第一章 三角形的证明（A卷单元基础卷）重庆市2024-2025学年八年级数学下学期阶段性达标检测卷（北师大版）

重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第1章 三角形的证明（A卷单元基础卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 3．一个直角三角形的三边都是整数，其中一条长为5，则另外两条边长可以为（   ） A．4，6 B．1，7 C．12，13 D．25，24 4．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 8．如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 9．已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 10．如图，中，为的角平分线，， E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．若有下列结论： ①；②平分；③；④．请在其中选出所有的正确结论：（   ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 ． 12．一个三角形三条边的长分别为8、6、10，那么这个三角形是 三角形．（填“钝角”、“锐角”或“直角”） 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 14．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 15．已知中，是的外心（三条中垂线的交点），，则 ． 16．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），如图，已知，点在上． (1)作的平分线； (2)过点作的垂线． 18．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 19．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．    20．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 21．如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 22．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分?请说明理由． 23．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由． (2)求证：． 24．如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于D点，交于O点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 25．如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． (1) （用含的代数式表示）； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)当 时，点在的角平分线上． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第1章 三角形的证明（A卷单元基础卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 2．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解： ， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选B． 3．一个直角三角形的三边都是整数，其中一条长为5，则另外两条边长可以为（   ） A．4，6 B．1，7 C．12，13 D．25，24 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．找出最长边为斜边，再分别把各项代入，利用勾股定理的逆定理进行验证即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故不符合题意； B、，故不是直角三角形，故不符合题意； C、，故是直角三角形，符合题意； D、，故不是直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 4．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质及内角和定理，由线段垂直平分线得到，进而得到，再由三角形外角性质得到，又由得到，由三角形内角和定理得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的相关计算问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于E，根据角平分线的性质得，再根据求解即可． 【详解】解：过点作于， ，平分， ， ，， ， 点到的距离是， 故选：A． 6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点作的延长线的垂线于点，证明，，根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：过点作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 同理可证，， ， ， ， 故选：B． 9．已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分长为的边为腰和底两种情况解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当长为的边为腰时，底长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 当长为的边为底时，腰长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 综上，这个等腰三角形的腰长为或， 故选：． 10．如图，中，为的角平分线，， E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．若有下列结论： ①；②平分；③；④．请在其中选出所有的正确结论：（   ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由“”可证，故①正确，由三角形的内角和定理可求，故②错误；由外角的性质可证，可得，故③正确，通过证明，，可得，，可判断④正确，即可解答． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴不平分，故②错误； ③∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．故③正确； ④过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，①③④正确． 故选：D． 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 12．一个三角形三条边的长分别为8、6、10，那么这个三角形是 三角形．（填“钝角”、“锐角”或“直角”） 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，求出较短两边的平方和，看是否等于第三边平方，若等于，则是直角三角形，否则不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 14．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知中，是的外心（三条中垂线的交点），，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 当为锐角三角形时，连接，延长至点，则由，得到，故，那么，即可求解；当为钝角三角形时，同上可求． 【详解】解：当为锐角三角形时，连接，延长至点 ∵点是的外心（三条中垂线的交点） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当为钝角三角形时，连接，延长至点 同理可得： ∴同理可得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：或． 16．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    【答案】①②④ 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、，    根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③错误； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴为定值，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），如图，已知，点在上． (1)作的平分线； (2)过点作的垂线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，作垂线，熟记作图方法是解本题的关键. （1）以O为圆心，在和上分别截取两线段使其相等，得到两个交点，再以这两点分别为圆心作圆，在内交于点C，连接即为的平分线； （2）以M为圆心，作一圆与射线交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，作直线即为的垂线． 【详解】（1）解：为所求； （2）解：为所求． 18．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ，， ， ， ． 19．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．    【答案】四边形ABCD的面积为234平方米． 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可求出空地的面积． 【详解】连接AC． 在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252， 在△ADC中， CD＝7，AD＝24，AC＝25， ∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米）， ∴四边形ABCD的面积为234平方米．    【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 20．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴； （2）如图， ∵，，， ∴在中，． 21．如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 22．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分?请说明理由． 【答案】平分；理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的性质及其判定；过点P作、、，证明即可解决问题． 【详解】解：平分；理由如下： 如图，过点P作、、，垂足分别为， ∵的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴平分． 23．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，主要考查学生的推理能力． （1）根据角平分线性质得出即可． （2）连接，推出，根据证出即可． 【详解】（1）解：， 理由是：∵平分， ∴． （2）证明：连接， ∵的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于D点，交于O点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点D到直线的距离是3 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，等边对等角等知识点，关键是得到平分． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据等边对等角得出，再推出，结合等角的余角相等即可求解； （2）过D点作于E，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：中，，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是三角形的高线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过D点作于E， ∵平分， ∴， 设点D到直线的距离是x， 则， 解得：． 故点D到直线的距离是3． 25．如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． (1) （用含的代数式表示）； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)当 时，点在的角平分线上． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）由题意可知，然后根据即可得出答案； （2）过点作于点，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可求出的长，进而可求出的长，然后分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别根据相应的等量关系列方程，解方程即可求出的值，最后综合所有的情况即可得解； （3）点在的角平分线上，过点作于点，作于点，由角平分线的性质可得，由（2）可知，根据，利用三角形的面积公式可求得，然后根据，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ，，， ， 解得：， ， ， 分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：； 当时， ， ， ， ， 解得：； 当时， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形， 答：当或或时，为等腰三角形； （3）解：如图，点在的角平分线上，过点作于点，作于点， ， 由（2）可知：， ， ， ， 解得：， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$