第03讲 向量基本定理及坐标表示（7大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第03讲 向量基本定理及坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量共线定理证明点共线问题 4 题型02 已知向量共线（平行）求参数 5 题型03 用基底表示向量 6 题型04 利用平面向量基本定理求参数 7 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 8 题型06 由向量共线（平行）求参数 9 题型07 由向量线性运算结果求参数 10 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 13 知识点01平面向量的基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 知识点02向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 知识点03向量模的坐标表示 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 知识点04向量数量积运算的坐标表示 （1） 向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2； （2） 在上的投影向量为=. 知识点05向量平行的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 知识点06向量垂直的坐标表示 ⊥ ·＝0 x1x2＋y1y2＝0 [方法技巧] 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 知识点07向量夹角的坐标表示 夹角 cos θ＝ cos θ＝ [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos θ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 题型01平面向量共线定理证明点共线问题 【例1】（21-22高一·全国·课后作业）已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【变式1】（20-21高一上·广西百色·期末）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题） O、A、B是三个不同的点，若，则O、A、B的位置关系是 ；若，则O、A、B的位置关系是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 题型02 已知向量共线（平行）求参数 【例2】（24-25高一上·北京·期末）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对： ． 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）设、是两个不平行的非零向量，且，，求实数.的值. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）点在线段上，且，，，求实数、. 题型03 用基底表示向量 【例3】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量    【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，，，. (1)以、为一个基表示与； (2)以、为一个基表示与. 题型04 利用平面向量基本定理求参数 【例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知平面一组基底，实数x，y满足：，求x，y的值． 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 【例5】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量，，，若，则 . 【变式3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，． (1)求 (2)若，求实数的值． 题型06 由向量共线（平行）求参数 【例6】（21-22高一上·辽宁·期末）已知向量，且，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若向量，，且，则实数x的值为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 题型07 由向量线性运算结果求参数 【例7】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 【变式1】（2023高一·江苏·专题练习）如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    【变式2】（20-21高一上·北京房山·期末）已知，则与方向相同的单位向量的坐标为 ． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，，求的顶点的坐标． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 2．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·甘肃白银·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林·期末）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知向量，满足，则以下说法正确的是（    ） A．若，，则或 B．若，则 C．若，，则向量在向量上的投影数量为 D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 7．（22-23高一下·天津红桥·期末）已知平面向量，，若共线，则 . 8．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 9．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在中，满足，则 ． 四、解答题 10．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 11．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量． (1)证明：； (2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 12．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 13．（21-22高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的一组基底 C．，，若，则 D．，，则在方向上的投影向量为 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）对于任意的两个非零向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且与不共线，则与的夹角等于与的夹角 C． D．若，，则 三、填空题 7．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 8．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 四、解答题 9．（22-23高一下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． (1)若与夹角为，求； (2)若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 11．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. (1)若，，，求与的夹角. (2)若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 向量基本定理及坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量共线定理证明点共线问题 4 题型02 已知向量共线（平行）求参数 6 题型03 用基底表示向量 8 题型04 利用平面向量基本定理求参数 11 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 13 题型06 由向量共线（平行）求参数 16 题型07 由向量线性运算结果求参数 19 分层练习 21 夯实基础 21 能力提升 30 知识点01平面向量的基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 知识点02向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 知识点03向量模的坐标表示 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 知识点04向量数量积运算的坐标表示 （1） 向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2； （2） 在上的投影向量为=. 