7.5 解直角三角形（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.5 解直角三角形（1） 第1课时　解直角三角形 学习目标 1. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系； 2.能根据直角三角形中除直角以外的两个元素(至少有一个是边)，解直角三角形. 2 问题情境 在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 这些元素之间有什么关系? 知识回顾 在Rt△ABC中，除直角外，还有a、b、c、∠A、∠B这5个元素. 这5个元素之间有以下数量关系： (2) 锐角之间的关系: (1)三边之间关系: (3) 边角之间的关系: a2＋b2＝c2 sinA＝， cosA＝， tanA＝. sinB＝， cosB＝， tanB＝. A C B c b a ∠A＋∠B＝90° 4 直角三角形的2个锐角和3条边共5个元素中，需要知道哪几个元素的值，你就能确定其余的未知元素的值？ 思考与探索 A C B c b a 5 (1)已知一个锐角或一条边，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 思考与探索 A C B c b a 在Rt△ABC中， 不能 不能 (2)已知两个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 6 (3)已知两条边，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 思考与探索 A C B c b a 在Rt△ABC中， 能 能 (4)已知一个锐角和一条边，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 7 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 概念讲解 A C B c b a 8 概念讲解 ①已知一锐角、一边 (一锐角、一直角边或一斜边 )； ②已知两边 (一直角边，一斜边或者两条直角边 ). 解直角三角形的条件可分为两大类： 9 例题讲解 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ ∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. ∵ sinA＝， ∴ c＝＝＝10. ∵ tanB＝， ∴ b＝a ∙ tanB＝5 ∙ tan60°＝5. 还可以利用勾股定理计算， b＝＝. 10 例题讲解 变式 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A C B 20 35° 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， ∴ ∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°. ∵ tanB＝， ∴ a＝＝≈28.6. ∵ sinB＝， ∴ c＝＝≈34.9. 11 归纳总结 已知一边和一锐角解直角三角形的步骤： 若已知一直角边 (对边) a和一锐角A： ① ∠B＝90°－∠A；②c＝；③b＝ . 若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠B＝90°－∠ A；②a＝c·sin A ; ③b＝c·cos A. A C B c b a 12 例题讲解 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49 . (1)求c的值 （精确到0.01）； 解：(1)在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得 c＝＝， 用计算器计算，得c≈106. 00 . 13 例题讲解 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49 . (2)求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）. 解：(2) 由题意知，tanA＝＝， 用计算器计算，得∠A≈78. 85°， ∴∠B＝90°－78. 85°＝11.15° . 14 新知巩固 变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°， b＝ ， c＝4. 解这个直角三角形. 解：在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得 a＝＝＝2， ∵ cosA＝＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－30°＝60°. 15 归纳总结 已知两边解直角三角形的步骤： 已知两直角边： 1. 应用勾股定理求斜边； 2. 应用角的正切值求出一锐角； 3. 利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角． 16 归纳总结 已知两边解直角三角形的步骤： 已知斜边和直角边： 1.利用勾股定理求出另一直角边； 2.应用角的正弦或余弦值，即可求出一锐角； 3.利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角． 17 归纳总结 解直角三角形时，选择关系式的原则： ①尽量选可以直接应用原始数据的关系式； ②设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算． 18 新知巩固 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1) 已知AB＝4，∠B＝25°，求BC、AC (精确到0.1)； 解：∵ sinB＝， ∴ AC＝AB∙sinB＝4sin25°≈1.7 . ∵ cosB＝， ∴ BC＝AB∙cosB＝4cos25°≈3.6. 19 新知巩固 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (2) 已知AB＝5，BC＝4.2，求∠A (精确到0.1°). A C B 5 4.2 解：∵sinA＝＝＝0.84， 用计算器计算，得∠A≈57. 1°. 20 新知巩固 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）： (1) a＝9 ， b＝6； 解：(1)在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得 c＝＝， 用计算器计算，得c≈10. 8 . ∵tanA＝＝， 用计算器计算，得∠A≈56. 3°， ∴∠B＝90°－56. 3°＝33.7° . 21 新知巩固 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）： (2) ∠A＝18°，c＝13． 