专题01 向量及其线性运算知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题01 向量及其线性运算知识归纳与题型突破 知识点1 向量 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2 向量的加法 1.三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接” 2.平行四边形法则（图乙）：强调“共起点” 3.向量加法的运算律 ①交换律 ②结合律 【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则． ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 4.零向量加法性质： （1）a+0=0+a=a （2）a＋b=0，则a，b互为相反向量，a=—b，b=—a 5.向量的减法 一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b. 知识点3 向量的数乘 1、向量的实数倍： 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0（零向量！） λ<0 λa的方向与a的方向相反 2.几何意义： λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 3.向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 4.共线向量： 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即a//b⇔存在实数λ使b＝λa或a＝λb 5、 向量的夹角： （1）向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．记作<a,b>，范围[0，π],且<a,b>=<b,a>. （2）向量的平行：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向； （3）向量的垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. （4）当0<θ<π时，a与b不共线. （5）规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行；也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直. 6、共线向量的运算： （1） （2）实数a,b代表的共线向量的加法、减法、数乘运算法则： 7、数乘运算律 设λ、μ为实数，则 (1)对实数乘法的结合律：λ(μa)＝ (λμ)a； (2)对实数加法的分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)对向量加法的分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 题型一 向量的概念 【例1】（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确； 对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误； 对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误； 对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误. 故选：A. 【变式1-1】（20-21高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误. 【详解】①若，则，故错误； ②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误； ③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误； ④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误； 故选：A 【变式1-2】（多选）（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量 【分析】利用向量的相关概念，逐一判断各个命题作答. 【详解】对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确； 对于B，所有的单位向量的模相等，B正确； 对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确； 对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误. 故选：ABC 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AC 【知识点】平行向量（共线向量）、垂直关系的向量表示、零向量与单位向量 【分析】利用向量共线的意义判断AB；举例说明判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量夹角的范围是，D正确. 故选：AC 题型二 向量的加法 【例2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用平面向量加法、减法的运算法则可得结果. 【详解】根据平面向量运算法则可得. 故选：A 【变式2-2】（23·24高一上·河北石家庄·期末）向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 【变式2-3】（2023高二上·全国·专题练习）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解. 【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确； 因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确； 因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确； 因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确. 所以①②③④正确，则正确的个数为4. 故选：D. 题型三 向量的数乘及线性运算 【例3】（21-22高一·湖南·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：D. 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将结合线性运算的加法、减法公式拆解成关于的基底向量即可求解. 【详解】∵为边上的中线，∴， 又∵点为的中点， ∴． 故选：B． 【变式3-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知，，求，与． 【答案】，，. 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算化简计算可得结果. 【详解】解：因为，，则， ， . 题型四 根据向量线性运算求参数 【例4】（23·24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 【答案】B 【分析】根据向量的线性表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B 【变式4-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知点在线段上，且，若向量，则 . 【答案】 【分析】根据线段的数量关系，即可确定向量之间的倍数关系，即得答案. 【详解】如图，由，可得，所以，即， 故答案为： 【变式4-2】（20·21高一·全国·课时练习）已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可. 【详解】由，得，因为，，所以，即. 故答案为： 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图 因为，所以， 则， 所以，，. 故答案为：. 题型五 向量线性运算的几何应用 【例5】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案. 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 【变式5-1】（2024高一·全国·专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据共线向量及菱形知识可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 【变式5-2】（2020·全国·高三专题练习）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 【答案】C 【分析】利用向量加法运算的几何应用求，可知，即可判断四边形的形状. 【详解】由， ∴，即，而， ∴为梯形. 故选：C 【变式5-3】（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【答案】/1.25 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案. 【详解】连接，如图所示：    . 所以. 故答案为： 题型六 向量共线的判断 【例6】（11-12高一上·陕西·期末）设分别是的三边上的点，且，则与（   ） A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、用基底表示向量 【分析】首先根据平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案. 【详解】 同理：，， 所以 , 所以与反向平行. 故选：A 【变式6-1】（17-18高一下·湖南郴州·阶段练习）已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量平行的向量为 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】首先对各个选项进行分析，结合向量加法运算，以及正六边形的特征，利用向量共线的条件，求得正确结果. 【详解】因为， 故选B. 【变式6-2】（20-21高一·江苏·课后作业）已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】利用平面向量的减法法则以及向量共线即可判断选项. 【详解】因为＋＋＝， 所以＋＋-， 即， 所以与共线. 故选：B. 【变式6-3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③与共线；④． 【答案】①②③ 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用正方形的几何性质结合相等向量、共线向量的定义判断可得出结论. 【详解】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确； 对于②，因为、、三点共线，则，则②正确； 对于③，，则与共线，则③正确； 对于④，、方向不相同，故，则④错误. 故答案为：①②③. 