8.3.2 独立性检验课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3.2 独立性检验 人教A版（2019）选择性必修三 素养目标 1.通过实例了解独立性检验的基本思想，提高逻辑推理能力（重点） 2.掌握独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题，提升数学运算能力（难点） 新课导入 前面我们通过 2×2 列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大．因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算． 新课学习 零假设或原假设的概念 我们需要判断下面的假定关系 H0:P(Y=1∣X=0)=P(Y=1∣X=1) 是否成立，通常称H0为零假设或原假设.这里，P(Y=1∣X=0) 表示从{X=0}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0,Y=1}的概率；而P(Y=1∣X=1) 表示从{X=1}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=1,Y=1}的概率． 新课学习 思考一下：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X 和Y 独立的定义. 由条件概率的定义可知，零假设H0 等价于 或 P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). （1） 注意到{X=0} 和{X=1}为对立事件，于是 P(X=0)=1-P(X=1) ．再由概率的性质，我们有 P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1). 由此推得（1）式等价于 新课学习 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1). 因此，零假设H0 等价于{X=1}与{Y=1} 独立． 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价： {X=0}与{Y=0}独立; {X=0}与 {Y=1}独立; {X=1}与{Y=0}独立; {X=1}与{Y=1}独立. 如果这些性质成立，我们就称分类变量X 和Y 独立．这相当于下面四个等式成立： P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0);P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1); P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为 (2) H0：分类变量X和Y独立. 新课学习 思考一下：给出下面的列联表，你可以说出里面的数据代表的含义吗？ X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 表中的数据是关于分类变X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和 {X=1}的频数;中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}（x,y=0,1）的频数;右下角格中的数 n 是样本容量． 事件{Y=0}和{Y=1}的频数 事件{X=0}和{X=1}的频数 n是样本容量 事件{X=x,Y=y} (x，y=0，1)的频数 新课学习 思考一下：如何基于（2）中的四个等式及上面列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量 X 和 Y 是否相互独立作出推断？ 在零假设H0 成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由（2）中的第一个等式，我们可以用概率 P(X=0) 和 P(Y=0) 对应的频率的乘积 估计概率 P(X=0,Y=0) ，而把 视为事件 {X=0,Y=0} 发生的频数的期望值（或预期值）． 新课学习 综合(2)中的四个式子，如果零假设H0 成立，下面四个量的取值都不应该太大： 反之，当这些量的取值较大时，就可以推断H0 不成立． (3) 但是，我们并不能直接用(3)中的值的大小来推断H0是否成立．为此需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量．一般来说，若频数的期望值较大，则(3)中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则(3)中相应的差的绝对值也会较小． 为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量： 新课学习 该表达式可化简为 新课学习 思考一下：用随机变量 χ2 取值的大小作为判断零假设H0 是否成立的依据，当它比较大时推断H0 不成立，否则认为H0 成立.那么，究竟 χ2 大到什么程度，可以推断H0 不成立呢？或者说，怎样确定判断 χ2 大小的标准呢？ 根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现．在假定H0 的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量n充分大时，统计学家得到了χ2 的近似分布． 忽略 χ2 的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α ，可以找到相应的正实数xα ，使得下面关系成立： (4) 新课学习 临界值的概念 对于任何小概率值α ，可以找到相应的正实数 xα ，使得下面关系成立： 我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断 χ2大小的标准．概率值 α 越小，临界值xα 越大．当总体很大时，抽样有、无放回对 χ2 的分布影响较小． 由(4)式可知，只要把概率值α 取得充分小，在假设H0 成立的情况下，事件 {χ2⩾xα }是不大可能发生的．根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断 H0不成立． 新课学习 独立性检验的概念 基于小概率值 α 的检验规则是： 当 χ2⩾xα 时，我们就推断H0 不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当 χ2<xα 时，我们没有充分证据推断H0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立． 这种利用 χ2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验，读作 “卡方独立性检验”，简称独立性检验. 新课学习 5个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例如，对于小概率值 α=0.05 ，我们有如下的具体检验规则： （1）当 χ2⩾x0.05=3.841 时，我们推断H0 不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 0.05 ; （2）当 χ2<x0.05=3.841 时，我们没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立． 新课学习 例 2 依据小概率值 α=0.1 的 χ2 独立性检验，分析例 1 中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 零假设为 H0 ：分类变量 X 与 Y 相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异． 根据例1中表中的数据，计算得到 根据小概率值α=0.1 的 χ2 独立性检验，没有充分证据推断H0 不成立，因此可以认为H0 成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 新课学习 思考一下：例1 和例2 都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？ 例 1 只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依据不太充分． 例 2 中，我们用χ2 独立性检验对零假设H0 进行了检验．通过计算，发现 χ2≈0.837小于α=0.1 所对应的临界值2.706 ，因此认为没有充分证据推断 H0 不成立，所以接受H0 ，推断出两校学生的数学成绩优秀率没有显著差异的结论．