第01讲 向量概念（知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第01讲 向量概念 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的模 3 题型03 零向量与单位向量 3 题型04 相等向量 4 题型05 平行向量（共线向量） 5 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 10 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．　　 题型01平面向量的概念与表示 【例1】（20-21高一·全国·课后作业）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．力 B．位移 C．质量 D．速度 【变式1】（22-23高一·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【变式2】（多选）（25-26高一上·全国·随堂练习）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 题型02 向量的模 【例2】（20-21高一·全国·课后作业）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 【变式1】已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模.    ； ； ； ； . 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 题型03 零向量与单位向量 【例3】（20-21高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式1】下列向量中不是单位向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式3】向量，则与同向的单位向量 题型04 相等向量 【例4】（21-22高一上·青海西宁·期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·浙江宁波·期中）将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 题型05 平行向量（共线向量） 【例5】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一上·江西·阶段练习）判断下列命题： ①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若，则； ③若，则与的方向相同； ④若且，则. 其中正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（21-22高一·全国·课后作业）“”是“A，B，C，D四点共线”的 条件． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·辽宁丹东·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量 C．若，则 D．任意向量的模都是正数 3．（21-22高一上·北京西城·期末）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列命题中正确的个数为（    ） ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量与共线，则、、、四点共线； ③若非零向量与共线，则； ④四边形是平行四边形，则必有； ⑤，则、方向相同或相反. A．个 B．个 C．个 D．个 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列结论不正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 三、填空题 7．若数轴上有四点A，B，C，D，且A(-7)，B(x)，C(0)，D(9)，满足，则x= . 8．（21-22高一上·宁夏吴忠·期末）下列命题中，正确命题的序号为 ． ①单位向量都相等；②若向量，满足，则； ③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量； ⑤向量，共线与向量意义是相同的． 四、解答题 9．（21-22高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 10．（21-22高一下·全国·课后作业）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    11．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向线段一定重合吗？ 12．（22-23高一·全国·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 13．（21-22高一·全国·课后作业）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中. (1)分别写出与、相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)写出与的夹角为的向量； (5)向量与是否相等？ 【能力提升】 一、单选题 1．（2022高一·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 ＝ B．若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若∥，且∥，则∥ D．与是两平行向量 2．（2023高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D．向量的模可以比较大小． 3．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 4．（21-22高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 5给出下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．对于任意向量，必有 6．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）下列命题中错误的是（    ） A．零向量与任何向量都共线 B．零向量与单位向量的模相等 C．若和都是单位向量，则或 D．若，则、、、四点构成一个平行四边形 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有 个元素． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 四、解答题 9．（23-24高一·上海·课堂例题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 11．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 向量概念 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的模 4 题型03 零向量与单位向量 6 题型04 相等向量 8 题型05 平行向量（共线向量） 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 20 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．　　 题型01平面向量的概念与表示 【例1】（20-21高一·全国·课后作业）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．力 B．位移 C．质量 D．速度 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】利用向量的定义即可选择. 【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量； 质量只有大小没有方向，因此质量不是向量； 而力、位移、速度既有大小，又有方向，因此它们都是向量. 故选：C. 【变式1】（22-23高一·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 【变式2】（多选）（25-26高一上·全国·随堂练习）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【答案】答案见详解 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可. 【详解】    如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移. 题型02 向量的模 【例2】（20-21高一·全国·课后作业）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】向量的模 【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解. 