第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（4大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 基底的概念及辨析 3 题型02 用基底表示向量 4 题型03 平面向量线性运算的坐标表示 4 题型04 由向量共线（平行）求参数 5 题型05 由坐标解决三点共线问题 5 题型06 数量积的坐标表示和向量模的坐标表示 6 题型07 向量垂直的坐标表示 7 题型08 利用向量垂直求参数 8 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 知识点01平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点02平面向量的坐标运算 1、向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 知识点03线段的定比分点及λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () 1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. 2、点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 知识点04平面向量数量积的坐标表示 1、向量数量积的坐标运算：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示的三个重要公式 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 题型01基底的概念及辨析 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（21-22高一·江苏·课后作业）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】（20-21高一上·江西吉安·期末）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型02 用基底表示向量 【例2】（23-24高一上·广西柳州·期末）在三角形中，若点满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）若、分别为的边、上的中线，且，，则 .（用、表示） 题型03 平面向量线性运算的坐标表示 【例3】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，、、，如果，那么的坐标为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求、的坐标. 题型04 由向量共线（平行）求参数 【例4】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知向量，，若，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】（23-24高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 【变式3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知． (1)当k为何值时，与共线； (2)若且A，B，C三点共线，求m的值． 题型05 由坐标解决三点共线问题 【例5】（21-22高一上·辽宁大连·期末）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·云南昭通·阶段练习）已知点，，三点共线，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】已知三点共线，则= . 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 题型06 数量积的坐标表示和向量模的坐标表示 【例6】（20-21高一·江苏·课后作业）若向量，，，则等于（　　） A．3 B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·浙江台州·阶段练习）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【变式3】（22-23高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 题型07向量垂直的坐标表示 【例7】（23-24高一上·北京延庆·期末）向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（20-21高一上·广西玉林·期末）已知平面向量，，若，则 ． 【变式3】（20-21高一上·贵州安顺·期末）已知向量. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 题型08 利用向量垂直求参数 【例8】（21-22高一上·江苏苏州·期中）已知向量＝(1，3)，＝(﹣6，m)，若与垂直，则实数m＝（    ） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）已知向量，且，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知平面向量，，若是直角三角形，则k的取值可能是 . 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 2．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 4．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（20-21高一·全国·单元测试）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若存在实数使得，则 6．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 8．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知向量，，则在方向上的投影数量是 . 四、解答题 9．（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 10．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 12．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期末）已知是直线上的一个单位向量，与都是直线上的向量，且，，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．的坐标为 D． 2．（21-22高一上·江西景德镇·期末）已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ） A． B． C．或13 D．3 3．（22-23高一上·云南·期末）设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（22-23高一上·辽宁·期末）如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ） A． B．的最大值为 C．最大值为9 D． 6．（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一上·辽宁·期末）已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 8．（22-23高一上·云南·期末）在△ABC中，点D满足，若，则 ． 四、解答题 9．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）已知，是平面内不共线的两个向量，，，，且与共线． (1)求的值； (2)请用，表示． 10．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知向量. (1)求和； (2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？ 11．（21-22高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，. (1)求与共线的单位向量； (2)求满足的实数m，n的值； (3)若，求实数k的值. 12．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 13．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 基底的概念及辨析 3 题型02 用基底表示向量 5 题型03 平面向量线性运算的坐标表示 8 题型04 由向量共线（平行）求参数 9 题型05 由坐标解决三点共线问题 12 题型06 数量积的坐标表示和向量模的坐标表示 14 题型07 向量垂直的坐标表示 16 题型08 利用向量垂直求参数 18 分层练习 20 夯实基础 20 能力提升 29 知识点01平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点02平面向量的坐标运算 1、向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 知识点03线段的定比分点及λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () 1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. 2、点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 知识点04平面向量数量积的坐标表示 1、向量数量积的坐标运算：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示的三个重要公式 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 题型01基底的概念及辨析 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 【变式2】（21-22高一·江苏·课后作业）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线， 都可作为平面向量的基底， 而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底. 