第02讲 平面向量的运算（2大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第02讲 平面向量的运算 目录 题型归纳 1 题型01 向量加法的法则 4 题型02 向量加法法则的几何应用 6 题型03 向量减法的法则 9 题型04 向量减法法则的几何应用 12 题型05 向量数乘的有关计算 15 题型06 向量的线性运算的几何应用 17 题型07 平面向量数量积的几何意义 19 题型08 向量夹角的计算 21 题型09 求投影向量 23 分层练习 23 夯实基础 25 能力提升 33 知识点01向量的线性运算 1、向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． （4）向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2、向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 3、向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点02向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 5、平面向量数量积的运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 题型01向量加法的法则 【例1】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 【变式1】（20-21高一上·辽宁大连·期末）已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案. 【详解】因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点， 所以在中，， 同理，在中，， 所以. 故选：. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）填空： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】（1）（2）利用平面向量的加法法则可化简所求向量. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：（1）；（2）. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】向量加法的法则 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 题型02 向量加法法则的几何应用 【例2】（21-22高一上·辽宁辽阳·期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为和即可． 【详解】. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得. 【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式2】（21-22高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像： 因为，， 所以，， 则，， 故 ， 因为， 所以，解得，，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量加法的运算律 【分析】（1）根据题意作图可得答案； （2）根据四边形为平行四边形可得答案． 【详解】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形， 所以. 题型03 向量减法的法则 【例3】（23-24高一上·北京西城·期末）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可. 【详解】. 故选：C 【变式1】（22-23高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析. 【详解】由题意 ， 并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即 ， 对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， ，错误； 对于D， ，正确； 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量加法、减法运算律计算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；；； 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    题型04 向量减法法则的几何应用 【例4】（22-23高一上·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量运算得. 【详解】由图知， 故选：B. 【变式1】（21-22高一上·浙江杭州·期中）若 ，则 的取值范围是（    ） A．[3，7] B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量的模 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知，且, 当同向时，取得最小值，； 当反向时，取得最大值，； 当不共线时，取得最小值，， 故 的取值范围是， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【答案】1 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据平面向量的加减运算即可求解. 【详解】. 故答案为:1. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【答案】答案见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可. 【详解】如图，作，则即为， 再作，则向量即为．   题型05 向量数乘的有关计算 【例5】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 【变式1】（20-21高一上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，为线段上的一点，且 ，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】利用，将用表示，然后整理即可. 【详解】∵，即， ∴， 化为． 又， ∴ 故选：C． 【变式2】（22-23高一·全国·单元测试）已知，若记，则 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律、相反向量、向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】由向量的线性运算，求解的值. 【详解】， ∴， 则有， ∴. 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）若向量表示小船沿东北方向行驶了，则向量和的意义分别是什么？ 【答案】答案见解析 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据数乘的定义求解. 【详解】表示与同向且模长为模长的3倍，故意义为小船沿东北方向行驶了； 表示与反向且模长为模长的，故意义为小船沿西南方向行驶了. 题型06 向量的线性运算的几何应用 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】运用单位向量概念公式，结合菱形性质，平行四边形法则可解. 