7.5 正态分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 人教A版（2019）选择性必修三 素养目标 1. 通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念（重点） 2. 通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义，提升逻辑推理能力（重点） 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题，提升数学运算能力（难点） 新课导入 思考一下：如果设一个电水壶的使用寿命为X，它不是离散型的，那么X是什么变量？ 有些问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 新课学习 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 新课学习 思考一下：（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？ （2）如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？ 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如下图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 X 4 6 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 新课学习 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示. 光滑的钟形曲线 新课学习 根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中阴影部分的面积表示. 新课学习 正态密度函数的概念 随机误差分布的解析式： 正态密度曲线的性质：（1）对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.（2）x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示. 新课学习 正态分布的概念 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 新课学习 思考一下：正态分布在实际问题中有什么应用？ 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中. 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布. 例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量, 自动流水线生产的各种产品的质量指标 (如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容), 某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等, 一般都近似服从正态分布. 新课学习 观察一下：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 从X的密度函数及其图象可以发现，正态曲线还有以下的特点： 新课学习 思考一下：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 函数f(x-μ)的图象可由y=f(x)的图象平移得到.因此，在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如下图所示. μ3= -1 μ1=0　 μ2=1 x y σ=1 若σ固定， 图象位置随μ值的变化而沿x轴平移 新课学习 因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； 当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如下图所示.  2 =0.5 1 =1 3=2 μ=0　 x y 新课学习 正态分布的期望与方差 观察上面两图可以发现，参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.实际上，我们有 在实际问题中, 参数 μ,σ 可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 新课学习 例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y都服从正态分布. （1）估计X，Y的分布中的参数； 分析：对于第（1）问，正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，根据正态分布参数的意义,可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数 μ，用样本标准差估计参数 σ ，可以得到 X~N(30,σ2),Y~N(34,22) 新课学习 （2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； X和Y的分布密度曲线如图所示. 新课学习 （3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由. 分析： 这是一个概率决策问题, 首先要明确决策的准则, 在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具; 然后结合图形, 根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断. 应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知， 所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车. 新课学习 正态分布的3σ原则 上述结果可用如图表示. 新课学习 正态分布的3σ原则 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ 2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 18 课堂巩固 总结一下 1.正态密度函数的概念 2.正态分布的概念 3.正态分布的性质 4.正态分布的期望和方差 感谢同学们观看 其中 ， 为参数. 若 ，则如图所示，X取值不超过x的概率 为图中区域A的面积，而 为区域B的面积. 当 时， （1）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （2）曲线在 处达到峰值 ； （3）当 无限增大时，曲线无限接近x轴. 当 取定值时，因为曲线的峰值 与 成反比，而且对任意的 ，曲线与x轴围成的面积总为1 若 ，则 . 假设 ，可以证明：对给定的 是一个只与 有关的定值.特别地， 1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数X近似服从正态分布 ，据此估计，该市二模考试数学分数X介于75到115之间的人数为( ) 参考数据:若 ，则 ， ， . A.13272 B.16372 C.16800 D.19518 解析：由 ，知 ， ， 则 ， 所以估计数学单科分数在 分的学生人数为 . 2.某地区共8000人参加数学联考考试成綪 近似服从正态分布 ，若 （90分以下）的学生人数为( ) A.1000 B.1200 C.1400 D.2800 解析：考试成绩 近似服从正态分布 ， 若 ， 则 ， 故 ， 某地区共8000人参加数学联考， 则估计成綪不及格（90分以下）的学生人数为 .故选:B. 3.若随机变量 ，则下列选项错误的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A选项，变量 ，这里 ，所以 ，A选项正确.对于B选项，因为正态分布图象关于 对称， ， . 根据正态分布的对称性， ，B选项正确.对于C选项，若 ，则 .对于 ，根据期望的性质 .所以 ，C选项正确.对于D选项，若 ，则 ，对于 ，根据方差的性质 .所以 ， D选项错误.故选：D. 4.已知正态分布 的正态密度曲线如图所示， ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是( ) A. B. C. D. 解析：正态分布 的正态密度曲线关于直线 对称，可得图中阴影部分可表示为 ，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得 ，故选项C错误； 对D：由对称性可得 ， 所以图中阴影部分面积可表示为 ，故选项D正确.故选：C. 5.已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析：因为随机变量X服从正态分布 ， 所以随机变量X的均值 ，所以随机变量X的密度曲线关于 对称， 所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，故选：A. 6.若随机变量 ， ， ，则 的最小值为___________. 解析：因为 ，所以对应的正态曲线的对称轴为直线 . 又 ，则由对称性得 . 又 ，所以 . 所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立.所以 的最小值为18. $$