本性质，得， 整理，得，解得． 答：x的值为2． 【点睛】此题考查了比的性质，解题的关键是熟练掌握例的性质． 易错题型三　比的化简 例题：（a，b均不为），a与b的最简整数比是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题主要考查逆用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）得出a与b的比，再利用比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变）化简即可． 【详解】解：， 化解为：，则：， 化解为最简整数比为：， 故选：C． 巩固训练 1．下列是最简整数比的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（除外）比值不变，进而把比化成最简比． 【详解】解：A． ，故此选项不符合题意； B． ，故此选项不符合题意； C．，比的前项和后项都是整数且是互质数，故此选项符合题意； D． ，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查化简比的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．掌握化简比的方法是解题的关键． 2．六（2）班学生人数比六（1）班少，六（1）班人数与六（2）班人数的比是 ： ． 【答案】 6 1 【分析】本题考查比的意义，把六（1）班的学生人数看作单位“1”，则六（2）班的学生人数有，然后用六（1）班人数比上六（2）班人数即可． 【详解】解：假设六（1）班的学生人数为1，则六（2）班的学生人数为， ， 故六（1）班人数与六（2）班人数的比是， 故答案为：6，1． 3．把化成最简整数比是 ∶ ；的比值是 ． 【答案】 1 2 【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．用比的前项除以后项即可． 【详解】解：， 故答案为∶1，2，． 4．化简比并求比值． (1)； (2)； (3)15分钟小时． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了比的化简，求比值，解题的关键是熟练掌握比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；利用“比的基本性质 ”把比化简成最简单的整数比，即前项和后项是整数，且互质。根据求比值的方法，用最简比的前项除以后项即得比值。 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解：15分钟小时 分钟分钟 ， ． 易错题型四　比的应用 例题：甲乙两只篮子各装了35个苹果，现从甲篮中拿出5个苹果放到乙篮，则乙篮子里的苹果比甲篮子里的多（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比的应用，单位“1”的确定是解题的关键． 先求出从甲篮中拿出5只苹果放到乙篮中后，两篮中各有多少苹果，然后再求出乙篮里的苹果比甲篮里的多多少，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选： B． 巩固训练 1．从甲盐库取出的盐运到乙盐库，这时两个盐库所存的盐的质量相等，原来甲盐库和乙盐库的存盐质量的比是（    ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比的意义以及比值，关键弄清甲把自己的1份给了乙后二者相等，意思是原来甲比乙多2份． 【详解】解：由“甲盐库取出的盐运到乙盐库后，两个盐库所存的盐的质量相等”可知， 甲原有5份，乙原有份，原来甲和乙的比是； 故选：A． 2．用一根长的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是，则这个长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，面积的计算，掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例分别求出长，宽的值，根据面积的计算公式计算即可求解． 【详解】解：长的铁丝围成一个长方形， ∴长、宽之和为， ∵长和宽的比是， ∴长为，宽为 ∴这个长方形的面积为， 故答案为： ． 3．走同一段路，甲用了15小时，乙用了10小时，甲与乙行走的时间之比是 ，速度之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比的应用，根据甲用了15小时，乙用了10小时，即可得出甲与乙行走的时间之比，再根据路程一定即可得出速速和时间成反比例关系，即可得出速度之比． 【详解】解：甲用了15小时，乙用了10小时，则甲与乙行走的时间之比是：， 因为路程一定， 所以速度和时间成反比例关系，且比为， 故答案为：； 4．某学校图书室原有图书210本，其中新书占，后来又买进一些新书后，新书本数与现在图书总本数的比是，现在图书室一共有多少本新书? 【答案】现在图书室一共有240本新书 【分析】本题主要考查了比的应用，分数混合运算的应用，先求出旧书本数，根据旧书本数，新书本数与现在图书总本数的比是，求出图书总数，最后求出结果即可． 【详解】解：旧书本数为： （本）， 又买进一些新书后图书总本数为： （本）， 现在新书本数为： （本）， 答：现在图书室一共有240本新书． 易错题型五　按比例分配问题 例题：将一盒糖果按照分给甲、乙、丙、丁四个小朋友，其中乙得到了12块，那么丙分到（    ）块糖果． A．6 B．9 C．15 D．12 【答案】A 【分析】先求出糖果总数，从而可求出丙分到的糖果． 【详解】解：因为， 所以一共有块糖果， 所以丙分到块糖果． 故选A． 【点睛】本题考查按比例分配问题，分数乘法和除法的应用．理解题意，正确列出算式是解题关键． 巩固训练 1．三个自然数，甲与乙的比是，乙与丙的比是，这三个数的和是201，甲是（    ） A．49 B．36 C．60 D．