知识点05向量平行的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 知识点06向量垂直的坐标表示 ⊥ ·＝0 x1x2＋y1y2＝0 [方法技巧] 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 知识点07向量夹角的坐标表示 夹角 cos θ＝ cos θ＝ [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos θ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 题型01平面向量共线定理证明点共线问题 【例1】（21-22高一·全国·课后作业）已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解. 【详解】解：, 所以A，D，C三点共线. 故选:C. 【变式1】（20-21高一上·广西百色·期末）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【解析】利用三点共线再利用向量相等可得答案. 【详解】由点共线，得， 而，于是有， 即，. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题） O、A、B是三个不同的点，若，则O、A、B的位置关系是 ；若，则O、A、B的位置关系是 . 【答案】 三点共线 O为的中点 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由平面向量共线定理可得结论. 【详解】由，可得， 即，共线， 又为公共点，所以O、A、B三点共线； 由，可得，是一对相反向量, 所以O为的中点 故答案为：三点共线；O为的中点. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】向量减法的运算律、平面向量共线定理证明线平行问题、向量加法的运算律 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 题型02 已知向量共线（平行）求参数 【例2】（24-25高一上·北京·期末）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由共线向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 若点A，C，D共线，存在实数，使得， 即，所以， 故答案为：（答案不唯一） 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】借助向量线性运算可得、，再利用向量共线定理计算即可得. 【详解】， ， 由三点共线，则有，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）设、是两个不平行的非零向量，且，，求实数.的值. 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】转化为向量不共线可得答案. 【详解】根据题意， 若，中有一个不为零，即可得出，与已知矛盾， 所以，必须都为零， 即，解得. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）点在线段上，且，，，求实数、. 【答案】，. 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意画出图形，分析即可得解. 【详解】   和同向，且，则，； 和反向，且，则， 所以，. 题型03 用基底表示向量 【例3】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知：. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得. 【详解】因为， 所以，整理得. 故选：C 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量    【答案】 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】利用平面向量基本定理即可求得结果. 【详解】易知，显然； 可得； 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，，，. (1)以、为一个基表示与； (2)以、为一个基表示与. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】用基底表示向量 【分析】由图形及题意可得答案. 【详解】（1）∵，， ∴， 即，① ， 即.② （2）由（1），①②，得，∴. ②①得. 题型04 利用平面向量基本定理求参数 【例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，即，又， 所以，因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由向量共线定理、平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】由题意设，而、是两个不平行的向量， 从而，解得. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知平面一组基底，实数x，y满足：，求x，y的值． 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量基本定理可解. 【详解】平面向量基本定理可知 ，解得. 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解； （2）由、、三点共线，得到，列出方程，得出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为点是的中点，可得，所以， 又点是靠近点将分成的一个三等分点，所以， 所以. （2）解：因为、、三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得，， 所以， 因为不共线，则，解得 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 【例5】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、平面向量线性运算的坐标表示、平面向量基本定理的应用 【分析】以的内切圆心为原点建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示，结合三角函数性质求出最小值. 【详解】正的边长为2，则其内切圆半径， 以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， ， 而，因此， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，． 故选：B 【变式2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量，，，若，则 . 【答案】3 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量的线性坐标运算及向量相等即可列式求解. 【详解】因为向量，，，且， 所以，解得，，所以. 故答案为：3 【变式3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，． (1)求 (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为，，, 所以 （2），， 因为， 所以， 解得. 题型06 由向量共线（平行）求参数 【例6】（21-22高一上·辽宁·期末）已知向量，且，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且， 由可得，解得. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若向量，，且，则实数x的值为 ． 【答案】/ 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平行向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【知识点】由向量共线（平行）求参数、用坐标表示平面向量 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标. 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 题型07 由向量线性运算结果求参数 【例7】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题意得，设点，结合已知即可列方程组求解. 【详解】因为点P在的延长线上，使， 所以，设点， 而， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】（2023高一·江苏·专题练习）如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    【答案】/0.8 【知识点】由向量线性运算结果求参数、利用平面向量基本定理求参数、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，确定向量的坐标，根据向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】以，交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示：则，，，    因为，所以，， 故答案为： 【变式2】（20-21高一上·北京房山·期末）已知，则与方向相同的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【解析】由条件设与方向相同的单位向量坐标为，再由条件列式求解. 【详解】设与方向相同的单位向量坐标为， 则，解得 或 因为与的方向相同，所以， 与同方向的单位向量是. 