解：(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝18°， ∴ ∠B＝90°－∠A＝90°－18°＝72°. ∵ sinA＝， ∴ a＝c ∙ sinA＝13sin18°≈4.0 . ∵cosA＝， ∴ b＝c ∙ cosA＝13cos18°≈12.4. 22 例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形. (1) tanA＝，c＝20. (参考数据：tan37°≈0.75) 拓展与提升 解：(1) ∵tanA＝，∴∠A≈37°，∴∠B≈53°. 设a＝3k，b＝4k，则(3k)2＋(4k)2＝202， 解得k＝4(负值舍去)， ∴a＝3k＝3×4＝12，b＝4k＝4×4＝16. 23 例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形. (2) ∠A－∠B＝30°，a－b＝－2. 拓展与提升 解：(2) ∵∠A－∠B＝30°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠A＝60°，∠B＝30°. ∵tanA＝， ∴a＝btanA＝btan60°＝b， ∵a－b＝－2， ∴b－b＝－2， ∴a＝，b＝2， ∴c＝＝＝4. 24 解直角三角形的概念 解直角三角形的类型 课堂总结 解直角三角形的依据 1. 满足下列条件的直角三角形不能求解的是 (　　) A. 已知一条直角边和一个锐角                   B. 已知斜边和一个锐角 C. 已知两边   D. 已知两个锐角 当堂检测 基础过关 D 26 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，当已知∠A和a，求c时，应选择的关系式是 (　　) A. c＝                    B. c＝　   C. c＝atanA　                 D. 以上都不是 当堂检测 基础过关 B 27 当堂检测 基础过关 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，AC＝3，则BD的长度为 (　 　) A. 2         B. 3         C. 3         D. 2 D A C B D 28 6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，则∠B＝_____. 当堂检测 基础过关 60° 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝____. 4 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝  ，则AB＝_____. 17 29 当堂检测 基础过关 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，请根据下列条件解直角三角形： (1) a＝10，∠A＝45°; (2) a＝5，b＝5； (3) a＝2，c＝7(角度精确到1'). 解：(1)∠B＝45°，b＝10，c＝10. (2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝10. (3)∠A≈44°25'，∠B≈45°35'，b＝5. 30 当堂检测 基础过关 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝，CD⊥AB于点D，求CD的长. 解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝， ∴BC＝AB·cosB＝10×＝8. 由勾股定理得AC＝6. ∵CD⊥AB， ∴AC·BC＝CD·AB， ∴CD＝＝＝. A C B D 31 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD＝(　　) A. 2         B. 3         C. 3         D. 2 当堂检测 能力提升 A C B A D 32 当堂检测 能力提升 2. 已知矩形两个邻边的长分别是4和4，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为 (　　) A. 30°          B. 60°         C. 45°         D. 以上都不对 B 33 当堂检测 能力提升 3. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cosB＝ ，则 AC 的长为______. C B A 3 D 34 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E.如果BC＝8，tanA＝，那么BD＝________. 当堂检测 能力提升 E D C B A 35 当堂检测 能力提升 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形： (1)∠B＝30°，a－b＝3－3； 解：(1)在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°， ∵tanA＝，∴a＝b·tanA＝b·tan60°＝b. ∵a－b＝3－3， ∴b－b＝3－3，解得b＝3， ∴a＝3，c＝2b=6.　 36 当堂检测 能力提升 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形： (2)a＋c＝12，∠B＝60°. 解：(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. ∵sinA＝，∴a＝c·sin30°＝c. ∵a＋c＝12，∴c＋c＝12，解得c＝8， ∴a＝c＝4，∴b＝＝＝4. 37 当堂检测 能力提升 (1)若∠A＝60°，求BC的长；(结果保留根号) 6.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. 解：(1) ∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝， ∴∠E＝30°，BE＝6·tan60°＝6. 又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°， ∴CE＝＝8， ∴BC＝BE－CE＝6－8. E A C B D 38 当堂检测 能力提升 (2)若sinA＝，求AD的长． 6.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. E A C B D 解：(2) ∵∠ABC＝90°，AB＝6，sinA＝＝， ∴设BE＝4x，则AE＝5x，由勾股定理，得AB＝3x， ∴3x＝6，解得x＝2， ∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE＝＝＝＝. 解得DE＝， ∴AD＝AE－DE＝10－＝， 即AD的长是. 39 2021 Blues 4800.0 $$