第02讲向量运算（8大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第02讲向量运算 目录 题型归纳 1 题型01 向量的加法运算 4 题型02 向量的减法运算 5 题型03 向量数乘的有关计算 6 题型04 向量的线性运算的几何应用 6 题型05 平面向量数量积的几何意义 8 题型06 用定义求向量的数量积 9 题型07 已知数量积求模 10 题型08 向量夹角的计算 10 题型09 垂直关系的向量表示 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 15 知识点01向量的加法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．　　 知识点02向量的减法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量－的和的运算 －＝＋(－) 知识点03向量的数乘运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 |λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝(λ μ) ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 知识点04求向量的数量积 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0. (2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1) ·＝· (交换律)． (2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)． (3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)． [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 知识点05利用向量的数量积求模 几何表示 模 ||＝ 知识点06利用向量的数量积求夹角 几何表示 夹角 cos θ＝ 知识点07向量垂直与向量的数量积关系 知识点08投影向量 在上的投影向量为：. 题型01向量的加法运算 【例1】（20-21高一上·青海海东·期末）已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·北京西城·期末）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）在平行四边形ABCD中， ． 【变式3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：． 题型02 向量的减法运算 【例2】（22-23高一上·北京房山·期末）在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一·江苏·课后作业）已知是平面上一点，，且四边形为平行四边形，则(    ) A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   题型03 向量数乘的有关计算 【例3】（20-21高一上·四川南充·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量与不共线，求作向量．    题型04 向量的线性运算的几何应用 【例4】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·上海嘉定·阶段练习）已知△ABC中，点D在边BC上，且，设，，那么等于 （结果用、表示） 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，D为上的点，且，E为上的点，且，若，，试用与的线性组合表示. 题型05 平面向量数量积的几何意义 【例5】（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）若，且，是否能推出? 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    题型06 用定义求向量的数量积 【例6】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（21-22高一·全国）已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，夹角，求. （1），，， ； （2），，， . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 题型07 已知数量积求模 【例7】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【变式1】（20-21高一·上海·课后作业）已知向量，的夹角为，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则 ； ； . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，向量在向量方向上投影的数量等于，求的最小值. 题型08 向量夹角的计算 【例8】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【变式1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 . 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，，求与的夹角． 题型09 垂直关系的向量表示 【例9】（24-25高一上·北京·期末）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（20-21高一上·湖南长沙·期末）已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 【变式3】（20-21高一上·陕西安康·期末）已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求的值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·北京·期末）向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高一上·陕西西安·期末）若两个非零向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 二、多选题 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（21-22高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知平面向量，满足，，若，则 ． 8．（22-23高一上·北京昌平·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 . 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)． 10．（21-22高一上·上海崇明·期末）已知，，． (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 11．（20-21高一上·广西·期末）已知向量的夹角为，且. （1）求； （2）若，求的值. 12．（20-21高一·全国·课后作业）已知向量． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与夹角的大小． 13．（20-21高一·浙江·期末）已知单位向量的夹角为． （I）若与垂直，求的值； （Ⅱ）若向量满足，求的最大值． 【能力提升】 一、单选题 1．（2022高一·全国·专题练习）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 3．（22-23高一上·北京西城·期末）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（20-21高一上·新疆喀什·期末）如图，向量（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高一上·湖南长沙·期末）下列命题中正确的是（    ） A．两个非零向量，，若，则与共线且反向 B．已知，且，则 C．若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D．若 .则△ABC为钝角三角形 6．（23-24高一上·吉林长春·期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为、垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，E为边的中点，，若，则 . 