105 【答案】B 【分析】可由已知求得甲、乙、丙的连比，再根据按比例分配的方法可以求得甲的值． 【详解】解：∵甲：乙=，乙：丙=， ∴甲：乙：丙=12：20：35， 又三个数的和是201，∴甲为：， 故选B． 【点睛】本题考查按比例分配，根据已知条件求得甲乙丙三数的连比是解题关键．　 2．用的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比为，长方体的体积是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了长方体的棱长总公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是利用按比例分配的方法求出长、宽、高． 据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，首先求出长、宽、高的和；再根据按比例分配的方法分别求出长、宽、高．然后把数据代入长方体的体积公式解答． 【详解】解：（份）， （厘米）， （厘米）， （厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 故答案为：480． 3．盒子里有三种颜色的球共200个．黄球个数与红球个数的比是，红球个数与白球个数的比是，那么盒子里的红球有 个． 【答案】48 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出三种球个数的连比，再设出未知数，根据“三种颜色的球共200个”列方程是解题的关键． 【详解】解：∵黄球个数与红球个数的比是．红球个数与白球个数的比是， ∴黄球个数，红球个数与白球个数的比是， 设黄球个数为个，红球个数为个，白球个数为个， 根据题意，得， 解得， ∴红球有（个）， 故答案为：48． 4．张伯伯家里的菜地共，他准备用菜地的种西红柿，剩下的按的面积比种黄瓜和茄子． (1)西红柿的面积是多少？ (2)黄瓜和茄子的面积分别是多少？ 【答案】(1) (2)黄瓜地的面积为：茄子地的面积为． 【分析】本题考查的是分数的乘除运算的应用，比的应用，理解题意是解本题的关键； （1）利用总面积乘以可得西红柿地的面积； （2）利用剩余面积乘以可得黄瓜地的面积，再利用减法列式求解茄子地的面积即可． 【详解】（1）解：西红柿地的面积是； （2）黄瓜地的面积为： 茄子地的面积为． 易错题型六　比例的基本性质 例题：与，，三个数可以组成比例，最大是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比的运算，解题的关键是理解题意，正确列出比例式． 根据题意可知时最大，求解即可． 【详解】解：根据题意可得：时最大 解得：， 故选：C 巩固训练 1．在比例中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（      ）． A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】设第二个比的后项应加上，则，根据比例的性质得，由此解出即可．此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设第二个比的后项应加上， 依题意得：， ， 解得：． 故选：C． 2．如果，那么 ．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的性质及求比值，根据比的性质列式求解即可． 【详解】解：， ； ， ， 故答案为：， 3．若，，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是比例的基本性质．要求出的值，首先确定出占、、三者之和的多少，由已知条件可以得到，由、、三者的比可以确定出总份数为份，占了2份，利用乘法列式计算即可求出答案． 【详解】解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：12． 4．已知：，，求的最简整数比． 【答案】 【分析】首先把，，化为最简分数，，把的份数化为3、5的最小公倍数15，再进一步利用比的基本性质把的份数统一写成连比即可． 【详解】解：， ， 所以，的最简整数比是：． 【点睛】此题考查利用比的基本性质化简比以及把两个比化为连比的方法． 易错题型七　解比例 例题：甲、乙两数的比是，乙数是60，甲数是（    ） A．90 B．40 C．36 【答案】A 【分析】本题主要考查了解比例，根据甲、乙两数的比是，结合内项之积等于外项之积进行求解即可． 【详解】解：， 所以甲数是90， 故选A． 巩固训练 1．已知（、、均大于0），那么（    ）最大． A． B． C．c D．无法比较哪个 【答案】B 【分析】分别根据所给的等式求出，，即可得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以b最大， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解比例，正确根据已知式子推出，是解题的关键． 2．一个分数的分子和分母相差3，如果分子和分母同时加上13后，可约分为，原分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数，比例的性质．设原分数的分母为，则分子为，再根据题意列方程，根据比例的性质即可求解． 【详解】解：设原分数的分母为，则分子为， 根据题意得，， 根据比例的性质可得，， 解得， ∴原分数为， 故答案为：． 3．如果2是x与5的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解比例，根据比例中项的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：因为2是x与5的比例中项， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 4．