【详解】、都是单位向量，所以是以、为邻边的菱形的对角线， 所以所指的方向即为、的夹角的角平分线方向，而、的夹角即为. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）设四边形中，且，则这个四边形是 ． 【答案】等腰梯形 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据相等向量定义，结合可得结果. 【详解】，且，∴四边形为梯形. 又，四边形为等腰梯形. 故答案为：等腰梯形. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 【答案】证明见解析 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量数乘及向量之间共线的概念即得. 【详解】证明：因为， 所以， 故，且 题型07 平面向量数量积的几何意义 【例7】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据投影的定义式直接求得即可. 【详解】向量在向量方向上的投影等于. 故选：C. 【变式1】（20-21高一上·贵州黔东南·阶段练习）若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】首先根据题意求得，接着利用投影的定义求解即可. 【详解】因为向量与满足， 所以， 又，所以， 向量在方向上的投影为， 故选：B. 【变式2】（20-21高一·全国·单元测试）设向量，，且在方向上的投影为，则 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量的数量积的几何意义，结合投影的概念和图象，即可求解. 【详解】如图所示，由向量，， 可得，且，可得， 因为在方向上的投影为，可得，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 【答案】. 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】由数量投影公式求解． 【详解】解：∵，∴，∴. 故在方向上的数量投影为： 题型08 向量夹角的计算 【例8】（23-24高一·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 【变式1】（21-22高一·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可． 【详解】依题意，设单位向量的夹角为， 因为， 所以则，所以， 根据题意，正整数的最大值为， 故选：C. 【变式2】（2024高一·上海·专题练习）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由已知可求得，利用向量的夹角的余弦公式可求与的夹角的余弦值. 【详解】 , 则与的夹角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据直角三角形性质可得向量夹角； （2）根据夹角与模长可得向量数量积. 【详解】（1）由已知在中，，，， 即， 即，， 且， 所以， 所以与的夹角； （2）由（1）得， 所以向量与的夹角是， 所以 题型09 求投影向量 【例9】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据投影向量的求解公式得到答案. 【详解】向量在向量上的投影为. 故答案为： 【变式3】（21-22高一上·浙江绍兴·期中）已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为 ；（）的最小值是 ． 【答案】 / 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】分别根据投影向量的定义和单位向量的模化简即可求解. 【详解】由，两边平方得，而在方向上的投影向量为， ，（当时取得最小值）所以其最小值为. 故答案为：， 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·辽宁锦州·期末）如图，在等腰梯形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形的性质，以及向量加法法则，即可求解. 【详解】在等腰梯形中，， 由，得， 所以，所以， 所以为直角三角形，所以， 则. 故选：C. 2．（22-23高一上·北京丰台·期末）化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】因为， 故选：. 3．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量加法交换律即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁·期末）已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，则（    ） A．的坐标为 B． C．的坐标为5 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意得到，，的夹角为，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以的坐标为，故A正确； 对选项B，，故B正确. 对选项C，因为，，所以的坐标为，故C错误； 对选项D，因为，，的夹角为， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 6．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知中，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为钝角三角形 B．当时，为锐角三角形 C．当为锐角三角形时， D．当为边长为2的等边三角形时， 【答案】AC 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，因为，可得，所以为钝角， 所以为钝角三角形，所以A正确； 对于B中，因为，可得，所以为锐角， 但不确定其他角的情况，所以B错误； 对于C中，因为为锐角三角形，可得为锐角，所以， 所以C正确； 对于D中，因为为边长为2的等边三角形，可得，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题 7．（2023高一·全国·专题练习）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量， 为单位向量，且， 可得，解得， 所以在向量上的投影向量为. 故答案为：. 8．（20-21高一上·新疆喀什·期末）已知向量，的夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解：因为向量，的夹角为，且， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 9．（20-21高一上·江西宜春·期末）已知. （1）求与的夹角； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，进而得到向量与的夹角； （2）要求，我们可以根据（1）中结论，先求出的值，然后开方求出答案． 【详解】（1），， ， ， ∴，∴， ∴向量与的夹角. （2）， . 【点睛】掌握平面向量数量积运算定律及定义是解题的关键． 10．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值； （2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值． 【详解】（1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为. 