第一章 三角形的证明（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 三角形的证明（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．满足下列条件时，△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 B．AB＝3，BC＝6，AC＝7 C．∠A＝40°，∠B＝60° D．AB：BC：AC＝5：12：13 2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　） A．7.5° B．10° C．15° D．18° 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC＝12，DB＝13，点D到AB的距离是（　　） A．5 B．6 C．4 D．3 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB、AC、BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC各边垂直平分线的交点 B．△ABC中线的交点 C．△ABC高的交点 D．△ABC内角平分线的交点 7．如图，点M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是（　　） A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO 8．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（　　） A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8° 9．如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD＝2，PQ＝6，则BE的长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．无法求出 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD的垂直平分线交AB于点M，CD的垂直平分线交AC于点N，若△ABC的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠2＝180o D．∠3+∠4＝180o 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．15 C．20 D．27 12．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若BC＝9，AC＝12，则AB＝ 　 　． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝　 　． 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　 　个． 16．如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为t s．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，则点Q的运动速度为 　 　cm/s． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC． 18．（10分）用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 19．（10分）推理填空．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．猜想△DOP是等腰三角形． 证明：∵OC平分∠AOB（已知）， ∴∠AOC＝∠BOC（ 　 　）， ∵DN∥EM， ∴　 　＝∠BOC（ 　 　）， ∴　 　＝　 　（ 　 　）， ∴DO＝DP， ∴△DOP是等腰三角形． 20．（10分）如图，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从A到公路l之间架桥不新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得，． （1）求新修的公路AC的长； （2）在后期的建设中，村委会在B、C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离． 21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 22．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 23．（12分）在学习了等腰三角形时，老师想让同学们对一些特殊等腰三角形作一下研究．于是给出了如下问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝120°，求证：BCAC． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若点P是AC中点，连接BP，若AC＝4，求△PBC的面积． 24．（12分）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝∠AFD，AE、AD分别是△ABC的中线和高． ①求证：DF∥AB； ②若AB＝10，AD＝6，CD＝3，求△ABE的面积． 25．（13分）【阅读材料】 如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E． （1）求证：CN∥AB； （2）当点D在射线CN上移动时， ①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论： （i）∠ADC﹣∠AEC的值不变； （ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值； ②连结DE，试求∠AED的大小． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．满足下列条件时，△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 B．AB＝3，BC＝6，AC＝7 C．∠A＝40°，∠B＝60° D．AB：BC：AC＝5：12：13 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝6：8：10， ∴∠C180°180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，不符合题意； B、∵AB＝3，BC＝6，AC＝7，32+62≠72， ∴△ABC不是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∴△ABC不是直角三角形，不符合题意； D、∵AB：BC：AC＝5：12：13，52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形，符合题意， 故选：D． 2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　） A．7.5° B．10° C．15° D．18° 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE， 设∠B＝∠C＝x，∠DEC＝a， ∴∠AED＝∠ADE＝∠C+∠DEC＝x+α，∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE， ∵∠AED+∠DEC＝x+α+α，∠B+∠BAE＝x+30°， ∴x+α+α＝30°+x， 解得：α＝15°， 即∠DEC＝15°． 故选：C． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3 ∵AB＝8， ∴△ABD的面积为：， 故选：A． