精品解析：湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷

2024年下学期期末质量监测试卷 高二数学 （时量：120分钟总分：150分考试形式：闭卷） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，若，则或或 B. 若空间中点满足，则三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 已知向量，若，则为钝角 10. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 11. 已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B. 为的极小值点 C. 的极大值为4 D. 满足的解集是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则__________. 13. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 14. 已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. （1）顶点在原点，准线是的抛物线方程； （2）两个焦点的坐标分别是和，且经过点的椭圆方程； （3）离心率，经过点的双曲线方程. 16. 已知圆：，直线 : ． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系 （3）直线被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 17. 如图，正四棱柱中，，点在上且. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数其中 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于恒成立，求的最大值. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末质量监测试卷 高二数学 （时量：120分钟总分：150分考试形式：闭卷） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简双曲线的方程为，即得解. 【详解】由题得双曲线的方程为， 所以 所以渐近线方程为. 故选：D 3. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 4. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 6. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造新数列，可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列通项公式即可. 【详解】由于，两边同时加上，得到. 因为，所以，可知数列是等比数列，首项为3，且公比为. 等比数列的通项. 故选： C. 7. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，借助向量垂直的坐标表示求出切线方程，进而求出直线，并求出横纵截距，再求出离心率. 【详解】设，则， 令坐标原点为，由切圆于， 得，则，于是， 同理，因此直线的方程为， 则，即， 所以椭圆离心率. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，若，则或或 B. 若空间中点满足，则三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 已知向量，若，则为钝角 【答案】AB 【解析】 【分析】由，则或或，从而可判断A； 根据，可得，从而可判断B； 根据空间向量数量积的定义即可判断C； 根据为钝角，求出x的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则或或，即或或，故A正确； 对于B，因为，则，即，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确； 对于C，，是与共线得向量， ，是与共线得向量， 而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误； 对于D，，若，则， 当时，则存在唯一实数，使得，即， 所以，解得， 所以当，且时，为钝角，故D错误. 故选：AB. 10. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，得到，，，即可判断A、B、D，再根据的符号即可判断C. 【详解】由题意，，则，， 又是等差数列，所以，故A正确； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 11. 已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B. 为的极小值点 C. 的极大值为4 D. 满足的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，是的两个零点可得，，进而结合即可求得的值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数的图象可判断D. 【详解】因为，是的两个零点， 则，即，， 则， 所以， 即， 解得，则，即. 对于A，，故A错误； 对于B，由， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则为的极小值点，故B正确； 对于C，当时，函数取得极大值，故C正确； 对于D，由于，画出函数的图象，如图， 满足的解集是，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的两项求公比，在通过和求出的值. 【详解】，∴，∵，∴， 故答案为： 13. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为， 因为在上的投影向量为：， 又因为，， 所以，， 所以， 所以在上的投影向量为：. 故答案为： 14. 已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空，注意到，然后分，，三种情况结合零点存在性定理可得答案； 第二空，令，则，然后由导数知识可得答案. 【详解】由题，因，则. 则在是增函数，是减函数，所以. 因为，当时，，且只有一个零点，符合题意； 若，则， 构造函数，则在上递增， 又，则 结合，则，使得，与已知矛盾； 若，则， 构造函数，则. 构造函数，则. , 则在是增函数，是减函数， 则，得在上递减， 则.又，所以，使得，与已知矛盾； 综上可知，． ，当时，成立， 当时，由第一空分析可知，，设， 则. 设，则. . 得在是增函数，在是减函数， 故，所以，即实数的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：对于零点相关问题，可由数形结合思想将问题转化为研究直线与函数图象交点， 也可以利用零点存在性定理分析；对于恒成立问题，常分离参数后，转化为求相关函数的最值 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. （1）顶点在原点，准线是的抛物线方程； （2）两个焦点的坐标分别是和，且经过点的椭圆方程； （3）离心率，经过点的双曲线方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断抛物线开口向左，根据准线方程求出，即可求得抛物线方程； （2）根据两个焦点的坐标以及椭圆经过点求出，即可求出椭圆的方程； （3）根据双曲线离心率可得，设出双曲线方程，把点代入即可求出双曲线的方程 【小问1详解】 因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且. 所以抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 因为椭圆的焦点在轴上， 所以可设它的标准方程为：. 又椭圆过点得：，又， 所以. 故所求椭圆的标准方程为： 【小问3详解】 由， 又，所以. 设双曲线方程为：， 把点代入，得： . 所求双曲线的标准方程为： 16. 已知圆：，直线 : ． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系 （3）直线被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 【答案】（1） 依题意将直线的方程化为， 联立，解得， 故直线恒过定点． （2）相交 （3）当直线时,被截得弦长最短，此时，及最短弦长为． 【解析】 【分析】（1）将直线的方程化为，若过定点，则与m无关，即可得，求解可得定点坐标； （2）根据直线方程得到直线恒过，再求出，即可得到直线与圆必相交； （3）根据圆的性质可得，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）可得直线恒过定点， 又圆心为，半径为， 又， 则定点在圆内，所以直线与圆必相交． 【小问3详解】 设直线过圆交于点，，设圆心到直线的距离为， 显然当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 当直线不过圆心时，直线被圆截得的弦长为， 即当最长时，直线被圆截得的弦长最短， 又结合（2）可得定点在圆内，且， 若直线时，；若直线与不垂直时，， 所以当直线时，直线被圆截得的弦长最短，且， 此时直线，则，解得． 故当直线过圆心时，被截得弦长最长； 当直线时,被截得弦长最短，此时，及最短弦长为． 17. 如图，正四棱柱中，，点在上且. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系.依题设，，，，. ，，，. 因为， 故，. 又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，利用空间向量可得,，即可证明线面垂直； （2）利用空间向量可得，即可得线线夹角； （3）分别求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 则，所以异面直线与所成角为. 【小问3详解】 设向量是平面的法向量，则，. 故，令，则，所以. 所以， 设平面与平面所成角为，则. 18. 已知函数其中 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于恒成立，求的最大值. 【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；（3）. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，即可求得切线的方程； （2）当时，求得，令，得到，结合，再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间； （3）由题意得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，函数，可得， 令，则，所以函数在上单调递增， 又由， 则令，可得，所以函数在上单调递增， 令，可得，所以函数在上单调递减. 综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，得在上恒成立， 设，则， 由，解得，（其中）， 随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ 极小值 ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的最小值为. 由题意得，即 . 设，则. 因为当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 所以当，，即，时，有最大值为. 【点睛】 对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3） 【解析】 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【小问1详解】 由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $