第七章节幂的运算章末检测2024-2025学年 苏科版（2024）七年级数学下册

苏科版（2024）七年级下学期第七章节幂的运算章末检测 一、单选题 1．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 6．在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 7．若，则n的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．分解因式： ． 10．已知，，则 ． 11．若是一个完全平方式，则m的值是 ． 12．已知，则 ． 13．若关于x的二次三项式含有因式，则实数p的值是 ． 14．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 15．已知，，求 ． 16．已知，，则 ． 17．若为正整数，且，则的值是 18．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 三、解答题 19．分解因式： (1)； (2)． 20．因式分解 (1) (2) (3)先化简，再求值：已知，其中， 21．如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 22．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．阅读材料，完成下列各题． (1)分解因式：； (2)分解因式：． 23．从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 24．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 25．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，利用几何直观的等面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．如图11甲有三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，老师用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图乙的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图乙中大正方形的面积（注：均用含a，b的代数式表示）， 方法1：______， 方法2：______， 由上可写出一个数学公式：______； (2)根据数学公式，解决问题： 已知，，求的值． 26．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如． ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了公因式，深刻理解公因式的概念是解题的关键：（1）定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；（2）公因式必须是每一项中都含有的因式；（3）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；（4）某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；（5）确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；（6）方法点睛：系数：当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；字母：取各项中的相同字母（或多项式）；指数：各相同项字母（或多项式）的指数取最低次数． 根据公因式的概念及确定公因式的方法进行解答即可． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：． 2．C 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了因式分解的三种方法，解题的关键在于熟练掌握提公因式法（相同的因数或因式提出来，不同的因数或因式进行相加或相减），平方差公式，完全平方公式. 分别根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式即可选出正确答案. 【详解】解：A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确. 故答案为：D. 4．B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，选择答案即可． 【详解】解：A、，右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，符合题意； C、，从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了代数恒等式的几何背景，根据题意列出代数恒等式是解题的关键． 根据题意得出图2的面积为，即可得到答案． 【详解】解：由题意得图2的面积为， 故选： D． 7．C 【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ， 则， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定①②；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 9． 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．直接提取公因式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故答案为： ． 11． 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，利用完全平方公式整理得到两整式的平方和是解题的关键． 先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数非负数列式求解出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则可得关于x的二次三项式还含有因式，据此即可求解 【详解】解：∵关于x的二次三项式含有因式，且， ∴关于x的二次三项式还含有因式， ∴， ∴实数p的值是， 故答案为： 14． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据阴影部分的面积分别求列出关于的方程，进而利用方程求出的值即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图①得， 即， 由图②得， 即， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键． 由，可得，，然后将变形为，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， 故答案为：． 16．57 【分析】本题利用完全平方公式进行计算、因式分解的应用、求代数式的值，将变形为，整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：57． 17．【解答】解：， ． 故答案为：512． 18． / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查提公因式与公式法因式分解综合运用，解题的关键是熟练运用提公因式与公式法进行因式分解． （1）提取公因式即可； （2）先运用平方差公式因式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 20．(1) (2) (3)； 【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用及整式的混合运算与化简求值，熟练掌握因式分解及整式的运算法则是关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用平方差公式分解因式即可． （3）先利用完全平方公式及平方差公式算括号里的，再算除法，最后把，代入化简所得的式子求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当，时， 原式. 21．(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 22．(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是根据“热门定理”，，十字相乘法，进行因式分解，即可． （1）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可； （2）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 24．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式， ． （2）解：设， 原式 ， ； （3）证明：原式 设， 原式， ．     为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 25．(1)，， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一个图形的面积是得出等量关系的关键； （1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得结果，方法二，大正方形的面积等于部分面积和，表示个部分面积，即可求解； （2）利用完全平方公式得出，把，，代入，求得的值，即可求解； 【详解】（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得图的面积为； 方法二，根据个部分面积和，可得， 由上可写出一个数学公式：； 故答案为：，，； （2）解：由（1）得， ，， ， ， ； 26．(1) (2)的最小值为 (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法，结合平方差公式法进行因式分解即可； （2）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可； （3）移项后，利用配方法以及完全平方的非负性，求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：； （2） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$