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC＝12，DB＝13，点D到AB的距离是（　　） A．5 B．6 C．4 D．3 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵∠ACB＝90°，BC＝12，DB＝13， ∴CD5， ∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝5， 故选：A． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， 由条件可知∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A， ∴2∠1＝2∠3+∠A， ∵∠1＝∠3+∠D， ∴． 故选：C． 6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB、AC、BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC各边垂直平分线的交点 B．△ABC中线的交点 C．△ABC高的交点 D．△ABC内角平分线的交点 【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等， ∴这个度假村在△ABC内角平分线的交点处． 故选：D． 7．如图，点M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是（　　） A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO 【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN， ∴OC平分∠AOB． ∵PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON，OP为公共边， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），故B能推出OC平分∠AOB． ∵PM＝PN，OM＝ON时，又OP＝OP， ∴△OMP≌△ONP（SSS），即∠MOP＝∠NOP，故C能推出OC平分∠AOB． 当PM＝PN，∠PMO＝∠PNO，OP＝OP， 由“SSA”不能得到△OMP≌△ONP，故D不能推出OC平分∠AOB． 故选：D． 8．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（　　） A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8° 【解答】解：∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠AEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠ADE， ∵∠AEC增大16°， ∴∠ADE增大8°， ∵∠BDE＝180°﹣∠ADE， ∴∠BDE减小8°， 故选：D． 9．如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD＝2，PQ＝6，则BE的长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．无法求出 【解答】解：∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE， ∴BE＝AD，∠APQ＝∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBE＝∠ABC＝60°， 在Rt△APQ中，PQ＝6，AP＝2PQ＝12， ∴BE＝AD＝AP+PD＝12+2＝14． 故选：A． 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD的垂直平分线交AB于点M，CD的垂直平分线交AC于点N，若△ABC的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠2＝180o D．∠3+∠4＝180o 【解答】解：∵M在BD的垂直平分线上， ∴MB＝MD， ∴∠B＝∠MDB， 同理：∠C＝∠CDN， ∴∠B+∠C＝∠MDB+∠CDN， ∵∠1+∠B+∠C＝180°，∠3+∠BDM+∠CDN＝180°， ∴∠1＝∠3， ∵∠2＝∠B+∠BDM＝2∠B，∠4＝∠C+∠CDN＝2∠C， ∴∠B≠∠C， ∴∠2≠∠4． ∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝2∠B， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠B﹣∠C+2∠B＝180°+∠B﹣∠C， ∵∠B≠∠C， ∴∠1+∠2≠180°， 同理∠3+∠4≠180°， 故选：A． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．15 C．20 D．27 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DH＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积AB•DH10×3＝15． 故选：B． 12．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若BC＝9，AC＝12，则AB＝ 　15　． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12， 由勾股定理得：AB15， 故答案为：15． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝　20°　． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CEA＝70°， ∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°， 又∵∠CAD＝40°， ∴∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣20°＝20°． 故答案为：20°． 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　6　个． 【解答】解：如图所示： 分两种种情况： 当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； 当C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 16．如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为t s．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，则点Q的运动速度为 　或　cm/s． 【解答】解：设点Q的运动速度为x cm/s，分情况讨论如下： ①当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴4÷3＝5÷x， 解得x； ②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴点P的路程为9+12+15﹣4＝32（cm），点Q的路程为9+12+15﹣5＝31（cm）， ∴32÷3＝31÷x， 解得x． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC． 【解答】证明：∵AD⊥BE， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵C是BE中点， ∴BC＝CE， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）． 18．