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）方程两边同乘，求出x的值即可； （2）去移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （3）方程两边同乘，求出x的值即可； （4）去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘得：； （2）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 方程两边同乘得：， 即； （4）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 易错题型八　比例的应用 例题：把如图线段比例尺改写成数值比例尺是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例尺的意义，将千米换算成厘米，然后即可得出答案． 【详解】解：千米厘米， 把线段比例尺改写成数值比例尺是， 故选：D． 巩固训练 1．在一幅比例尺是的地图上，量得成都到北京的距离约是30厘米，成都到北京的实际距离约是（    ）千米． A．15 B．150 C．1500 D．15000 【答案】C 【分析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 图上距离和比例尺已知，依据“图上距离比例尺实际距离”，代入数据即可求解． 【详解】解：（厘米） 150000000厘米千米 答：成都到北京的实际距离大约是1500千米． 故选：C． 2．一个牧场有马200匹、羊300只、牛80头，绘制条形统计图时，表示牛的直条高4厘米，表示马的直条高应是 厘米，表示羊的直条高应是 厘米． 【答案】 10 15 【分析】本题考查了比例式的应用，熟练掌握比例式的基本计算是解题的关键．根据题意，列出比例式计算即可． 【详解】解：设表示马的直条高应是x厘米，表示羊的直条高应是y厘米， 根据题意，得，， 解得， 故答案为：10，15． 3．2022年6月5日上午10点44分，中国载人航天飞船神舟十四号在酒泉卫星发射中心成功发射．陈冬、刘洋、蔡旭哲三位航天员于6月5日20时50分顺利进入天和核心舱.该核心舱的某精密零件是按放大后画在图纸上的，在图纸上长．这个零件实际长 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例问题，设这个零件实际长厘米，根据题意列出式子，计算即可得出答案，注意单位的换算． 【详解】解：设这个零件实际长厘米， ， ， ， ， 故这个零件实际长， 故答案为：． 4．果园收购一批苹果，按质量分为三等，最好的苹果为一等，每千克售价3.6元；其次是二等苹果，每千克售价2.8元；最次的是三等苹果，每千克售价2.1元．这三种苹果的数量之比为．若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价多少元比较适宜？ 【答案】若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价2.95元比较适宜． 【分析】本题考查了比例分成．利用平均价格三种苹果的总价格之和三种苹果的数量之和，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得： （元． 答：若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价2.95元比较适宜． 易错题型九　百分比的意义 例题：与相等的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了百分数、分数化为小数，解题的关键是掌握把百分数、分数化为小数的方法．把和选项化为小数即可解答． 【详解】解：， ，，， 故与相等的数是， 故选：C． 巩固训练 1．（分数、百分数的应用）某班的男生比全班人数的少4人，女生比全班人数的多6人，那么这个班男生比女生少（   ）人． A．5 B．3 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查分数、百分数的应用，先求出全班人数，再分别计算出男生和女生的人数即可得答案． 【详解】解：根据题意得全班的人数为：人， 则男生的人数为：人 女生的人数为：人， ∴男生比女生少人， 故选：B． 2．在四个数中，最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分数、小数的大小比较，同时还考查了分数、小数的互化，解题的关键是掌握分数、小数的互化． 把化成小数、把化成小数，然后再进行小数的大小比较，从小数的整数部分开始比较，然后从小数部分依次比较，直到比出大小为止． 【详解】解：，， ∵， ∴最大的是，最小的是． 故答案为：，． 3． ．依次应填入： ， ， ， 【答案】 12 36 12 75 【分析】本题考查了分数的基本性质的应用及分数与除法和比的互化．根据已知小数，小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；再利用分数的基本性质求出与它相等的分数，再利用分数与比的关系化成比；小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号． 【详解】解：， ， ， 因此， 故答案为：12，36，12，75． 4．__________________． 【答案】10；20；18；60 【分析】本题考查分数、百分数、比值的互化，根据分数的基本性质进行解题即可． 【详解】解：， 故答案为：10，20，18，． 易错题型十　求一个数是另一个数的百分之几 例题：在10的后面添上百分号，这个数是原数的（   ） A．1倍 B．倍 C．10倍 D．100倍 【答案】B 【分析】此题考查了百分数化小数以及求一个数的是另一个数的几分之几，解答此题的关键是明确：一个数（不等于0）后面添上百分号，这个数就缩小100倍；同样一个百分数，去掉百分号，这个数就扩大100倍． 把10的后面添上百分号，即变成，由10到，小数点向左移动两位，即所小100倍，缩小为原数的；进而选择即可． 