8．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 四、解答题 9．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在中，，，点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，试用，表示.    10．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量满足与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 13．（22-23高一·全国·随堂练习）（1）如果，能否推出？为什么？ （2）判断是否成立？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲向量运算 目录 题型归纳 1 题型01 向量的加法运算 4 题型02 向量的减法运算 6 题型03 向量数乘的有关计算 9 题型04 向量的线性运算的几何应用 11 题型05 平面向量数量积的几何意义 14 题型06 用定义求向量的数量积 16 题型07 已知数量积求模 18 题型08 向量夹角的计算 20 题型09 垂直关系的向量表示 22 分层练习 25 夯实基础 25 能力提升 32 知识点01向量的加法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．　　 知识点02向量的减法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量－的和的运算 －＝＋(－) 知识点03向量的数乘运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 |λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝(λ μ) ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 知识点04求向量的数量积 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0. (2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1) ·＝· (交换律)． (2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)． (3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)． [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 知识点05利用向量的数量积求模 几何表示 模 ||＝ 知识点06利用向量的数量积求夹角 几何表示 夹角 cos θ＝ 知识点07向量垂直与向量的数量积关系 知识点08投影向量 在上的投影向量为：. 题型01向量的加法运算 【例1】（20-21高一上·青海海东·期末）已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律 【解析】结合向量的线性运算即可. 【详解】由平面向量的线性运算可知， ， 故选：C． 【变式1】（20-21高一上·北京西城·期末）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则 【解析】根据向量的线性运算可得正确的选项. 【详解】 因为四边形为平行四边形，故， 故， 故选：B. 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）在平行四边形ABCD中， ． 【答案】/ 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】先用平行四边形法则，再用三角形法则． 【详解】平行四边形ABCD中，. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：． 【答案】证明过程见详解 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】把运用不同的加法表示出来，，，这两个式子相加即可证明题设． 【详解】,① ,② ∴①+②,得. ∵M,N分别是AB,CD的中点, , . 题型02 向量的减法运算 【例2】（22-23高一上·北京房山·期末）在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可. 【详解】解：因为中，D为BC的中点, 所以，， 故选：B 【变式1】（21-22高一·江苏·课后作业）已知是平面上一点，，且四边形为平行四边形，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】根据在平行四边形ABCD中，有和向量的加减法即可计算. 【详解】易知， 而在平行四边形中有， ∴，即，也即. 故选：B. 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】由于，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当三点共线时取等号，可得答案. 【详解】由已知， 又 当反向，取到最大值，当同向，取到最小值 故答案为：. 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量. 【详解】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （2）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （3）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （4）解：作，，则，即即为所求作的向量.    题型03 向量数乘的有关计算 【例3】（20-21高一上·四川南充·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则 【解析】利用平面向量坐标公式求解即可． 【详解】， 故选：A 【变式1】（21-22高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量数乘的有关计算 【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果. 【详解】当时，显然成立， 当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【知识点】向量数乘的有关计算、零向量与单位向量 【分析】先写出的单位向量，再由和反向可得. 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量与不共线，求作向量．    【答案】答案见解析 【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则 【分析】画出，从而利用向量减法法则画出. 【详解】如图所示，，，故即为.      题型04 向量的线性运算的几何应用 【例4】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则 【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 【变式1】（21-22高一上·上海嘉定·阶段练习）已知△ABC中，点D在边BC上，且，设，，那么等于 （结果用、表示） 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据以及进行线性运算，由此可求得的表示. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 【答案】答案见解析 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据平行四边形定则与三角形定则直接作图即可. 【详解】如图所示， 根据平行四边形定则分别作平行四边形，即可得解. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，D为上的点，且，E为上的点，且，若，，试用与的线性组合表示. 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】利用与线性组合表示出，根据即可求解. 【详解】根据题意得， 所以， 所以， 所以， 所以.    故答案为:. 题型05 平面向量数量积的几何意义 【例5】（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的模、平面向量数量积的几何意义 【解析】根据投影的定义可得关于夹角余弦的关系式，从而可得两个向量的夹角为直角，故可计算. 