第15章 一元一次不等式 知识归纳与题型突破（18类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第15章 一元一次不等式知识归纳与题型突破 （18类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点四、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式， 特别提醒： （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点五、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 特别提醒：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 特别提醒： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点六、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组． 特别提醒： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点七、解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 特别提醒： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.一元一次不等式组的解法 解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 知识点八、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 特别提醒： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 2．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 3．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 3．用不等式表示： (1)7x与1的差小于4； (2)x的一半比y的2倍大； (3)a的9倍与b的的和是正数． 题型二　不等式的性质 例题：已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 3．在不等式的两边都加上 ，得到不等式． 4．若，比较与的大小关系，并说明理由． 题型三　不等式的解集 例题：下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 巩固训练 1．下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 2．写一个解集为的不等式为 ． 3．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为 ．    4．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 题型四　一元一次不等式的定义 例题：下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．若是关于的一元一次不等式．则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 3．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 4．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型五　求一元一次不等式的解集 例题：不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．一元一次不等式的解集为 ． 3．不等式的解集为 4．解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 题型六　求一元一次不等式的整数解 例题：不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．不等式的非负整数解为 ． 3．不等式的最大整数解为 ． 4．已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 题型七　在数轴上表示不等式的解集 例题：已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是 ． 3．若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为 ．    4．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型八　求一元一次不等式解的最值 例题：若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 3．一元一次不等式的最大整数解为 ； 4．已知，求的最大值和最小值． 题型九　一元一次不等式组的定义 例题：下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 3．一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解． 4．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 题型十　求不等式组的解集 例题：解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 3．不等式组的解集是 ． 4．求不等式组的解集．并把它的解集表示在数轴上． 题型十一　解特殊不等式组 例题：若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 2．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 3．设，是正整数，且满足，，则 ． 4．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 题型十二　求一元一次不等式组的整数解 例题：若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若关于的不等式组恰有4个整数解，则字母的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 3．若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 4．解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出所有整数解． 题型十三　由一元一次不等式组的解集求参数 例题：不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若不等式组的解集为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 3．若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ． 4．若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 题型十四　不等式组和方程组相结合的问题 例题：已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 巩固训练 1．若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 4．若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 题型十五　一元一次不等式组的其他应用 例题：一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 2．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 3．某校志愿服务小组的学生在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少分得盒，则这个敬老院的老人最少有 位． 4．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 题型十六　用一元一次不等式组解决实际问题 例题：为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 巩固训练 1．已知杜鹃花宜居在的环境中，某山区要种植杜鹃花．已知平均气温为，且海拔每上升米，气温就下降．山脚的海拔的取值范围是多少？ 2．小王同学要去复印一些文件，现在有A、B两家复印社可供选择． A复印社：复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费为元 B复印社：不论复印多少页，每页收费元． (1)如果复印页数是25页，计算A、B两家复印社的收费分别是多少？ (2)如果只能选择一家复印社复印文件，小王同学选择哪家复印社更合算？ 3．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 4．某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 题型十七　用一元一次不等式组解决几何问题 例题：已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 巩固训练 1．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 2．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    3．在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 4．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 题型十八　一元一次不等式的综合 例题：已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 巩固训练 1．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 2．已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 3．高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉!“高斯函数”：，也称为取整函数，即表示不大于的最大整数，如：，，根据这个规定，回答下列问题： (1)填空______，______； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的不等式组恰有个整数解，求的取值范围． 4．