这个检验结果意味着，抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的． 因此，只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的． 新课学习 例 3 某儿童医院用甲，乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值α=0.005 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 零假设为 H0 ：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如下表所示 新课学习 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值α=0.005 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0 成立，即认为两种疗法效果没有差异． 新课学习 例 4 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了 9965 人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下表所示．依据小概率值 α=0.001 的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险． 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 新课学习 零假设为 H0 ：吸烟与患肺癌之间无关联． 根据小概率值α=0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 . 根据上表中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为 根据列联表中的数据，经计算得到 新课学习 由 可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的 4 倍以上．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌． 吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为 新课学习 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： （1）提出零假设H0: X 和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2 的值，并与临界值xα 比较； （3）根据检验规则得出推断结论; （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 新课学习 思考一下：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？ 反证法是在某种假设H0 之下，推出一个矛盾结论，从而证明H0 不成立；而独立性检验是在零假设H0 之下，如果出现一个与H0 相矛盾的小概率事件，就推断H0 不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率．另外，在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由 χ2 所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的． 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 5 课堂巩固 课堂总结 1.零假设或原假设的概念 2.独立性检验的概念 3.5个常用的小概率值和相应的临界值 4.应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节 感谢同学们观看 这样，该频数的观测值a和期望值 应该比较接近． ， ， ， 1.校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的 ，女生选学生物学的人数占女生人数 .若有 的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有( )人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中， . A.20 B.30 C.35 D.40 解析：设总人数为 ，则男生选学生物学的人数为 ，女生选生物学的人数为 ， 则 ， 即 ，又n为5的倍数，故男生最少有30人.故选：A. 2.某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3000人，计算发现 ，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( ) … 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 … k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 … A.90% B.95% C.97.5% D.99.5% 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， 可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 故选：C. 3.下列说法正确的是( ) A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17； B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验 ，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D.若随机变量 ， 满足 ，则 . 解析：A选项， ，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，即 ，A错误； B选项，由于 ，得到X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误； D选项，若随机变量 ， 满足 ，则 ，D错误.故选：B 4.某机构通过抽样调查，利用 列联表和 统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得 ，经查对临界值表知 ， ，现给出四个结论，其中正确的是( ) A.因为 ，所以有 的把握认为“患肺病与吸烟有关” B.因为 ，所以有 的把握认为“患肺病与吸烟有关” C.因为 ，所以有 的把握认为“患肺病与吸烟无关” D.因为 ，所以有 的把握认为“患肺病与吸烟无关” 解析：因为 ，且 ， ，所以有 的把握认为“患肺病与吸烟有关”，因此A正确，C不正确.因为 ， ，所以不能确定有 的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有 的把握认为“患肺病与吸烟无关”，因此B，D都不正确.故选A. 5.某校团委对“学生性别和喜欢某视频 是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频 的人数占男生人数的 ，女生喜欢该视频 的人数占女生人数的 ，若依据小概率值 的独立性检验，认为喜欢该视频 和性别有关，则男生至少有( ) 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 ， . A.12人 B.6人 C.10人 D.18人 解析：设被调查的男生人数为x，则被调查的女生人数为 ，则 列联表为 性别 付某视频 的态度 合计 喜欢 不喜欢 男生 x 女生 合计 x 根据小概率值 的独立性检验，认为喜欢某视频 和性别有关，则 ，即 ，则 ，又 ， ， 均为整数，所以男生至少有12人.故选：A. 6.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中 ，且 ，若有 的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值是________. 对工作满意 对工作不满意 男 女 附： ，其中 . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 5.024 7.879 10.828 解析：根据独立性检验思想可得， ，得 ， 因为 且 ，所以 ；故答案为：5. $$