题型七 判断、证明点共线 【例7】（23-24高一下·湖南·期中）在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，利用向量的线性运算，得到，从而得到，即可证明结果. 【详解】（1）由题知，又因为， 所以， . （2）因为， 又由（1）知，所以， 又与共起点，所以三点共线. 【变式7-1】（13-14高一下·广东云浮·阶段练习）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数、向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据题意结合向量共线的判定定理逐项分析判断． 【详解】因为， 对于选项A：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故A选项错误； 对于选项B：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故B选项错误； 对于选项C：因为． 可知，且与有公共点，所以三点共线，故C选项正确； 对于选项D：因为， 若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 则不存在任何，使得， 所以不共线，D选项错误． 故选：C． 【变式7-2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线定理即可判断各项. 【详解】对于A，令，即，则有， 所以不存在t，使得， A错误； 对于B，令，即，则有， 所以不存在n，使得，B错误 对于C，，令，即， 则有，所以不存在m，使得，C错误； 对于D，，所以，又直线MN，NQ有公共点N，故 ，，三点共线，D正确. 故选：D 【变式7-3】（22-23高一下·河南南阳·期末）如图，在中，．    (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可. （2）利用三点共线的判定证明即可. 【详解】（1）因为， ， . （2）由， 可得， 所以，，即， 所以，，三点共线. 题型八 由向量共线（平行）求参数 【例8】（2020高三·全国·专题练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值. 【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使， 于是， 整理得． 由于不共线，所以有，整理得， 解得或． 又因为，故． 故选：B． 【变式8-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知向量不共线，向量，则（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】由向量共线定理知，，再根据平面向量基本定理，对应系数相等即可求得. 【详解】因为不共线，， 所以，即，即，解得. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一下·湖南·开学考试）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为、是两个不共线的单位向量，，，若与是共线向量， 设，，则， 所以，解得. 故答案为：. 【变式8-3】（20-21高一下·安徽滁州·阶段练习）如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设，． (1)用和表示向量、； (2)若，求实数λ的值 【答案】(1)； (2) 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可 （2）根据向量的减法法则可得、，结合平行向量的基本定理计算即可. 【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且， 由平行四边形法则，， 所以， . （2）因为，又， ， 所以＝，解得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 向量及其线性运算知识归纳与题型突破 知识点1 向量 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2 向量的加法 1.三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接” 2.平行四边形法则（图乙）：强调“共起点” 3.向量加法的运算律 ①交换律 ②结合律 【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则． ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 4.零向量加法性质： （1）a+0=0+a=a （2）a＋b=0，则a，b互为相反向量，a=—b，b=—a 5.向量的减法 一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b. 知识点3 向量的数乘 1、向量的实数倍： 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0（零向量！） λ<0 λa的方向与a的方向相反 2.几何意义： λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 3.向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 4.共线向量： 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即a//b⇔存在实数λ使b＝λa或a＝λb 5、 向量的夹角： （1）向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．记作<a,b>，范围[0，π],且<a,b>=<b,a>. （2）向量的平行：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向； （3）向量的垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. （4）当0<θ<π时，a与b不共线. （5）规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行；也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直. 6、共线向量的运算： （1） （2）实数a,b代表的共线向量的加法、减法、数乘运算法则： 7、数乘运算律 设λ、μ为实数，则 (1)对实数乘法的结合律：λ(μa)＝ (λμ)a； (2)对实数加法的分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)对向量加法的分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 题型一 向量的概念 【例1】（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（    ）个. A． B． C． D． 【变式1-1】（20-21高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（多选）（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 【变式1-3】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 题型二 向量的加法 【例2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23·24高一上·河北石家庄·期末）向量 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023高二上·全国·专题练习）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 向量的数乘及线性运算 【例3】（21-22高一·湖南·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知，，求，与． 题型四 根据向量线性运算求参数 【例4】（23·24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 【变式4-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知点在线段上，且，若向量，则 . 【变式4-2】（20·21高一·全国·课时练习）已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是 . 题型五 向量线性运算的几何应用 【例5】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024高一·全国·专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式5-2】（2020·全国·高三专题练习）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 【变式5-3】（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    题型六 向量共线的判断 【例6】（11-12高一上·陕西·期末）设分别是的三边上的点，且，则与（   ） A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【变式6-1】（17-18高一下·湖南郴州·阶段练习）已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量平行的向量为 A． B． C． D． 【变式6-2】（20-21高一·江苏·课后作业）已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③与共线；④． 题型七 判断、证明点共线 【例7】（23-24高一下·湖南·期中）在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【变式7-1】（13-14高一下·广东云浮·阶段练习）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【变式7-3】（22-23高一下·河南南阳·期末）如图，在中，．    (1)用，表示，； (2)若点满足，证明：，，三点共线． 型八 由向量共线（平行）求参数 【例8】（2020高三·全国·专题练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式8-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知向量不共线，向量，则（    ） A． B． C． D．12 【变式8-2】（23-24高一下·湖南·开学考试）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 【变式8-3】（20-21高一下·安徽滁州·阶段练习）如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设，． (1)用和表示向量、； (2)若，求实数λ的值 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$