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 试卷第42页，共43页 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章一元一次不等式知识归纳与题型突破 （18类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点四、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式， 特别提醒： （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点五、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 特别提醒：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 特别提醒： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点六、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组． 特别提醒： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点七、解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 特别提醒： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.一元一次不等式组的解法 解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 知识点八、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 特别提醒： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 巩固训练 1．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，理解至少的含义即可求解，读懂题意是解题的关键．将蛋白质含量至少2克转化为百分比，再根据至少的含义，即可解题． 【详解】解：， 蛋白质含量至少2克，即蛋白质含量， 故选：A． 2．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【详解】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 3．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是不等式； ②不是不等式； ③不是不等式； ④是不等式． 故答案为：①④． 3．用不等式表示： (1)7x与1的差小于4； (2)x的一半比y的2倍大； (3)a的9倍与b的的和是正数． 【答案】(1)7x－1＜4 (2)x＞2y (3)9a＋b＞0 【分析】（1）7x与1的差是7x-1，小于4，再用小于号“<”与4连接即可； （2）x的一半记作，y的2倍记作2y，然后用大于号“>”连接即可； （3）a的9倍记作9a，b的记作，和是正数即相加后大于0． 【详解】由题意得 (1)7x－1＜4；   (2)x＞2y；   (3)9a＋b＞0 【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 题型二　不等式的性质 例题：已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上（或减去）一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知，两边同乘得，则A不符合题意； 已知，两边同时减去3得，则B符合题意； 已知，两边同乘再同时加上5得，则C不符合题意； 已知，两边同乘得，则D不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 2．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （4）根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （5）先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （6）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （7）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （8）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得． 【详解】（1）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （2）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； 故答案为； （3）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （4）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； 故答案为：； （5）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （6）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （7）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； 故答案为：． （8）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 故答案为：． 3．在不等式的两边都加上 ，得到不等式． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质等知识点，利用不等式的基本性质，等式两边同时加上后即可得解，熟练掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 【详解】根据不等式的基本性质得，不等式两边同时加上得， 合并得到， 故答案为：． 4．若，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查不等式的基本性质，先根据不等式的基本性质2，不等式两边同乘以，得到；再在不等式两边同加上5，得到，即可解答． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 题型三　不等式的解集 例题：下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 巩固训练 1．下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可． 【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意； B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意； C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意； D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键． 2．写一个解集为的不等式为 ． 【答案】 【分析】根据题意写出不等式即可． 【详解】解：∵x+2＜0的解集是x＜-2， 故答案为：x+2＜0． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是熟练运用解不等式的知识，写出不等式． 3．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为 ．    【答案】-1，0，1 【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至1.6． 【详解】解：由数轴可知：设被污染的部分的数为x， ∴-1.3≤x≤1.6 ∴x=-1或0或1， 故答案为-1，0，1． 【点睛】本题考查数轴．关键在于根据数轴的定义判断出污染部分整数的取值范围． 4．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 题型四　一元一次不等式的定义 例题：下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可． 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 巩固训练 1．若是关于的一元一次不等式．则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键． 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 3．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式是一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：． 4．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【分析】根据不等式的定义即可依次判断． 【详解】解：（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式． 故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【点睛】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点． 题型五　求一元一次不等式的解集 例题：不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式．先去分母，再去去括号，移项，再合并同类项，系数化为1可得． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 故选：B． 巩固训练 1．若不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即可得出，求解即可． 【详解】解：不等式的解集是， ， 解得：， 故选：D． 2．一元一次不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．利用移项即可得到不等式的解集． 【详解】解： ∴， 故答案为： 3．不等式的解集为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．解不等式即可求解． 【详解】解：由原不等式得：， 解得， 故答案为：． 4．解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上，据此作答即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上， 故答案为：A． （2）解：依题意，去括号得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 题型六　求一元一次不等式的整数解 例题：不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根据自然数的定义得出自然数解即可得出结果． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项：， 所以， ∴不等式的自然数解有0，1，2共3个， 故选：C． 