7.5 解直角三角形（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.5 解直角三角形（2） 第2课时　构造直角三角形解题 问题情境 什么叫解直角三角形？ 对于一个一般的三角形，需要知道三边和三角中几个元素就能确定这个三角形? 学习目标 1. 会解含特殊角的非直角三角形； 2.会利用解直角三角形求解能化为直角三角形的简单多边形问题. 3 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． A B C 30° 45° (1) 在△ABC中，能直接求出AB吗？为什么？ 不能，因为△ABC不是直角三角形. 4 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． A B C 30° 45° (2) 怎样构造直角三角形？ 作△ABC三边上的高. 5 (3) 作哪边上的高可以解决问题？ 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． A B C 30° 45° 8 ？ ？ 作边AC (或边BC) 上的高不能解决问题. 6 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． A B C 30° 45° D 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ADC中， AD＝AC∙cos30°＝＝， CD＝AC∙sin30°＝＝4， 在Rt△BCD中， ∵∠B＝45°， ∴ BD＝CD＝4， ∴ AB＝AD＋DB＝＋4. 7 例题讲解 变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长. A B C D F E M (1) 线段CD在哪一个三角形中？ (2) 该三角形已知哪些条件？ 12 45° 60° (3) 怎样构造直角三角形？ 8 例题讲解 变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长. A B C D F E M 45° 60° 解：如图，过点B作BM⊥FD于点M. ∵在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°， AC＝12， ∴BC＝AC＝12，∠ABC＝45°. ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝45°， ∴BM＝BC·sin45°＝12×＝12， 12 9 例题讲解 变式1 一副三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，求CD的长. A B C D F E M 12 45° 60° ∴CM＝BM＝12. ∵在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝＝4， ∴CD＝CM－MD＝12－4. 10 例题讲解 变式2 在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，求BC的长. A C B A C B ① ② D D 解：∵AB＝12，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝ABcosB＝12×＝12， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， CD＝＝5. 当△ABC为锐角三角形时，如图①， BC＝BDCD＝125＝17. 当△ABC为钝角三角形时，如图②， BC＝BD－CD＝12－5＝7. 11 归纳总结 对于非直角三角形问题，往往通过图形的高或作一边上的高，构造直角三角形. 一般情况下是从非特殊角的顶点作高，这样有利于计算． 12 例题讲解 例2 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长 （精确到0.1）. H 通过作等腰三角形的高，将等腰三角形转化为直角三角形，借助解直角三角形来解决问题． D E A B C O 13 例题讲解 例2 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长 （精确到0.1）. H 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝＝72°. 过点O作OH⊥AB，垂足为H. 在Rt△AHO中， ∵∠AHO＝90°，∠AOH＝∠AOB＝36°，OA＝10， ∴AH＝OA∙sin36°. ∴正五边形ABCDE的边长AB＝2AH＝2×10×sin36°≈11.8. D E A B C O 14 归纳总结 对于正n边形问题，往往作出这个正n边形的外接圆半径和内切圆半径，使得问题化归到直角三角形中，且这个三角形两边(外接圆半径和内切圆半径)的夹角为度，再运用条件解决问题. 15 新知巩固 1. ▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求▱ABCD的面积． A B C D 6 60° 8 E 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E. 在Rt△ADE中， ∵∠AED＝90°，∠A＝60°，AD＝6， ∴DE＝AD∙sinA＝6×sin60°＝. ∴S▱ABCD＝AB×DE＝8×＝24. 16 新知巩固 2. 如图，在菱形钢架ABCD中，AB＝2m，∠BAD＝72°，焊接这个钢架约需多长的钢材（精确到0.1m）? 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， OA＝OC，OB＝OD， ∠BAO＝∠BAD＝36°， ∴OB＝AB· sin 36°，OA＝AB· cos 36°. ∴焊接这个钢架的长度 ＝4ABABsin 36°ABcos 36° ＝4×22×1.182×1.62≈13.6(m). 