【详解】数轴上点A，B分别对应﹣1、2， 则向量的长度即||＝3， 故选：D． 【变式1】已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【详解】因为||=2， 所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上， 故A点构成的图形是一个圆．选C． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模.    ； ； ； ； . 【答案】 4 4 【知识点】向量的模 【分析】根据向量模长的定义计算可得答案. 【详解】；；；；. 故答案为：①；②；③4；④4；⑤. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， 题型03 零向量与单位向量 【例3】（20-21高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. 【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 【变式1】下列向量中不是单位向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量 【解析】根据模长是1逐项排除可得答案. 【详解】A.   B. C. D. 为单位向量 故选：B． 【变式2】（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式3】向量，则与同向的单位向量 【答案】 【知识点】零向量与单位向量 【解析】根据与向量同向的单位向量是计算即可. 【详解】∵向量， ， ∴与同向的单位向量， 故答案为： 题型04 相等向量 【例4】（21-22高一上·青海西宁·期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义直接判断即可. 【详解】与方向不同，与均不相等； 与方向相同，长度相等，. 故选：D. 【变式1】（20-21高一上·浙江宁波·期中）将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相等向量 【解析】根据平移变换不改变向量的长度和方向可得答案. 【详解】因为将向量进行平移变换不改变向量的长度和方向，所以平移以后的向量与原向量相等， 所以向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据平移变换不改变向量的长度和方向求解是解题关键 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 【答案】, 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义确定即可. 【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，, 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 【答案】，，. 【知识点】相等向量 【分析】根据几何性质得到向量之间的关系，结合相等向量的概念即可直接得到答案. 【详解】∵分别是各边的中点， ∴，，，，， ∴；；. 题型05 平行向量（共线向量） 【例5】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案. 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可． 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 【变式2】（20-21高一上·江西·阶段练习）判断下列命题： ①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若，则； ③若，则与的方向相同； ④若且，则. 其中正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、相等向量和共线向量的定义判断． 【详解】相等向量的长度和方向相同，因此起点相同时，终点也相同，①正确； 两个向量可以相等，但不可能比较大小，②错误； 零向量与任选向量平行，但零向量方向不确定，③错误； 若，虽然有且，但与的方向不确定，④错． 故选：B． 【变式3】（21-22高一·全国·课后作业）“”是“A，B，C，D四点共线”的 条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，直线AB与CD的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A，B，C，D四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“”无法推出“A，B，C，D四点共线”； 当A，B，C，D四点共线时，直线AB与CD的位置关系为重合，此时，， 则“A，B，C，D四点共线”可以推出“”， 因此“”是“A，B，C，D四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·辽宁丹东·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】时，不一定是相等或相反向量， 时，， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量 C．若，则 D．任意向量的模都是正数 【答案】B 【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得. 【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误； 对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，而与不一定平行，故C错误； 对于D，零向量的模长是，故D错误． 故选：B. 3．（21-22高一上·北京西城·期末）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断. 【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立； 必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立. 故选：A. 4．（23-24高一下·云南·阶段练习）如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 【答案】B 【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断. 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误， 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列结论不正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】ABC 【分析】由向量、单位向量、以及平行向量的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，若与都是单位向量，则它们的模都是1，但方向不一定相同，即与不一定相等，故A符合题意； 对于B，直角坐标平面上的轴，轴都有方向，但是没有长度，即直角坐标平面上的轴，轴不是向量，故B符合题意； 对于C，若与是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等，即与不一定相等，故C符合题意； 对于D，海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意. 故选：ABC. 6．下列命题中正确的个数为（    ） ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量与共线，则、、、四点共线； ③若非零向量与共线，则； ④四边形是平行四边形，则必有； ⑤，则、方向相同或相反. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据相等向量的定义判断①的真假；根据共线向量的定义判断②的真假；根据共线向量的等价条件判断③的真假；根据相等向量的定义判断④的真假；取判断⑤的真假. 【详解】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题； ②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题； ③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题； ④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题； ⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题. 故选：B. 【点睛】本题考查相等向量、共线向量的有关知识，需掌握相等向量、共线向量的定义和特点，属简单题. 