【详解】设两个向量的夹角为，则，从而， 因为，故，所以． 故选：A． 【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）若，且，是否能推出? 【答案】答案见解析 【知识点】平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的定义及辨析 【详解】在实数中，若，且，则； 但是在数量积中，若，且，不能推出. 因为其中有可能垂直于. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 【答案】(1)20 (2) (3) 【知识点】平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）由数量积的定义，代入计算，即可求解； （2）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； （3）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）. （3）. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【答案】. 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量加法法则的几何应用 【分析】连接，求出、与的夹角可得答案. 【详解】连接，由得O为的重心， A、B、C三点均匀分布在圆周上，为正三角形， 所以，， 所以在方向上的数量投影为. 题型06 用定义求向量的数量积 【例6】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由向量的数量积计算出结果. 【详解】 故选：C 【变式1】（21-22高一·全国）已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案. 【详解】， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，夹角，求. （1），，， ； （2），，， . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积公式直接可得解. 【详解】（1），，，； （2），，，； 故答案为：，. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 【答案】-3 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】由平面向量的数量投影公式求解． 【详解】如图，在中，，，， 所以，所以， 因为D是的中点， 所以， 由，得， ∴与的夹角为， ∴. 题型07 已知数量积求模 【例7】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助向量数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【变式1】（20-21高一·上海·课后作业）已知向量，的夹角为，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】由数量积的定义先计算的值，再开方即可求解. 【详解】 ， 所以， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则 ； ； . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】根据条件，利用数量积的运算律和模长的计算公式，即可求出结果. 因为，，，则， 得到， 又，得到， 又， 故答案：；；. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，向量在向量方向上投影的数量等于，求的最小值. 【答案】 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的几何意义，及向量的三角形式不等式可得最值. 【详解】：由向量在向量方向上的投影的数量等于，      如图，为满足条件的的模长最小时，为， 所以当向量与反向时可使取到最小值为. 题型08 向量夹角的计算 【例8】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据“”与“存在实数，使得”的互相推出情况判断属于何种条件. 【详解】当时，则，所以， 所以，所以，所以，所以同向，所以； 当“存在实数，使得且为非零向量” 成立时，此时共线， 又因为，不妨取，所以，此时不成立； 所以“”是“存在实数，使得”成立的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量数量积公式可得夹角. 【详解】由，， 则， 解得， 又，所以， 故答案为：. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，，求与的夹角． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据已知模长、数量积，应用向量夹角公式求夹角即可. 【详解】由，而， 所以. 题型09 垂直关系的向量表示 【例9】（24-25高一上·北京·期末）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、垂直关系的向量表示 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式1】（20-21高一上·湖南长沙·期末）已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量的减法及数乘运算表示出，由向量的数量积运算法则化简转化为关于的表达式，再利用直角三角形性质求出即可得解. 【详解】由题意可知， , ， 由点是斜边的中点，可知 故选：C 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 【答案】/-0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直， 故，即， 故，解得， 故答案为： 【变式3】（20-21高一上·陕西安康·期末）已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角. （2）利用平方的方法求得的值. 【详解】（1）设向量与的夹角为， 由于，所以. 所以，由于，所以. （2）. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·北京·期末）向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得. 【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立， 当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立， 故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（21-22高一上·陕西西安·期末）若两个非零向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律得到，即可得解； 【详解】解：因为， 所以，即， 即，所以，即与的夹角为； 故选：C 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得，所以 ， 故， 故选：D 4．（21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合向量的加法，减法以及运算律计算即可. 【详解】由向量加法运算律知，ABD选项正确;，所以选项C错误. 故选：ABD. 6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算性质求解. 【详解】对A：由可得，而，故A说法正确； 对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误； 对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误； 对D：，故，故D说法错误. 故选：BCD 三、填空题 7．（21-22高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知平面向量，满足，，若，则 ． 【答案】2 【分析】利用模长公式，数量积的定义及运算法则即求. 【详解】由题知，，，， 则， 代值运算得：，解得或（舍去）， 故． 故答案为：2． 8．（22-23高一上·北京昌平·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 . 