【详解】解：， ； 故选：B． 巩固训练 1．淘气去年身高140厘米，今年比去年长高了，淘气今年身高多少厘米？小芳同学列式为，其中表示（     ） A．淘气去年的身高 B．淘气今年的身高是去年的几分之几 C．淘气今年的身高 D．淘气今年的身高比去年多几分之几 【答案】B 【分析】本题考查的是增长百分比的含义，直接根据“1”表示去年的身高可得答案． 【详解】解：其中表示淘气今年的身高是去年的几分之几， 故选：B 2．90 米是 120 米的 %，120 千克的是 千克． 【答案】 75 72 【分析】本题考查百分比计算、分数的乘法运算，根据题意，直接列式求解即可得到答案，熟练掌握百分数的表示及分数乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：； 千克； 故答案为：75，72． 3、（百分数的应用）王刚把6千克味精平均包在8个塑料袋中，每袋占味精总质量的 ． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，关键是弄清单位“1”． 把味精的总质量看作单位“1”，平均分成8份，用除法计算即可． 【详解】解：， 答：每袋占味精总质量的． 故答案为：12.5． 4．甲数的25%是，乙数是60的20%，乙数是甲数的百分之几？ 【答案】乙数是甲数的240 %． 【分析】分别表示出甲数，乙数，再列式计算即可． 【详解】解：． 【点睛】本题考查的是百分数的简单应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 易错题型十一　求一个数比另一个数多/少百分之几 例题：甲数与乙数的比是，甲数比乙数大（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了比和百分数，解题的关键是理解题意． 甲数与乙数的比是，设甲数是3，那么乙数就是2，求出甲乙两数的差，然后用差除以乙数即可． 【详解】解：设甲数是3，那么乙数就是2； ， 答：甲数比乙数大． 故选：A． 巩固训练 1．下面可以用解决的数学问题是（    ） A．3米的是多少？ B．一条绳子比3米长，这条绳子长多少米？ C．3吨比吨多百分之几？ D．3吨是吨的多少倍？ 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的应用，分数乘法的应用，百分数的应用，根据实际问题正确列出算式是解题的关键．根据各选项的实际问题列出算式即可得到答案． 【详解】解：A．根据题意列式为：，故此项不符合题意； B．根据题意列式为：，故此项不符合题意； C．根据题意列式为：，故此项不符合题意； D．根据题意列式为：，故此项符合题意． 故选：D． 2．甲数除以乙数的商是3.2，甲：乙=( )：( )，乙数比甲数少( )% 【答案】 16 5 【分析】本题考查了比的意义，同时注意问题二要以甲数为单位“1”．甲数除以乙数的商是3.2，把乙数看作1，则甲数是3.2，然后根据比的意义求比；求乙数比甲数少百分之几，即将甲数作为单位“1”，用乙数比甲数少份数除以甲数的份数即可． 【详解】解：甲数：乙数； ． 故答案为：16，5，． 3．六（3）班有男生22人，女生28人，则男生人数占全班人数的( )，男生比女生人数少( )．（除不尽的百分号前保留一位小数） 【答案】 44 27.3 【分析】此题考查了百分数的意义，解题的关键是熟练掌握百分数的意义． 用男生的人数除以总人数即可求出男生人数占全班人数的百分比，用女生比男生多的人数除以男生的人数即可求出男生比女生人数少的百分比． 【详解】， ∴男生人数占全班人数的，男生比女生人数少， 故答案为：44，27.3． 4．王叔叔要出差，买了一张12月9日上午的火车票，票价120元，由于临时有事，王叔叔12月8日下午收到出差取消的通知，随即他就在网上进行了退票，按照规定，退票需要扣除手续费，具体费用如表所示，王叔叔最后收到退票的钱是多少？ 退票时间 退票手续费占票价的百分比 开车前48时至8天 开车前24时至48时 开车前24小时以内 【答案】王叔叔最后收到退票的钱是96元 【分析】本题主要考查百分数的应用，关键是计算提前的时间，确定退票手续费占票价的百分率．运用时间的推算方法求出从12月8日下午到12月9日上午经过的时间；根据所得的经过时间，可确定退票手续费占票价的；王叔叔退票后可拿回的钱数票价，据此列式解答，即可得解． 【详解】解：12时时时， 时， 因为， 所以退票手续费占票价的， （元）； 答：王叔叔最后收到退票的钱是96元． 易错题型十二　折扣问题利率问题 例题：一件商品，如果八折出售，就比原价便宜84元，原价是（   ）元． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了打折的含义，八折是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，便宜的价格是原价的，它对应的数量是84元，由此用除法求出原价． 【详解】解：根据题意可得： 故选：C ． 巩固训练 1．一种商品提价后，又以八五折出售，现价与原价相比（   ）． A．比原价高 B．比原价低 C．和原价相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了单位“”的认识与确定，折扣问题等知识点，深刻理解单位“”的含义是解题的关键． 先提价，是把原价看作单位“”，又以八五折出售，是把提价后的价格看作单位“”；用乘法求出现价，再把现价与原价进行比较即可． 【详解】解：设原价为，根据题意，可得： ， ， 现价比原价低， 故选：． 2．一身衣服打七五折后售价120元，这身衣服原价 元． 【答案】160 【分析】本题考查了百分数的应用，解题的关键是根据原价现价折扣对应的百分数，列式计算． 根据题意列出原价为，即可计算出这件衣服的原价是多少元． 【详解】解：（元）， 答：这件衣服的原价是160元． 故答案为：160． 3．国庆节期间，某鞋店推出“买一送一”的活动（不同价格的两双鞋子按价格高的那双付款），张阿姨看中了两双鞋子，价格分别是180元和120元，她同时买下这两双鞋子，相当于打 折． 