三、填空题 7．若数轴上有四点A，B，C，D，且A(-7)，B(x)，C(0)，D(9)，满足，则x= . 【答案】2 【分析】根据，列方程求解即可. 【详解】∵，∴，∴. 故答案为：2. 【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题. 8．（21-22高一上·宁夏吴忠·期末）下列命题中，正确命题的序号为 ． ①单位向量都相等；②若向量，满足，则； ③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量； ⑤向量，共线与向量意义是相同的． 【答案】④⑤ 【分析】由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案 . 【详解】对于①. 单位向量方向不同时，不相等，故不正确. 对于②. 向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确. 对于③. 有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量. 向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确, 对于④.根据零向量的定义，正确. 对于⑤. 根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确. 故答案为：④⑤ 四、解答题 9．（21-22高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果； （2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果； （3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. （4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. 【详解】（1）解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、. （2）解：与共线的向量有：、、、、、、、、， 与共线的向量有、、、、、、、、， 与共线的向量有：、、、、、、、、. （3）解：与的夹角，与的夹角. （4）解：与的夹角为，与的夹角. 10．（21-22高一下·全国·课后作业）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    【答案】答案见解析 【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论. 【详解】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， . 11．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向线段一定重合吗？ 【答案】不一定重合 【分析】根据有向线段表示向量的意义，即可得出结论． 【详解】用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向线段不一定重合； 例如在中，，但有向线段和不重合． 12．（22-23高一·全国·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【答案】答案见详解 【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可. 【详解】    如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移. 13．（21-22高一·全国·课后作业）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中. (1)分别写出与、相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)写出与的夹角为的向量； (5)向量与是否相等？ 【答案】(1)，. (2)，，. (3)，，，，，，. (4)，，， (5)不相等 【分析】（1）根据相等向量的概念，即可得出结果； （2）根据共线向量的概念，即可得出结果； （3）根据向量模的概念，即可得出结果； （4）根据向量垂直的概念，即可得出结果. （5）根据相等向量的概念，即可得出结果； 【详解】（1）解：依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形， 所以，； 由题可得：，； （2）解：与共线的向量有，，. （3）解：与的模相等的向量有：，，，，，，. （4）解：与的夹角为的向量有，，，； （5）解：向量与不相等，因为它们的方向不相同． 【能力提升】 一、单选题 1．（2022高一·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 ＝ B．若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若∥，且∥，则∥ D．与是两平行向量 【答案】D 【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可. 【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形； 选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量. 故选：D. 2．（2023高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D．向量的模可以比较大小． 【答案】D 【分析】根据向量的定义，以及相等向量，模的定义，即可判断选项. 【详解】A.质量、功不是向量，故A错误； B.向量不能比较大小，故B错误； C.相等向量指方向相同，长度相等的向量，与起点和终点无关，故C错误； D.向量的模是数量，可以比较大小，故D正确. 故选：D 3．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 【答案】B 【分析】 利用向量共线的概念逐一判断. 【详解】 根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，但方向不确定是同向还是反向，大小也不确定，故ACD错误，B正确. 故选：B． 4．（21-22高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 二、多选题 5给出下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．对于任意向量，必有 【答案】BD 【分析】根据向量的基本概念即可求解. 【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件： 长度相等且方向相同，缺一不可，故A错； 对于B：根据相反向量的定义可知B正确； 对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错； 对于D：根据三角形三边关系知正确； 故选：BD. 6．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）下列命题中错误的是（    ） A．零向量与任何向量都共线 B．零向量与单位向量的模相等 C．若和都是单位向量，则或 D．若，则、、、四点构成一个平行四边形 【答案】BCD 【分析】根据零向量、单位向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：零向量与任何向量都共线，故A正确； 对于B：零向量的模为，单位向量的模为，不相等，故B错误； 对于C：∵和都是单位向量，∴，但它们的方向不确定，故C错误； 对于D：因为，则、、、四点可能共线，故D错误； 故选：BCD. 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有 个元素． 【答案】12 【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可. 【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）： 以为起点：， 以为起点：， 以为起点：， 以为起点：， 以为起点： 综上所述，集合T有12个元素. 故答案为：12 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 四、解答题 9．（23-24高一·上海·课堂例题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据向量的长度作出； （2）根据方向及模长即可求解； （3）根据模长相等方向相反即可作图. 【详解】（1）作出向量如下图所示： （2）作出向量如上图所示： （3）作出向量的负向量如上图所示. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等 【分析】直接利用向量的定义得答案． 【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$