巩固训练 1．不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握好解一元一次不等式的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．注意系数化为1时，若未知数系数为负，不等号的方向要改变．先去分母，再移项，系数化为1，即可得到不等式的解集，从而得到正整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解有，，，共3个； 故选A 2．不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1，2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式，求出一元一次不等式的解集，根据要求写出符合要求的非负整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为：0，1，2，3． 故答案为：0，1，2，3． 3．不等式的最大整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解；先解不等式，即可求得最大整数解． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 即， 最大整数解为：． 故答案为：． 4．已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出a的值．先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值． 【详解】解：由得，， 所以最小整数解为， 将代入中， 解得． 题型七　在数轴上表示不等式的解集 例题：已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 巩固训练 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查了在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为∶ ， 故选∶A． 2．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键． 由题图得不等式的解集为，解不等式得，因而，于是得解． 【详解】解：， 移项，得：， 解得：， 由题图得不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 3．若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解集和在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴得出不等式组的解集即可． 【详解】解：根据数轴可知：不等式组的解集是， 故答案为：． 4．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见详见 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解集的表示，在数轴上表示解集注意空心与实心的区别是解题的关键．去括号解一元一次不等式，然后在已知数轴上进行表示即可． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示如下： 题型八　求一元一次不等式解的最值 例题：若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 巩固训练 1．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 3．一元一次不等式的最大整数解为 ； 【答案】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解． 4．已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键． 题型九　一元一次不等式组的定义 例题：下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 巩固训练 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 3．一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解． 【答案】 含有同一个未知数 公共部分 【分析】根据定义填空即可． 【详解】一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解． 故答案为：含有同一个未知数，公共部分． 【点睛】本题直接考查一元一次不等式组的定义，不等式组的解的定义．熟知定义是解题关键． 4．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 题型十　求不等式组的解集 例题：解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，分别解不等式，得出不等式组的解集，再画图即可，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴解集在数轴上表示为： 故选：． 巩固训练 1．不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解得：， 解得：， ∴不等式组的解集是， 故选：D． 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 3．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是关键． 先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 4．求不等式组的解集．并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 题型十一　解特殊不等式组 例题：若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 巩固训练 1．不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 【答案】B 【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围． 【详解】试题解析：， 由①得：x≥a， 由②得：x≤1+a， ∴不等式的解集是a≤x≤1+a， ∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内， ∴ 解得：2≤≤4． 所以a的取值范围是：2≤≤4． 故选B． 【点睛】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，等知识的理解和掌握，能根据不等式组的解集，和已知得出a≥5且1+a≤2是解此题的关键． 2．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 3．设，是正整数，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可． 【详解】解：∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ，， ∴， ∵，是正整数， ∴或， ①当时，由，得：，这样的正整数不存在， ②当时，由，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 4．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 题型十二　求一元一次不等式组的整数解 例题：若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 巩固训练 1．若关于的不等式组恰有4个整数解，则字母的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可， 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解有， ∴， 故选C． 2．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 3．若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次不等式组与一元一次方程方程综合，先解关于x的不等式组，根据该不等式组的解的情况得到关于a的不等式组，求出解集，再根据关于y的方程的解为整数，得出为偶数，由此列出所有满足条件的整数a，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， 3个奇数解为， ， 解得； 解y的方程，得， 该方程的解为整数， 为整数， 为偶数， 满足条件的整数a为：、、0、2或4， 所有满足条件的整数a的个数为：， 故答案为：5． 4．解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并写出所有整数解． 【答案】，在数轴上表示不等式组的解集见解析，所有整数解为，0，1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，找满足要求的整数解．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集，即可找到满足要求的整数解． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 将解集在数轴上表示如解图： 则所有整数解为，0，1． 题型十三　由一元一次不等式组的解集求参数 例题：不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 巩固训练 1．若不等式组的解集为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握不等式解集的取法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先分别解出两个不等式，再根据不等式组的解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选B． 2．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 3．若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分当时，当，即时，当，即时，三种情况根据不等式组的解集可知和中较大的数的值为进行求解即可． 【详解】解：当时，则，此时， ∴不等式组的解集为，不符合题意； 当，即时， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴（舍去）； 当，即时， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 4．若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 题型十四　不等式组和方程组相结合的问题 例题：已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 巩固训练 1．