第一章 三角形的证明 （A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 三角形的证明（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．8，15，17 C．13，14，15 D．40，50，60 2．在△ABC中，若∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，则AC的长为（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2cm，由此可以推断点P到BC的距离为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 4．如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　） A．AB B．AD C．AC D．AE 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西43°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西17°的方向行驶100海里到C地，则A、C两地相距（　　） A．100海里 B．80海里 C．70海里 D．60海里 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．120° C．126° D．135° 10．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 11．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 12．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF；⑤点G在EF的垂直平分线上，其中正确结论是（　　） A．②③⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠C＝2∠B，AC＝5，则BC的长为 　 　． 14．在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 　 　． 15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，CD＝4，则△ABD面积是 　 　． 16．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c，满足，试判断△ABC的形状． 18．（10分）一块三角形草坪的形状如图，经管理人员测量，这块草坪的三条边AB＝8m，BC＝15m，AC＝17m．求这块草坪的面积． 19．（10分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 20．（10分）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求： （1）∠EBC的度数． （2）∠A的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵CD⊥AB（ 　 　） ∴∠CDB＝　 　． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 　 　） ∴∠EBC＝　 　+35°＝　 　（等量代换） （2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质） ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠A＝　 　﹣90°＝　 　（等量代换）． 21．（11分）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积． 22．（11分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长． 23．（10分）已知△ABC的顶点A、B的坐标分别是A（0，﹣4）、B（﹣2，0）、点C在x轴正半轴，△ABC的面积为12． （1）求点C的坐标； （2）若点P在y轴的正半轴，且△ACP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标； （3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标． 24．（12分） 如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）连接AD，求证：AD平分∠CAM． 25．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝6千米，HB＝4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝8，BC＝10，AB＝12，设AH＝x，求x的值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．8，15，17 C．13，14，15 D．40，50，60 【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴不能组成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵82+152＝289，172＝289， ∴82+152＝172， ∴能组成直角三角形， 故B符合题意； C、∵142+132＝365，152＝225， ∴142+132≠152， ∴不能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵402+502＝4100，602＝3600， ∴402+502≠602， ∴不能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 2．在△ABC中，若∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，则AC的长为（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴AC2． 故选：D． 3．如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2cm，由此可以推断点P到BC的距离为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【解答】解：过P点作PD⊥BC于D点，如图， ∵BP平分∠ABC，PE⊥BA，PD⊥BC， ∴PD＝PE＝2cm， 即点P到BC的距离为2cm． 故选：C． 4．如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　） A．AB B．AD C．AC D．AE 【解答】解：由勾股定理得，AE，AD，AC，AB， ∴下列线段长度最长是AC， 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm， 故选：C． 6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB（180°﹣∠CAB）＝70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE∠ACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAB＝180°﹣35°﹣40°＝105°． 故选：C． 7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO， ∴MB＝MO，NC＝NO， ∴MN＝MO+NO＝MB+NC， ∵AB＝4，AC＝6， ∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10， 故选：D． 8．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西43°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西17°的方向行驶100海里到C地，则A、C两地相距（　　） A．100海里 B．80海里 C．70海里 D．60海里 【解答】解：点B在点A的南偏西43°方向，点C在点B的北偏西17°方向，如图，连接AC． ∴∠CBA＝60°． 又∵BC＝BA，AB＝100海里， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝100海里， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．120° C．126° D．135° 【解答】解：连接AD、DE，如图，设∠C＝α， 由作法得EF垂直平分CD， ∴ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝α， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝2α， ∵CA＝CB， ∴∠B（180°﹣∠C）＝90°α， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝90°α， ∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°， ∴90°α+2α+α＝180°， 解得α＝36°， ∴∠AEG＝90°+∠C＝90°+36°＝126°． 故选：C． 10．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 【解答】解：如图，当点P在点Q左侧时， 由垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC， ∴△AQP的周长为AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BC＝10； 当点P在点Q的右侧时， 由垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC， ∴△AQP的周长为AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BP+CP+PQ+PQ＝BC+2PQ＝10+4＝14； 综上所述，△AQP的周长为10或14， 故选：D． 11．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝24， ∴S2＝12， 由图形可知，阴影部分的面积S2＝6， 故选：A． 12．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF；⑤点G在EF的垂直平分线上，其中正确结论是（　　） A．