【答案】6/六 【分析】本题考查折扣问题，先计算实际付的钱，再除以原价乘以10，即为打的折扣． 【详解】解：， 故答案为：6． 4．学校准备给120名教职工每人购买一套工作服有三家商场有符合要求的服装，且每套服装定价都是200元三家商场优惠情况如下： A商场：一次性购买50套以上，享受七五折优惠； B商场：每购物满500元返100元现金； C商场：购买30套以内，无优惠：超过30套的部分，享受七折优惠； 到哪家商场购买工作服比较合算？最少需要多少钱？ 【答案】到A商场购买工作服比较合算，最少需要18000元 【分析】本题考查了百分数的应用，根据三家商场优惠情况如下分别计算费用，然后作出比较即可． 【详解】A商场：一次性购买50套以上，享受七五折优惠； 所以A商场的费用：（元）， B商场：每购物满500元返100元现金； 所以B商场的费用：（元）， C商场：购买30套以内，无优惠：超过30套的部分，享受七折优惠 所以C商场的费用：（元） 因为 所以到A商场购买工作服比较合算，最少需要18000元 易错题型十三　利率问题 例题：王明把2000元存入银行，定期两年，年利率是2.10%，到期后，王明一共可获得本金和利息（）元． A．2084元 B．84元 C．2042元 D．2420元 【答案】A 【分析】此题考查的目的是理解掌握利息公式，明确：本息=本金+利息．根据题意，利用公式：利息=本金×利率×时间，求出利息，然后加上本金即可． 【详解】解：， ， （元）， （元）， 所以到期后，王明一共可获得本金和利息2084元． 故选：A． 巩固训练 1．某商店同时卖出两件商品，卖价均为120元，其中一件盈利，另一件亏本，这个商店卖出这两件商品，相对成本而言，总体上（    ） A．不亏不赚 B．赚了10元 C．亏了10元 D．亏了20元 【答案】C 【分析】本题主要考查了百分数的应用，根据一件盈利，另一件亏本，求出两件商品的原价，然后再判断亏还是赚即可． 【详解】解：∵两件商品，卖价均为120元，一件盈利，另一件亏本， ∴盈利的商品原价为：（元）， 亏本商品的原价为：（元）， ∴两件商品总的原价为：（元）， ∵两件商品总的售价为：（元）， ∵， ∴相对成本而言，总体上亏了（元）， 故选：C． 2．小芳家购置车辆向银行贷款50000元钱，目前该银行的基准利率一年期为，到期后，小芳家需向银行偿还本息( )元． 【答案】52175 【分析】本题考查了百分数的应用，根据本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：（元）， ∴小芳家需向银行偿还本息52175元， 故答案为：52175 3．下图是李亮在银行的一张存款单．这笔存款的存期是( )年，到期时可取回本金和利息一共( )元． 【答案】 三/3 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，根据存款单可知存期为三年，根据利息本金年利率时间求出利息，再加上本金即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这笔存款的存期是三年， ， 所以到期时可以取回本金和利息一共元， 故答案为：三；． 4．一批商品若进货价降低而售价不变，那么利润率（按照进货价而定）可以由原来的增加到，则原来的利润率是多少？ 【答案】原来的利润率是 【分析】本题主要考查了百分数的应用，熟练掌握，，设原进价为1，则售价为，现在的进价为，根据进价降低后，利润率为，列出等式，进行求解即可． 【详解】解：设原进价为1，则售价为，现在的进价为，根据题意得： ， 解得：， 答：原来的利润率是． 易错题型十四　利润问题 例题：某商场2012年12月份的营业额约是400万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，应纳税额约是（    ）万元 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题考查了百分数的应用，解题的关键是理解营业税的意义．求缴纳营业税就是求400万元的是多少，即可列式解答． 【详解】解：应纳税额约是：（万元）． 故选：B 巩固训练 1．文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖420元，以成本计算，其中一台盈利，另一台亏本，则这次出售中商场（　　） A．不赔不赚 B．赚70元 C．赚35元 D．赔35元 【答案】D 【分析】本题主要考查了百分数在实际生活中的应用，理解盈利与亏本的含义是解题关键．根据题意列出算式，分别计算两台电子琴的成本，即可获得答案． 【详解】解：∵第一台盈利， ∴第一台的成本价为：（元）， ∵另—台亏本， ∴另一台的成本价为：（元）， （元）， 即本次出售中，商场赔35元． 故选：D． 2．某种微波炉的标价为1260元，若九折降价出售仍可获利（相对于进价）．若以标价1260元出售，可获利（相对于进价）( )元． 【答案】210 【分析】先把标价看成单位“1”，用乘法求出它的就是九折后的售价；然后把进价看成单位“1”，它的对应的数量就是九折后的售价，用除法求出进价；再用标价减去进价即可． 本题关键是分清楚两个不同的单位“1”，求出进价即可求解． 【详解】解：（元）； （元）； 答：获利210元． 故答案为：210． 3．（1）一件服装进价为100元，售价为120元，则它的盈利率为 ； （2）一台冰箱批发价为2000元，若要盈利60%，则每台的售价为 元． 【答案】 3200 【分析】（1）由盈利率等于售价减去进价，再除以进价即可得到答案； （2）由售价等于进价加上利润，而利润等于盈利率乘以进价，从而可得答案． 【详解】解；（1）； 故答案为： （2）（元）． 故答案为：3200 【点睛】本题考查的是对盈利率的理解以及相关计算，正确的列式计算是解本题的关键． 4．商店有甲乙两件商品，售价都是60元，卖出甲商品赚了25%，卖出乙商品亏了25%．如果两种商品都卖出，那么商店是赚了还是亏了？赚了或亏了多少元． 【答案】商店亏了，亏了8元 【分析】分别求出甲乙两种商品的进价即可求解． 【详解】商店亏了．