【答案】 【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得结果. 【详解】由图知：，则， 又，则. 故答案为： 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法则得到答案. （2）直接利用向量的加减法则得到答案. 【详解】（1） （2）. 10．（21-22高一上·上海崇明·期末）已知，，． (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的运算性质即可得出； （2）根据垂直得数量积为零建立方程可求解. 【详解】（1）由，所以， 又因为，，代入解得， 则， 因为夹角，所以与的夹角； （2）若，则， 解得. 11．（20-21高一上·广西·期末）已知向量的夹角为，且. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由由向量的数量的定义结合条件可得答案. （2）由条件可得，从而可得答案. 【详解】解：（1）因为向量的夹角为，且，所以， 所以 ， 所以. （2）因为，所以， 则， 解得. 12．（20-21高一·全国·课后作业）已知向量． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与夹角的大小． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得； （Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）因为，所以， 由，可得， 即，解得，即， 所以； （Ⅱ）依题意， 可得，即， 所以， 因为， 所以与的夹角大小是． 13．（20-21高一·浙江·期末）已知单位向量的夹角为． （I）若与垂直，求的值； （Ⅱ）若向量满足，求的最大值． 【答案】（I）；（Ⅱ） 【分析】（I）由已知可得，计算可得的值； （Ⅱ）设，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用坐标得出的轨迹，利用几何意义可得的最大值． 【详解】（I）与垂直，则，化简得，即， 解得 （Ⅱ）设，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图 则，设 由，可得 化简得，即的轨迹为以为圆心，为半径的圆 则的最大值为 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标表示，解决本题的关键点是由已知条件，得出的轨迹为圆，利用圆的性质求出最大值，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题． 【能力提升】 一、单选题 1．（2022高一·全国·专题练习）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意建立平面直角坐标系， 设点，，设向量与的夹角为，利用坐标法，由取得最小值时得到，从而得解. 【详解】解：以所在的直线为轴，以为原点，建立平面直角坐标系，    则，，，设点，， 设向量与的夹角为，， 可得 ， 故当时，的最小值为， 此时，，， 则， ， 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 3．（22-23高一上·北京西城·期末）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若，则，但此时不存在，使得， 故不存在，使得，故前者无法推出后者， 若存在，使得，则共线且同方向， 此时，故后者可以推出前者， 故“”是“存在,使得的必要不充分条件”， 故选：B. 4．（20-21高一上·新疆喀什·期末）如图，向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量减法的运算法则及平面向量基本定理计算可得． 【详解】由图可知，，    所以． 故选：C. 二、多选题 5．（21-22高一上·湖南长沙·期末）下列命题中正确的是（    ） A．两个非零向量，，若，则与共线且反向 B．已知，且，则 C．若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D．若 .则△ABC为钝角三角形 【答案】AD 【分析】利用平面向量的数量积，线性运算，坐标运算逐个选项求解即可. 【详解】利用，可得与共线且反向，判断A；，时，（）.可判断B；∠ABC为锐角，则，与不共线，得，即，可判断C；由，得（），可得.可判断D． 【解答】对于A：若两个非零向量，，满足，则与共线且反向，故A正确； 对于B：由，得（），已知，时，（）， 故，时满足.故B错误. 对于C：，， 由于∠ABC为锐角，则，解得， 与不共线，得，即，故C错误； 对于D：由 .得（）， ∴ ，∴，， ∴，∵，∴ ，∴△ABC为钝角三角形，故D正确． 故选：AD． 6．（23-24高一上·吉林长春·期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为、垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设是中点，由为垂心，得，判断A，利用，，计算数量积可判断B；根据数量积的几何意义判断C;由重心性质得，然后由向量的线性运算判断D． 【详解】对于选项A：因为为垂心，则，所以，A正确； 对于选项B：设是中点，则共线，， 则， 所以，故B正确； 对于选项C：设是中点，则， 可知在方向上的投影数量为， 所以，故C错误； 对于选项D：由得，所以， 所以，即，故D正确 故选：ABD． 三、填空题 7．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，E为边的中点，，若，则 . 【答案】/0.125 【分析】将和利用线性运算表示成和，运用数量积运算即可得到答案 【详解】∵，∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为： 8．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【答案】/-0.75 【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值. 【详解】由题菱形边长为2， 则，，所以， 又因为， 所以， 所以， 令， 则， 所以， 则当时，取最小值为. 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在中，，，点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，试用，表示.    【答案】 【分析】结合图形根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，所以， 所以，所以. 10．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量满足与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为， 所以 ， 化为，解得. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【分析】取的中点D，的中点E，由向量关系可得为的中位线，再利用三角形面积关系求出面积比. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证； （2）利用数量积的运算律，结合，利用两向量数量积可得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）证明：， ∴. （2）∵， ∴，，即. ∵， ∴原式， 即，解得或. 13．（22-23高一·全国·随堂练习）（1）如果，能否推出？为什么？ （2）判断是否成立？为什么？ 【答案】（1）不能，理由见解析.（2）有可能成立，也有可能不成立，理由见解析. 【分析】（1）画出图形结合数量积以及相关的向量概念构造反例即可说明. （2）画出图形结合数量积以及相关的向量概念构造反例说明不一定成立，并通过分类讨论找出可能成立的充要条件即可求解. 【详解】（1）如图所示： 作，此时，但， 所以由，不能推出. （2）如图所示： 作，且不妨设， 所以，， 所以此时，即不一定成立； 接下来我们来找的充要条件： 1.若中有零向量，则成立； 2.若中没有零向量，设，即， 显然同时为0，或同时不为0， （1）若同时为0，即，由平面向量可知共线； （2）若同时不为0，则，则共线； 综上所述：若，可得中有零向量或共线. 若中没有零向量且不共线， 则不同时为0，则，不合题意； 综上所述：的充要条件为中有零向量或共线. 因此可能成立，也可能不成立，的充要条件为中有零向量或共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$