若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两个方程相加，表示出，代入求解即可； 【详解】解：， 得：， ， ， 即：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解方程组与不等式组的步骤是解题关键． 2．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 4．若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 【答案】(1) (2)1，2，3，4，5，6 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用； （1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可； （2）由，，再建立不等式组解题即可； 【详解】（1）解：， ②①得： ∴ 把代入①得： ∴解方程组为 （2）解：∵， ∴ 解得： ∴的整数解是：1，2，3，4，5，6 题型十五　一元一次不等式组的其他应用 例题：一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：． 巩固训练 1．五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个，根据题意得： ， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选C． 2．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设联系汽车x辆，则参加次活动的团员志愿者有名，根据“如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之取其正整数值即可得出结论． 【详解】解：：设联系汽车辆，则参加此次活动的团员志愿者有名． 根据题意，得 解得． 因为为正整数， 所以． 所以参加此次活动的团员志愿者有（名）． 故答案为：48． 3．某校志愿服务小组的学生在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少分得盒，则这个敬老院的老人最少有 位． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设这个敬老院有位老人，则牛奶有盒，根据题意列出不等式组解答即可求解，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：设这个敬老院有位老人，则牛奶有盒， 根据题意得，， 解得， ∵为整数， ∴这个敬老院的老人最少有位， 故答案为：． 4．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【答案】(1) (2)三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，即可得出答案； （2）根据做一个竖式纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 为正整数， 可取36、37、38， 三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 题型十六　用一元一次不等式组解决实际问题 例题：为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 巩固训练 1．已知杜鹃花宜居在的环境中，某山区要种植杜鹃花．已知平均气温为，且海拔每上升米，气温就下降．山脚的海拔的取值范围是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上，根据题意列出不等式即可求解，根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上， 由题意得，， 解得， 答：山脚的海拔的取值范围是米． 2．小王同学要去复印一些文件，现在有A、B两家复印社可供选择． A复印社：复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费为元 B复印社：不论复印多少页，每页收费元． (1)如果复印页数是25页，计算A、B两家复印社的收费分别是多少？ (2)如果只能选择一家复印社复印文件，小王同学选择哪家复印社更合算？ 【答案】(1)A复印社元；B复印社元 (2)当复印页数为60页时，两家复印社收费相同；当复印页数小于60页时，B复印社合算；当复印页数大于60页时，A复印社合算 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，设未知数列方程求解． （1）根据题意得出两种复印社需要的费用，然后解答即可； （2）列出关于复印费用关于x的关系式，然后分情况讨论，求出x的取值范围，再进行回答即可． 【详解】（1）解：A复印社：（元）， B复印社：（元）， 答：A复印社元；B复印社元． （2）解：设复印x页，A、B两家复印社的收费分别是元，元，则： ， ， 时，∵， ∴； 当，时，，解得：； 当，时，，解得：； 当，时，，解得：； 综上：当复印页数为60页时，两家复印社收费相同；当复印页数小于60页时，B复印社合算；当复印页数大于60页时，A复印社合算． 3．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)m的最小值为200 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的实际应用： （1）设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个． ， 解得， ∴． 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得， 答：m的最小值为200． 4．某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 【答案】(1)0.6，0.65 (2)300千瓦时 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，有理数的除法运算和减法运算，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． （1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费121元，求出b的值即可； （2）设小明家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的，根据该市居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，列出不等式求解即可． 【详解】（1）根据2013年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元； 得出：， 居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 则． 故答案为：0.6，0.65． （2）设小王家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的， 由题意，得， 解得：． 答：小王家用电量最多能用电300千瓦时，不超过家庭月收入的． 题型十七　用一元一次不等式组解决几何问题 例题：已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 巩固训练 1．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力． 2．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 3．在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)4 (2)同意，AB=4 (3)或 【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论； （2）用a表示出点B的坐标，可得结论； （3）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2）， ∴AB=2-（-2）=4， 故答案为：4； （2）小智同学的观点正确． 理由：∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∴B（a，2a-4）， ∵A（a，2a）， ∴AB=2a-（2a-4）=4， ∴AB的长是定值； （3）如图， 观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2 ∵a=3-2b， ∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2. 解得或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题． 4．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 题型十八　一元一次不等式的综合 例题：已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列方程求解即可； （2）不等式组无解得出求解即可． 【详解】（1）解不等式，得； 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为 ∴且， ∴． （2）∵该不等式组无解， ∴， 解得． 巩固训练 1．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出不等式组的解集，结合题意，即可得出结果； （2）根据不等式组只有三个整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为， ， （2）由题意，得原不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ， 解得． 2．已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 3．高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉!“高斯函数”：，也称为取整函数，即表示不大于的最大整数，如：，，根据这个规定，回答下列问题： (1)填空______，______； (2)若，求的取值范围； (3)若关于的不等式组恰有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据新定义即可求解； （）根据新定义即可求解； （）先解出的解集，然后根据新定义即可求解； 本题考查了新定义的理解和应用，解不等式组，理解题意并掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得，，， 故答案为：，； （2）根据定义可得， ∴； （3）由得， ∵关于的不等式组恰有个整数解， ∴， ∴． 4．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 试卷第42页，共43页 5 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$