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，，求的顶点的坐标． 【答案】 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题、由向量线性运算结果求参数 【分析】设，根据得到方程组，解得即可. 【详解】设，因为，，， 所以，， 在中，，则，解得，即 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】D 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 因为三点共线，故， 即，解得. 故选：D 2．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解. 【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以. 设，又，所以，即解得 即点的坐标为. 故选：A. 3．（22-23高一下·甘肃白银·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合平面向量共线的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解． 【详解】， 则，解得， 故， ． 故选：A． 4．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林·期末）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若，则，解得，故B正确； 对C，若，则，则，故C错误； 对D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：BD. 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知向量，满足，则以下说法正确的是（    ） A．若，，则或 B．若，则 C．若，，则向量在向量上的投影数量为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A选项，计算出，根据向量垂直得到方程，求出或，A正确；B选项，两边平方，求出；C选项，根据垂直关系得到，从而根据投影向量的模长公式求出C正确；D选项，在C选项基础上，根据投影向量的公式进行求解. 【详解】A选项，， 因为，所以， 解得或，A正确； B选项，两边平方得，， 因为，所以， 故，则，B正确； C选项，因为，所以， ，故， 则向量在向量上的投影数量为，C错误； D选项，由C选项知，， 向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（22-23高一下·天津红桥·期末）已知平面向量，，若共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】共线，，解得：. 故答案为：. 8．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在中，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到以为原点，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在中，由，可得， 所以为直角三角形， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得； （3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为，， 所以， ， 因为与共线， 则，解得或， 当时，，，则， 此时与方向相同，不符题意； 当时，，，则， 此时与方向相反，符合题意； 综上可得． 11．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量． (1)证明：； (2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)且 【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明； （2）转化为，且不平行. 【详解】（1）根据题意，， 则，所以； （2）与的夹角为钝角，， 则， 解得， 若向量，则，得，经验证满足同向共线， 所以且. 12．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由可得，， 即，               所以， 所以； （2）因为，                 所以． 13．（21-22高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线的判定定理结合平面向量基本定理逐项分析判断. 【详解】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量， 且，， 对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以A、B、C三点不共线，故A错误； 对于选项B：因为， 若A、C、D三点共线，则，其中， 则则，方程组无解， 所以A、C、D三点不共线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以A、B、D三点共线，故C正确； 对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以B、C、D三点不共线，故D错误； 故选：C. 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为平面向量，，则， 所以向量在方向上的投影向量的坐标为： ， 故选：D. 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 故选：A. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算. 【详解】根据题意，取中点，因为，所以， 以为轴建立直角坐标系，则， 设，， 则， 则 因为，则, 的，则， 且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积. 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的一组基底 C．，，若，则 D．，，则在方向上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据向量共线的坐标表示分析可知不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：例如，可知，， 但不共线，故A错误； 对于选项B：因为，可知不共线， 所以可作为平面向量的一组基底，故B正确； 对于选项C：若，则，解得，故C错误； 对于选项D：若，，则， 所以在方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）对于任意的两个非零向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且与不共线，则与的夹角等于与的夹角 C． D．若，，则 【答案】ABC 【分析】利用向量垂直的数量积可得，即A正确，由向量夹角公式代入计算可得B正确，根据向量的三角不等式可得C正确，由向量的坐标表示以及模长公式可得D错误. 【详解】对于A，若可得，所以， ，因此可得，即A正确； 对于B，易知与的夹角为， 与的夹角为， 又因为且与不共线，所以，即B正确； 对于C，由向量的三角不等式可得， 当与同向时满足，因此可得，即C正确； 对于D，由，可得，所以，即D错误. 故选：ABC 三、填空题 7．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 【答案】12 【分析】先建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再进行数量积运算，由算式判断最大值. 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，， 设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号. 所以的最大值为12. 故答案为：12. 8．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高一下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． (1)若与夹角为，求； (2)若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用坐标表示向量，进而求出. （2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐标表示，列式求出值. 【详解】（1）依题意，，，则， ，， 所以. （2）由（1）知，，， 由向量与垂直，得， 则，解得 所以实数的值为. 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 11．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. (1)若，，，求与的夹角. (2)若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】(1) (2)①   ②四边形为梯形，理由见解析 【分析】（1）展开求出，求出； （2）①求出，证明，求出与夹角余弦值； ②求出和的关系，证明，判断四边形的形状. 【详解】（1），， 即，则，； （2）①，， ， ，，与夹角余弦值为； ②， ，且， 四边形为梯形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$