用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 【解答】解：（1）设腰长为x cm，则底边长为x cm，由题意可得， ， ∴x＝10， ∴等腰三角形的腰长为10cm； （2）能围成有一边长为的等腰三角形，三角形的底边为9cm或7cm，理由如下： 当底边长为9cm时，则每个腰长为（25﹣9）÷2＝8cm， ∵8+8＞9， ∴能围成有底边长为9的等腰三角形， 当腰长为9cm时，则底边长为25﹣9﹣9＝7cm， ∵7+9＞9， ∴能围成有腰长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为9cm或7cm． 19．推理填空．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．猜想△DOP是等腰三角形． 证明：∵OC平分∠AOB（已知）， ∴∠AOC＝∠BOC（ 　角平分线的定义　）， ∵DN∥EM， ∴　∠DPO　＝∠BOC（ 　两直线平行，内错角相等　）， ∴　∠DOP　＝　∠DPO　（ 　等量代换　）， ∴DO＝DP， ∴△DOP是等腰三角形． 【解答】证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC（角平分线的定义） ∵DN∥EM ∴∠DPO＝∠BOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DOP＝∠DPO（等量代换）， ∴OD＝PD， ∴△DOP是等腰三角形． 故答案为：角平分线的定义；∠DPO；两直线平行，内错角相等；∠DOP；∠DPO；等量代换． 20．如图，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从A到公路l之间架桥不新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得，． （1）求新修的公路AC的长； （2）在后期的建设中，村委会在B、C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离． 【解答】解：（1）∵AC⊥l， ∴∠ACB＝90°， ∴AC2（km）； （2）如图所示，连接AD， ∵光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等， ∴点D为BC的中点， ∴CDCB2（km）， ∴（km）， ∴观光亭D到村庄A的距离为． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴AP＝BP， ∴∠A＝∠ABP＝35°， ∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°； （2）△PBC的周长＝BP+PC+BC， ＝AP+PC+BC， ＝AC+BC， ＝AB+BC， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴△PBC的周长＝5+3＝8cm． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 23．在学习了等腰三角形时，老师想让同学们对一些特殊等腰三角形作一下研究．于是给出了如下问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝120°，求证：BCAC． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若点P是AC中点，连接BP，若AC＝4，求△PBC的面积． 【解答】（1）证明：解法一：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝30°＝∠ABC， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CDBC， 在△ACD中，cos∠ACDcos30°， ∴CDAC， ∴BC＝2CDAC； 解法二：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵CD⊥BA， ∴∠D＝90°， ∴sin∠CADsin60°， ∴CDAC， 在Rt△BCD中，sin∠ABCsin30°， ∴BC＝2CDAC； （2）解：如图，过点P作PM⊥BC于M， ∵点P是AC中点，AC＝4， ∴CP＝2， 在Rt△PCM中，∠ACB＝30°， ∴PMCP＝1， 由（1）知，BCAC＝4， ∴△PBC的面积BC•PM41＝2． 24．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝∠AFD，AE、AD分别是△ABC的中线和高． ①求证：DF∥AB； ②若AB＝10，AD＝6，CD＝3，求△ABE的面积． 【解答】①证明：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠B+∠C＝∠AFD， ∴∠DFC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴∠FDC＝∠B， ∴DF∥AB； ②解：∵AD是高， ∴∠ADC＝90°． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD， ∴BC＝BD+CD＝8+3＝11． ∵AE是中线， ∴BE． ∴． 25．【阅读材料】 如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E． （1）求证：CN∥AB； （2）当点D在射线CN上移动时， ①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论： （i）∠ADC﹣∠AEC的值不变； （ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值； ②连结DE，试求∠AED的大小． 【解答】【阅读材料】证明：过点P作直线AB，BC，AC的垂线，垂足分别为Q，R，T，如图1所示： ∵∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P， ∴PT＝PQ，PR＝PQ， ∴PT＝PR， ∴点P在∠ECB的平分线上， ∴CP平分∠ECB； 【数学思考】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠NCM， ∴∠B＝∠NCM＝60°， ∴CN∥AB； （2）①解：结论（ii）正确，2；理由如下： ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE∠DAC，∠DAC＝2∠DAE， ∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC， ∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝60°﹣∠DAE， ∵CN∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC＝60°， ∵∠ACD+∠DAC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠DAC）＝180°﹣（60°+2∠DAE）＝120°﹣2∠DAE， ∴2； ②解：分别延长AD，AC到点H，G，如图2所示： ∵∠ACB＝∠NCM，∠ACB＝∠MCG， ∴∠NCM＝∠MCG， ∴CM平分∠NCG， ∵AE平分∠CAD， 由阅读材料的结论得：DE平分∠CDH， ∴∠EDH∠CDH， ∵CN∥AB， ∴∠CDH＝∠BAH＝∠BAC+∠CAD＝60°+2∠DAE， ∴∠EDH∠CDH＝30°+∠DAE， ∵∠EDH＝∠DAE+∠AED， ∴∠AED＝∠EDH﹣∠DAE＝30°+∠DAE﹣∠DAE＝30°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/16 23:22:33；用户：赵玉琴；邮箱：13721589064；学号：37201216 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$