理由如下： 甲商品进价：（元） 乙商品进价：（元） 甲、乙两商品进价之和：（元） 甲、乙两商品售价之和：（元） 因为， 所以，商店亏了． （元）， 所以亏了8元． 【点睛】本题考查了百分数计算的应用，解答本题的关键是找准单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，求出进价． 易错题型十五　等可能事件 例题．一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（    ） A．小明一定摸到35次红球，15次白球 B．小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C．小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D．小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 【答案】B 【分析】本题考查事件的可能性，随机事件，根据7个红球和3个白球可得摸到的红球可能性更大，据此判断即可． 【详解】解：一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回，属于随机事件，其中摸到的红球可能性更大， ∴A、C、D选项都有可能实现，但不是必定实现，故不符合题意，选项B是可能实现，符合题意， 故选：B． 巩固训练 1．盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（    ）盒做的试验． A． B． C． D．红球： 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的概率，根据表格可知红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上可知，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上，故四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 2．盒子里装有5张数字卡片（卡片除了上面的数字不同外，其他完全一样），上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是，分子是 ，分母是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用写有奇数的卡片数量除以卡片总数即可得到答案． 【详解】解：因为一共有5张卡片，其中写有奇数的卡片有3张，且每张卡片被摸出的概率相同， 所以从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是， 故答案为：3；5． 3．有红、绿、黄三种颜色的球各6个，放到一个不透明的袋子里．至少取( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球． 【答案】4 【分析】对于抽屉原理问题，还是有规律可循的．需要我们本着“最糟糕原则”，从问题问的相反方向出发，一步步推理出答案． 抽屉原理类问题，往往从最糟糕的情况去推理．比如：要保证取到两个相同颜色的球，就得从摸到各种颜色的球一样一个去推想；要保证能取到两种颜色的球，就得从摸到同一种颜色的球，全部摸完的情况去推往． 【详解】解：从最槽糕的情况去考虑，先摸到袋子里二种颜色的球一样一个，再任意摸出一个球，就能和之前摸到的任意一个球组成两个相同颜色的球． 个， 故答案为：4． 4．一则广告称：本次抽奖活动的中奖率为50%，其中一等奖的中奖率为10%，小明看到这则广告后，想：“，那么我抽两张就会有一张中奖，抽10张就会有1张中一等奖”．你认为小明的想法对吗？请说明理由． 【答案】小明的想法不对；理由见解析． 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 【详解】解：小明的想法不对； 因为小明将本次抽奖活动中奖率为50%，一等奖中奖率为10%理解错了，其中的50%、10%是针对所有的奖券而言，而不是任抽几张，这几张的10%为一等奖，50%都获奖，所抽取的几张，可能都有奖，也可能都没有中奖． 【点睛】本题考查的是概率的定义，正确理解概率的含义是解决本题的关键． 03 压轴题型 压轴题型 比和比例压轴题型　 1．甲、乙、丙三根不同的鱼竿，甲与乙的长度之比是，如果将甲鱼竿的浸入河水里，将丙鱼竿的一部分浸入河水里，甲与丙浸入河水里的长度之比是，未浸入河水里的那部分鱼竿一样长，则乙、丙两根鱼竿的长度之比是（    ） A．6：5 B．24：25 C．13：15 D．25：26 【答案】D 【分析】本题考查了比的应用，设甲鱼竿的长为1，丙鱼竿浸入河水里的部分为x，乙鱼竿的长度是y，根据甲与丙浸入河水里的长度之比是5：4和甲与乙的长度之比是求出，，最后求出乙、丙两根鱼竿的长度之比即可． 【详解】解：设甲鱼竿的长为1，丙鱼竿浸入河水里的部分为x， 则， 解得：， 即丙鱼竿浸入河水里的部分为， 设乙鱼竿的长度是y， ∵甲与乙的长度之比是， ∴， ∴， 即乙鱼竿的长度是， ∵甲与乙的长度之比是，如果将甲鱼竿的 浸入河水里，将丙鱼竿的一部分浸入河水里，甲与丙浸入河水里的长度之比是，丙鱼竿浸入河水里的部分为， ∴乙、丙两根鱼竿的长度之比是． 故选：D． 2．x的等于y的时（x，y不等于零）（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】根据比的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意得： 所以， ， 当时，即， 当时，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了比的性质，熟练掌握比的性质是解题的关键． 3．甲瓶盐水浓度是，乙瓶盐水浓度是．当两瓶盐水混合时，盐水浓度为，如果把两瓶盐水各取出10升，再把剩下的盐水混合，这时盐水浓度为，乙瓶原来有盐水 升． 