②③⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【解答】解：∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠ABC＝90°，∠C+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C， 故①正确，符合题意； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE， 故②正确，符合题意； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C， 故③错误，不符合题意； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF， 故④正确，符合题意； 如图，设BE与AG交于点H， 由②得∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AH⊥EF，FH＝EH， ∴AG垂直平分EF， ∴点G在EF的垂直平分线上， 故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④⑤， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠C＝2∠B，AC＝5，则BC的长为 　10　． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝30°， ∴BC＝2AC， ∵AC＝5， ∴BC＝10， 故答案为：10． 14．在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 　40°　． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． 15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，CD＝4，则△ABD面积是 　12　． 【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°， ∴DE＝DC＝4， ∴， 故答案为：12． 16．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　　． 【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°， 作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴，当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c，满足，试判断△ABC的形状． 【解答】解：根据题意，，即， ∴根据非负数的性质得，a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣3＝0， 解得a＝3，b＝4，c＝3， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形． 答：△ABC的形状为等腰三角形． 18．一块三角形草坪的形状如图，经管理人员测量，这块草坪的三条边AB＝8m，BC＝15m，AC＝17m．求这块草坪的面积． 【解答】解：∵AB＝8m，BC＝15m，AC＝17m， ∴AB2+BC2＝82+152＝289，AC2＝172＝289， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴S△ABCAB•BC8×15＝60（m2）． 答：这块草坪的面积是60m2． 19．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【解答】解：AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD交于点M，过点A′作A′K⊥BD交BD延长线于点K， ∴A′C＝AC＝6千米，AM＝A′M， ∴AM+BM＝A′M+BM≥A′B， 即AM+BM的最小值为A′B的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵BD⊥CD，AA′⊥CD，A′C⊥A′K， ∴∠A′CD＝∠CDK＝∠CA′K＝90°， 由平行线间距离处处相等可得： DK＝A′C＝6千米，A′K＝CD＝10千米， ∴BK＝BD+DK＝24千米， 在直角三角形A′BK中，由勾股定理得：（千米）， ∴此时总费用为26×3＝78万元． 20．如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求： （1）∠EBC的度数． （2）∠A的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵CD⊥AB（ 　CD是斜边AB上的高　） ∴∠CDB＝　90°　． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 　三角形的外角的性质　） ∴∠EBC＝　90°　+35°＝　125°　（等量代换） （2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质） ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠A＝　125°　﹣90°＝　35°　（等量代换）． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB（CD是斜边AB上的高）， ∴∠CDB＝90°． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的外角的性质）， ∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）． 故答案为：CD是斜边AB上的高；90°；三角形的外角的性质；90°；125°． （2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）． 故答案为：125°；35°． 21．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵AB＝4，BC＝3，，， ∴四边形ABCD的周长＝4+3+5+512+5； （2）如图， ∵AC5，CD＝5，， ∴AC2+CD2＝50＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S△ACDAC•CD， ∵S△ABCBC•AB＝6， ∴． 22．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长． 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝7cm， 即2DE+2EC＝7cm， ∴DE+EC＝DC＝3.5cm． 23．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别是A（0，﹣4）、B（﹣2，0）、点C在x轴正半轴，△ABC的面积为12． （1）求点C的坐标； （2）若点P在y轴的正半轴，且△ACP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标； （3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点C在x轴正半轴， ∴设C（c，0）， ∵△ABC的面积为12，A（0，﹣4）、B（﹣2，0）， ∴OA＝4，BC＝c﹣（﹣2）＝c+2， ∴，即， ∴c＝4， ∴C（4，0）； （2）∵C（4，0），A（0，﹣4）， ∴OC＝OA＝4， ∵∠BOC＝90°， ∴， 当时，△ACP是等腰三角形， ∴， ∴； 当时，△ACP是等腰三角形， ∵OC⊥AP， ∴OP＝OA＝4， ∴P（0，4）； 当PA＝PB时， ∵OB＝OA＝4， ∴此时点P与点O重合，不符合题意，舍去； ∴点P的坐标为或（0，4）； （3）∵∠AOC＝90°，OA＝OC， ∴∠ACB＝45°， ∵OA＝4，∠AOB＝90°，OB＝2， ∴， ∵B（﹣2，0）， ∴在OA上取OA的中点E，如图所示， ∴E（0，﹣2）， ∴OB＝OE＝2， ∴∠OBE＝∠OEB＝45°＝∠ACB，AE＝2，， ∵∠BEO是△ABE的外角， ∴∠OAB+∠ABE＝45°＝∠BEO， ∵∠ACB＝∠OMB+∠OAB， ∴∠ABE＝∠OMB， 第一种情况，点M在点M1的位置， ∵∠ABE＝∠OM1B，∠BAE＝∠M1AB， ∴△ABE∽△AM1B， ∴， ∴， ∴M1（0，6）； 第二种情况，点M在点M2的位置， ∵∠ABE＝∠OM2B＝∠OM1B， ∴BM1＝BM2， ∴点M1，M2关于x轴对称， ∴M2（0，﹣6）； ∴∠OMB+∠OAB＝∠ACB，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）． 24．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）连接AD，求证：AD平分∠CAM． 【解答】（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN， ∵∠BAC＝68°， ∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°， ∴， ∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD， ∴∠BDC＝34°； （2）证明：如图2，过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ， ∴AD平分∠CAM． 25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝6千米，HB＝4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝8，BC＝10，AB＝12，设AH＝x，求x的值． 【解答】解：（1）∵AB⊥AD，BC⊥AB，DE⊥CE， ∴梯形ABCD的面积为或， ∴， ∴， 即a2+b2＝c2； （2）设设CA＝x千米，则AH＝（x﹣4）千米， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2， 即x2＝62+（x﹣4）2， 解得x＝6.5， 即CA＝6.5， CA﹣CH＝6.5﹣6＝0.5（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.5千米； （3）设AH＝x，则BH＝12﹣x， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH， 即82﹣x2＝102﹣（12﹣x）2， 解得：． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$