故选:D. 【变式3】（20-21高一上·江西吉安·期末）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【解析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断． 【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 与不共线，可以作为基底， 与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底， 故选：． 题型02 用基底表示向量 【例2】（23-24高一上·广西柳州·期末）在三角形中，若点满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算，结合点的位置，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：    由题意得. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】直接利用向量的几何运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 【答案】 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平面向量加法的三角形法则与共线的向量的表达求解即可. 【详解】如图，    因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以，. 又因为M为中点，所以. 得， 所以. 故答案为:. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）若、分别为的边、上的中线，且，，则 .（用、表示） 【答案】 【知识点】用基底表示向量 【分析】设，由图可得与间关系，即可得答案. 【详解】设，由图可得：， 则，则. 故答案为：. 题型03 平面向量线性运算的坐标表示 【例3】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标 【详解】. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果. 【详解】设线段中点的坐标为，取， 则； 由向量的坐标表示可得，即， 解得； 所以线段中点的坐标为. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，、、，如果，那么的坐标为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标运算可得解. 【详解】设， 由、、， 则、、， 又， 所以， 解得， 即， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求、的坐标. 【答案】，. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意，由向量加减法运算的坐标表示代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，∴，∵， ∴， 即，所以. . 题型04 由向量共线（平行）求参数 【例4】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知向量，，若，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解即可. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 【答案】或（答案不唯一，写出一个即可） 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先求出向量的模，与向量共线的单位向量为，计算即可. 【详解】因为，， 所以与向量共线的单位向量为， 所以向量共线的一个单位向量的坐标是或. 故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）. 【变式3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知． (1)当k为何值时，与共线； (2)若且A，B，C三点共线，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； （2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解． 【详解】（1），， ，， 又与共线， ，即； （2），， 、、三点共线， ，即． 题型05 由坐标解决三点共线问题 【例5】（21-22高一上·辽宁大连·期末）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案． 【详解】根据题意，已知，，则， 若、、点共线，则，则有，解得：， 故选：D． 【变式1】（21-22高一上·云南昭通·阶段练习）已知点，，三点共线，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】先利用三点共线构造向量共线，再利用向量共线的坐标形式进行求解. 【详解】因为，，三点共线，所以可设， 因为，， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】已知三点共线，则= . 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】列方程来求得. 【详解】依题意：三点共线， 所以，即. 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)A，B，C三点不共线. (2)D，E，F三点共线 (3)G，H，L三点共线 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断. 【详解】（1）因为， 所以，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线. （2）因为，所以， 因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线. （3）因为，所以， 因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线. 题型06 数量积的坐标表示和向量模的坐标表示 【例6】（20-21高一·江苏·课后作业）若向量，，，则等于（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据向量数量积的坐标运算规则进行求解. 【详解】因为， 故. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最后根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 又，所以，解得， 所以，则. 故选：A 【变式2】（21-22高一上·浙江台州·阶段练习）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据数量积与向量夹角的关系，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，且与不平行， 则，且，得，且， 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】（1）根据题意得，，由平行向量的坐标表示即可解决； （2）设，得，，根据题意列方程组即可解决. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 因为， 所以， 解得； （2）设，则，， 因为，， 所以， 解得或， 所以或. 题型07向量垂直的坐标表示 【例7】（23-24高一上·北京延庆·期末）向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】运用平面向量垂直及数量积坐标运算即可. 【详解】由于向量，且，则，解得 故选：D 【变式1】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由，可得，计算即可得的值. 【详解】由，故，故. 故选：D. 【变式2】（20-21高一上·广西玉林·期末）已知平面向量，，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【解析】由两向量垂直则两向量的数量积为零，根据向量的数量积的坐标运算得到方程，解出即可． 【详解】因为，所以，解得． 故答案为：-10. 【变式3】（20-21高一上·贵州安顺·期末）已知向量. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）． 【知识点】向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示 【解析】（1）由向量的夹角公式计算可得答案； （2）由向量垂直的坐标表示可得答案．. 【详解】（1）因为向量，所以， 又，所以.所以向量与的夹角； （2）因为向量，所以， 又，则，解得，所以实数的值为. 【点睛】方法点睛：设=,=，则，. 题型08 利用向量垂直求参数 【例8】（21-22高一上·江苏苏州·期中）已知向量＝(1，3)，＝(﹣6，m)，若与垂直，则实数m＝（    ） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据与垂直，可得向量的数量积为0，即可得到答案； 【详解】与垂直， ， 故选：B 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）已知向量，且，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【知识点】利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据，利用坐标运算求得x，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 解得， 所以， 则， 所以， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知平面向量，，若是直角三角形，则k的取值可能是 . 