【答案】24 【分析】本题主要考查了百分数的应用和比的应用，利用十字交叉法可以求得甲乙体积比，各取10升可以看做是浓度为的盐水，再得出与的盐水混合后得到的盐水体积比，进而可得出盐水总量，再根据比例即可得出乙瓶原来的盐水量． 【详解】解：利用十字交叉法可以求得甲乙体积比为： 各取10升可以看做是浓度为的盐水， 与的盐水混合后得到的盐水， 体积比为， 所以盐水总共有：升， 乙有盐水升． 故答案为：24． 4．(浓度问题)甲容器中有的盐水120克，乙容器中有某种浓度的盐水若干．从乙中取出480克盐水，放入甲种混合成浓度为的盐水，则乙容器中的盐水浓度是 ． 【答案】 【分析】此题先根据甲容器中原来及混合后的盐的重量，即可求出乙中盐的重量，再根据乙容器中盐的重量除以盐水的重量乘以，即可求出． 根据甲容器中有浓度为的盐水120克，可求出原来甲容器中盐的重量克，再根据如果从乙中取出480克盐水放入甲中混合成浓度为的盐水，可求出混合后的甲容器中盐的重量克，再用混合后的甲容器中盐的重量减去原来甲容器中盐的重量就可求出乙容器中480克盐水中盐的重量，再用乙容器中盐的重量除以盐水的重量乘以，即可求出． 【详解】解：混合后的甲容器中盐的质量：（克）， 原来甲容器中盐的质量：（克）， 那么乙容器中盐的质量：（克）， 则乙容器的盐水的浓度：， 答：乙容器中的盐水浓度是， 故答案为：． 5．甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲到终点时，乙离终点 5 米，丙离终点 10 米，乙到终点时，丙离终点还有 米．一个自然数除以 7、8、9 分别余 1、2、3，而所得的三个商的和是 570，这个数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查比例应用题、方程，关键利用时间一定的情况下，路程和速度成正比例的方法解题． ①因为在时间一定的情况下，路程和速度成正比，所以甲到终点时，乙与丙跑的路程比就等于乙到终点时，乙与丙又跑的路程比；据此列出比例式解答即可； ②设这个数为，可列方程，即可求解． 【详解】解：设乙到终点时，丙离终点还有米， 即：乙到终点时，丙离终点还有米； 设这个数为，则， ． 即：这个自然数1506． 故答案为：；1506． 6．昨天六年级进行了纪念“一二·九”红歌合唱活动，最后一个合唱组合由三个班级组成．其中A班有49人，比两班人数和的少1人． (1)B班和C班共有多少人？ (2)其中两班女同学的人数比是，这两个班级男同学人数和比这两个班级女同学人数和多，A班男同学比B班女同学多1人，A班男同学有多少人？ (3)在（2）的条件下，音乐老师排好第一排队形后发现，如果让第一排再加入两个男同学，那么第一排的女同学的人数就比男同学少；如果加入一名女同学，那么第一排男、女同学人数就相等，合唱队伍共六排，第二至第五排每排男、女同学人数都和第一排一样，其余同学站在第六排，求此时第六排女同学比男同学少几分之几？ 【答案】(1)B班和C班共有100人； (2)A班男同学有人； (3)第六排女同学比男同学少． 【分析】本题考查了分数混合运算的应用． （1）根据分数的除法运算即可求解； （2）设两班女同学的人数为人，则男同学的人数为人，根据题意列方程求得，进一步计算即可求解； （3）设第一排有个男同学，则第一排有个女同学，由题意得，解得，再求得第6排女同学有人，男同学有人，据此求解即可． 【详解】（1）解：A班有49人，比两班人数和的少1人． 人 答：B班和C班共有100人； （2）解：设两班女同学的人数为人，则男同学的人数为人， 由题意得， 解得， ， ∴两班女同学的人数为人，男同学的人数为人， ∵两班女同学的人数比是， ∴班女同学的人数是人， A班男同学有人 答：A班男同学有人； （3）解：由（2）得，A班男同学有人，女同学有人， 两班女同学的人数为人，男同学的人数为人， ∴合唱队伍中女同学有人，男同学有人， 设第一排有个男同学，则第一排有个女同学， 由题意得 解得 ∴第一排有13个男同学，有12个女同学， 前5排共有个男同学，有个女同学， ∴第6排女同学有人，男同学有人， ∴ 答：第六排女同学比男同学少． 7．为传承和弘扬中华传统文化，提高学生书法水平和审美素养，哈尔滨市第中学初一年级开展“传承经典文化，书写精彩人生”书法比赛．在参加比赛的队伍中是女生，男生有名．这名男生占初一年级男生人数的，未参加书法大赛的学生人数与初一年级学生人数比． (1)参加书法大赛的有多少名学生？ (2)初一年级共有多少名女生？ (3)参加本次书法大赛的同学分别荣获一等奖、二等奖以及三等奖，其中二等奖人数比一等奖多，三等奖人数比二等奖多．一等奖奖励一个笔袋和一张证书，每个笔袋元，二等奖奖励一个笔筒和一张证书，每个笔筒5元，三等奖奖励一张证书，一等奖、二等奖和三等奖的奖励证书均为每张元，现甲乙两个商店给出优惠购买方案： ①甲商店的优惠方案为：在甲商店购买一律按原价的出售． ②乙商店的优惠方案为：笔袋单价按原价出售，笔筒单价降价，证书单价降价，在哪家购买划算？ 【答案】(1)名 (2)名 (3)甲：元；乙：元，在甲商店购买划算 【分析】本题考查了分数的混合运算，百分数的混合运算； （1）根据男生占，人数有名，即可求得参加书法大赛的有多少名学生； （2）先求得初一年级男生人数为人，根据题意得出参加加书法大赛的学生人数与初一年级学生人数比，设总人数为，列出比例式，求得总人数，进而求得女生人数，即可求解； （3）根据题意设一等奖人数为人，则二等奖人数为，三等奖的人数为，根据总获奖人数为，列出方程，求得一等奖人数为人，二等奖人数为人，三等奖人数为人，进而分别根据甲、乙商店的优惠求得购买奖品的金额，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解： 答：参加书法大赛的有名学生； （2）解：初一年级男生人数为：， ∵未参加书法大赛的学生人数与初一年级学生人数比， ∴参加加书法大赛的学生人数与初一年级学生人数比， 设总人数为， ∴， ∴ ∴总人数为，则女生人数为（人） ∴初一年级共有名女生 （3）解：设一等奖人数为人，则二等奖人数为，三等奖的人数为 依题意， 解得： ∴一等奖人数为人，二等奖人数为人，三等奖人数为人； ①甲商店的费用为：（元） ②乙商店的费用为：（元） ，在甲商店购买划算 8．