答：焊接这个钢架约需13.6m的钢材. O 17 新知巩固 3. 求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）． A B O H 解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB＝＝45°. 过点O作OH⊥AB，垂足为H. 在Rt△AHO中， ∵∠AHO＝90°，∠AOH＝∠AOB＝22.5°，OA＝12， ∴AH＝OA∙sin22.5°＝12sin22.5°. ∴正五边形ABCDE的边长AB ＝2AH＝2×12×sin22.5°≈9.2. C D E F G H 18 新知巩固 4．如图，已知在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝8，求△ABC的面积． D A B C 解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵，∴， ∴，∴， 解得：， ∴， ∴． 19 含特殊角的非直角三角形 能化为直角三角形的简单多边形问题 课堂总结 正n边形问题 1. 如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，若AB＝4 ，则AC的长为 (　　) A. 4　　　 B. 8　　 C. 4 　 D. 4 D 当堂检测 基础过关 B C B A 21 当堂检测 基础过关 D E A B C O 2. 如图，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r，则下列等式成立的是 (　　) A. a＝2rsin36° B. a＝2rcos36° C. a＝rsin36° D. a＝2rsin72° a r H A 22 当堂检测 基础过关 3. 如图，在△ABC中，sinB＝，∠C＝45°，AD＝1，则BC的长为 ______________. B C A D 23 当堂检测 基础过关 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是_______. 12 B C D A O α E 24 当堂检测 基础过关 5. 如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为________. A C B D O ● 2 2 60° 25 当堂检测 基础过关 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. 在Rt△ABD中，cosA＝. ∵cosA＝，AB＝5， ∴AD＝AB·cosA＝5×＝3， ∴BD＝＝4. ∵AC＝AB＝5， ∴CD＝2， ∴BC＝＝2. B C A D 6. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，cosA＝.求底边BC的长. 26 当堂检测 基础过关 A C B ● O H 解：∵△ABC是正三角形， ∴∠BOC＝＝120°. 过点O作OH⊥BC，垂足为H. 在Rt△BOH中， ∵∠BHO＝90°，∠BOH＝∠BOC=60°，OB＝20， ∴BH＝OB∙sin60°，OH＝OB∙cos60°. ∴△ABC的边长BC＝2BH＝2×20×sin60°≈34.6. S△ABC＝3××BC×OH＝×40×sin60°×20cos60°＝519.6. 7. 求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（精确到0.1）. 27 当堂检测 能力提升 1. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4， sinB＝，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 C B C D A E 28 D 当堂检测 能力提升 2. 在△ABC中，AB＝2， AC＝3，∠B＝60°，则BC的长为(　　) A. B. C. D. 1 B C A D 29 当堂检测 能力提升 3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB＝，则线段DB的长度为________. C B A D E 30 当堂检测 能力提升 4．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则的值为_____________． 31 当堂检测 能力提升 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD:AC＝1:3，求tan∠CAD的值. D B C A E 解：如图，过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE＝∠B. ∵sinB＝，∴sin∠DCE＝＝. 不妨设DE＝4x，则CD＝5x， ∴CE＝＝3x. ∵CD:AC＝1:3，∴AC＝3CD＝15x， ∴AE＝AC＋CE＝18x， ∴tan∠CAD＝＝＝. 32 当堂检测 能力提升 6．把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长． O O O B A D B A D B A D 33 当堂检测 能力提升 A B O O O B D A D B A D 解：如图，外切正三角形时，∠AOD＝360°÷6＝60°， 所以，AD＝OD•tan60°＝R•R， 所以，外切正三角形边长AB＝2AD＝2R； 34 当堂检测 能力提升 A B O O O B D A D B A D 外切正方形时，∠AOD＝360°÷8＝45°， 所以，△AOD是等腰直角三角形， 所以，AD＝OD， 外切正方形的边长AB＝2AD＝2R； 35 当堂检测 能力提升 A B O O O B D A D B A D 外切六边形时，∠AOD＝360°÷12＝30°， 所以，AD＝OD•tan30°＝R， 所以，外切六边形的边长AB＝2AD＝R． 36 2021 Blues 4800.0 $$