【答案】2或7 【知识点】利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求出，分和，利用向量数量积为0得到方程，求出k的取值. 【详解】因为，， 所以. 若， ∴； 若， ∴，无解； 若， ∴. 故答案为：2或7 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、零向量与单位向量 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，可得， 可得，解得. 故选：A. 2．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用数量积的坐标公式求出，进而得出的坐标，再利用两向量夹角余弦的坐标公式计算，结合特殊角的三角函数值得出答案； 【详解】， 所以，， ∴， ∵，∴. 故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 二、多选题 5．（20-21高一·全国·单元测试）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若存在实数使得，则 【答案】AD 【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误. 【详解】是平面内两个不共线的向量，可以作为平面的一组基底； 对于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A正确； 对于B，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B错误； 对于C，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得成立的有无数个，C错误； 对于D，由得：，又不共线，，即，D正确. 故选：AD. 6．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高一上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】3 【分析】根据题意将向量，，坐标化，解方程即可求出，可得结果. 【详解】以的起点为坐标原点，水平向右为轴正方向，的方向为轴负方向，建立平面直角坐标系； 不妨取，，， 由可得， 即可得， 即. 故答案为：3 8．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知向量，，则在方向上的投影数量是 . 【答案】1 【分析】根据向量的坐标运算可得，，再结合投影数量的定义分析求解. 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影数量是. 故答案为：1. 四、解答题 9．（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)， (3)证明见解析 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的量加减法表示，，对应相等求得实数的值 (3) 根据向量的量加减法表示应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意知，，所以， （2）因为，所以， 又因为， 所以； （3）证明：由，得， 所以， 所以， 因为与有公共点，所以三点共线． 10．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可 【详解】（1）由图可知， 因为，所以． 因为，所以 （2）由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线性运算和平面向量的基本定理求解； （2）用表示向量，再利用数量积的运算求解. 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， 又， 所以， ， 所以. 12．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期末）已知是直线上的一个单位向量，与都是直线上的向量，且，，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．的坐标为 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得的坐标为，的坐标为，分别代入计算即可. 【详解】根据题意可得的坐标为，的坐标为.A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：的坐标为，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：C. 2．（21-22高一上·江西景德镇·期末）已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ） A． B． C．或13 D．3 【答案】B 【分析】根据题意得，进而且，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为， 所以向量在方向上的投影为， 所以且，即且 所以. 故选：B 3．（22-23高一上·云南·期末）设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示结合充分必要条件的定义判断. 【详解】或或， 故选：B． 4．（22-23高一上·辽宁·期末）如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即. 【详解】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知， 存在实数使得, 又，所以， 又三点共线，所以，解得， 即可得，所以， 所以，即，可得， 又，即可得. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ） A． B．的最大值为 C．最大值为9 D． 【答案】AC 【分析】对于AD，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断. 【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以， 则，故A正确； 对于B，，， 则 ，故D错误； 对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值，故C正确； 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故B错误. 故选：AC. 6．（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 三、填空题 7．（22-23高一上·辽宁·期末）已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点P作，，根据向量运算和平面向量基本定理可得，．作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得，，列方程求的值. 【详解】如图，过点P作，，则， 又， 由平面向量基本定理可得，． 作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H． 又因为，所以， 因为，同理． 因为的面积与的面积之比为， 所以， 解得． 故答案为：. 8．（22-23高一上·云南·期末）在△ABC中，点D满足，若，则 ． 【答案】 【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值，即可求出答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 所以，所以，， 故． 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）已知，是平面内不共线的两个向量，，，，且与共线． (1)求的值； (2)请用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的运算法则与共线定理，根据待定系数即可求解； （2）设，分别代入，，，根据待定系数即可求解. 【详解】（1）依题意， 因为，， 所以， ， 又因为与共线， 所以，即． （2）设，则有， 即 所以，解得．所以． 10．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知向量. (1)求和； (2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？ 【答案】(1)；； (2)，反向. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量运算的坐标表示及坐标求模，计算作答. （2）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】（1）因为向量，则，， 所以，. （2）依题意，，由（1）知， 由，解得，于是当时，与共线， 且，即有与方向相反， 所以当时，与共线，并且它们反向共线. 11．（21-22高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，. (1)求与共线的单位向量； (2)求满足的实数m，n的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求出的坐标，设要求向量为，则，，由向量模的公式求出的值，即可得答案； （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得，解可得的值，即可得答案； （3）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． 【详解】（1）根据题意，向量，， 则， 设要求的单位向量为，则，， 则有，解可得， 故要求的单位向量为或； （2）根据题意，若，则 ， 则有，解可得； （3）根据题意，，， 若，则有，解可得， 故． 12．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 13．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$