如图，有一块土地，可看成由两个部分重叠的长方形构成，经过测量可知：重叠部分面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的． (1)大长方形和小长方形的面积的比值是多少？ (2)若大长方形中空白部分的面积比小长方形中空白部分的面积多120亩，则重叠部分面积是多少亩？ (3)在（2）的条件下，若重叠部分种植土豆，大长方形中空白部分种植玉米，小长方形中空白部分种植黄瓜．种植玉米所花的费用比种植土豆和黄瓜所花的费用和少，种植玉米和黄瓜所花的费用和比种植土豆所花的费用多，种植黄瓜每亩所需的费用为2000元， 已知三种蔬菜每亩的产量和销售价格如下表所示： 蔬菜 玉米 土豆 黄瓜 产量（单位：斤/亩） 1500 5000 2000 销售价格（单位：元/斤） 1 0.6 1.5 在收割储存运输的过程中，玉米和黄瓜都有的损耗，求将这块土地产出的三种蔬菜全部卖出所获得的利润占总的种植成本的几分之几？（卖出蔬菜获得的利润销售全部蔬菜获得的钱数种植三种蔬菜的总成本） 【答案】(1) (2)40亩 (3) 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，以及求比值，理解题干中分数的含义是解题关键． （1）由题意可知，重叠部分面积大长方形面积小长方形面积，即可求出大长方形和小长方形的面积的比值； （2）由（1）可知，大长方形和小长方形的面积的比值是，进而求出小长方形的面积，即可得到重叠部分面积； （3）根据（2）的结果，求出三种蔬菜的种植面积，进而求出销售全部蔬菜获得的钱数，再根据“种植玉米所花的费用比种植土豆和黄瓜所花的费用和少，种植玉米和黄瓜所花的费用和比种植土豆所花的费用多”，求出种植三种蔬菜所花的费用，进而求出利润，即可得到比值． 【详解】（1）解：由题意可知，重叠部分面积大长方形面积小长方形面积， 则大长方形面积：小长方形面积（重叠部分面积）：（重叠部分面积）， 即大长方形和小长方形的面积的比值是； （2）解：由（1）可知，大长方形和小长方形的面积的比值是， 则小长方形的面积亩， 即重叠部分面积亩； （3）解：由（2）可知，小长方形的面积为亩，重叠部分面积为亩， 则小长方形中空白部分面积为亩，大长方形中空白部分面积为亩， 即种植玉米亩，土豆亩，黄瓜亩， 因为，玉米的亩产量为1500斤，土豆的亩产量为5000斤，黄瓜的亩产量为2000 斤， 所以，玉米的产量为斤，土豆的产量为斤，黄瓜的产量为斤， 因为，玉米的销售价格为1元/斤，土豆的销售价格为0.6元/斤，黄瓜的销售价格为1.5元/斤，且在收割储存运输的过程中，玉米和黄瓜都有的损耗， 所以，销售全部蔬菜获得的钱数为元， 因为，种植黄瓜每亩所需的费用为2000元， 所以，种植黄瓜的费用为元， 因为，种植玉米所花的费用比种植土豆和黄瓜所花的费用和少， 所以，种植玉米所花的费用是种植土豆和黄瓜所花的费用和的， 所以，三种作物所花的总费用是种植土豆和黄瓜所花的费用和的， 因为，种植玉米和黄瓜所花的费用和比种植土豆所花的费用多， 所以，种植玉米和黄瓜所花的费用和是种植土豆所花的费用的， 所以，三种作物所花的总费用是种植土豆所花的费用的， 所以，种植土豆和黄瓜所花的费用和是种植土豆所花的费用的， 所以，种植黄瓜所花的费用是种植土豆所花的费用的， 所以，种植土豆所花的费用是元， 所以，种植玉米所花的费用是元， 所以，种植三种蔬菜的总成本是元， 所以，卖出蔬菜获得的利润是元， 所以，这块土地产出的三种蔬菜全部卖出所获得的利润占总的种植成本的． 9．第19届杭州亚运会在杭州举行．甲、乙、丙三人合作生产了一批吉祥物玩偶．甲、乙合作5天做了这批玩偶的，乙、丙合作2天做了剩下玩偶的，剩下的三人合作4天完成，共得工资2280元，按各人所完成的工作量合理分配，每人应得多少元？ 【答案】甲应得855元，乙应得627元，丙应得798元 【分析】先求出甲、乙 的合作效率，乙、丙的合作效率，甲、乙、丙的合作效率，从而可求甲、乙、丙的效率，进而求出甲、乙、丙的工作效率比以及甲、乙、丙完成的任务比，即可求解． 【详解】解：甲、乙 的合作效率是， 乙、丙的合作效率是， 甲、乙、丙的合作效率是， ∴甲的工作效率是， 乙的工作效率是， 丙的工作效率是， ∴甲、乙、丙的工作效率比为， ∴甲、乙、丙完成的任务比为， ∴甲应得（元）； 乙应得（元）； 丙应得（元）； 答：甲应得855元，乙应得627元，丙应得798元． 【点睛】本题考查了工程问题，解题的关键是求出甲、乙、丙完成的任务比，进而进而按比例分配工资． 10．A、B两个工程分别由甲、乙两个队来完成．在晴天，甲队完成A工程需要12天，乙队完成B工程需要15天；在雨天，甲队的效率要下降，乙队的工作效率要下降，现在两队同时开工，并同时完成这两个工程，那么在施工的日子里，晴天有几天？雨天有几天？ 【答案】晴天有6天，雨天有10天 【分析】一队完成A工程需要12天，二队完成B工程需要15天，则两队的工作效率分别为 、，甲队的工作效率要下降，乙队的工作效率要下降，则在雨天两队的效率分别为，，则晴天时甲队工作效率比乙队工作效率高的部分为：，雨天时乙队工作效率比甲队工作效率高的部分为：．所以甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比为：，按照3个晴天，5个雨天可得甲完成的工作量是：，即可求解． 【详解】在雨天：甲队完成A工程的工作效率：， 乙队完成B工程的工作效率：， 则晴天时甲队工作效率比乙队工作效率高的部分为：， 雨天时乙队工作效率比甲队工作效率高的部分为：． 所以甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比为：． 按照3个晴天，5个雨天可得甲完成的工作量是：， 故要完成整个工程，晴天数为：天，雨天数为：天． 答：在施工的日子里，晴天有6天，雨天有10天． 【点睛】本题考查百分数的应用，分数的应用，得出甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比为是解题的关键． 3 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$