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 【答案】(1)6 (2) 【分析】 （1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）∵，，∴； （2）∵， ∴. 12．（22-23高一上·北京昌平·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【详解】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 13．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知平面向量，的夹角为，且，，. (1)当，求； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当，，两边平方，利用向量数量积求； （2）当时，有，利用向量数量积求的值. 【详解】（1）平面向量，的夹角为，且，，当，， 则， 所以. （2）当时，， 所以. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为． 【详解】如图， 由知为中点， 又为外接圆圆心，，， ， ，，， ∴在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影向量为：． 故选：D． 2．（22-23高一上·北京西城·期末）正方形的边长为1，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解. 【详解】在正方形中，如图所示, ， 故选：D. 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知菱形的边长为1，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将平方转化为数量积求解. 【详解】 . 所以. 故选：D 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围． 【详解】设，则，， 设，又， 则，， ， ， 所以时，取得最小值12，时，取得最大值28， 所以的取值范围是， 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项；利用平面向量线性运算可判断C选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由正六边形的几何性质可知，， 所以，，，则四边形为平行四边形，故，A对； 对于B选项，因为四边形为平行四边形， 由平面向量加法的平行四边形法则可得，B错； 对于C选项，由正六边形的几何性质可知，， 则四边形为菱形，所以，，， 易知为等边三角形，则，故，C对； 对于D选项，设正六边形的边长为，易知， 则， ， 所以，，D错. 故选：AC. 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知平面向量，下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】由时不成立可得选项A错误；根据数量积的概念可知选项B错误；根据可得选项C正确；根据得，化简可得选项D正确. 【详解】A.当时，满足，，但不一定成立，选项A错误. B.设，则，与关系不确定，选项B错误. C. ，选项C正确. D.由得，，即， ∴，即，选项D正确. 故选：AB. 三、填空题 7．（22-23高二上·贵州六盘水·期末）已知单位向量，，且，则 . 【答案】 【分析】由单位向量及数量积的运算可得，再根据模的运算即可得的值. 【详解】解：已知单位向量，，则， 又，所以，则，所以， 则. 故答案为：. 8．（22-23高一上·辽宁·期末）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值． 【详解】根据题意，当时，最小； 由， ， ∴ ，即， ∴ ， ∴当时，由面积法得 ，， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 9．（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知， (1)求的值； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果， （2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）因为，， 所以，，得， 所以 （2）因为， ， 所以， 因为， 所以， 即与的夹角为 10．（20-21高一·全国·课后作业）在中，，记，且为正实数）， （1）求证：； （2）将与的数量积表示为关于的函数； （3）求函数的最小值及此时角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2，. 【解析】（1）由，得到，根据，即可求解； （2）由，整理得，即可求得的表达式； （3）由（2）知，结合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）在中，，可得， 所以，所以. （2）由，可得， 即，整理得， 所以． （3）由（2）知， 因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为2，即， 此时，因为，可得， 又因为，此时为等边三角形，所以． 【点睛】求平面向量的模的2种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 11．（20-21高二上·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）计算和可得； （2）先求出点坐标，再求和的夹角即得． 【详解】（1）由题意，，， ； 所以所求对角线长为和； （2）设，则由得，，即， ，，． 所以． 【点睛】关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段、为邻边的平行四边形的对角线长就是和与差的模．而求，可以算作是的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解． 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义求出，再以、为基底表示、，最后根据数量积的运算律计算可得； （2）求出、，再根据计算可得. 【详解】（1）因为， 因为，即为的中点，所以， 又，所以， 所以 ； （2）由题意知等于向量和的夹角， 因为，所以； 因为，所以； 所以． 13．（21-22高一上·浙江宁波·期末）在如图所示的平面图形中，已知，，，，求： (1)设，求的值； (2)若，且，求的最小值及此时的夹角. 【答案】(1) (2)的最小值为，为. 【分析】（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，进而求出结果； （2）记，因为，所以，设，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得，化简整理可得，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）解：因为，， 所以，所以， 即. （2）解：记， 因为，所以， 设，则， 所以 当时，取最小值，即最小值为， 又，所以，所以， 即， 所以的最小值为，此时为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算 目录 题型归纳 1 题型01 向量加法的法则 4 题型02 向量加法法则的几何应用 5 题型03 向量减法的法则 5 题型04 向量减法法则的几何应用 7 题型05 向量数乘的有关计算 7 题型06 向量的线性运算的几何应用 8 题型07 平面向量数量积的几何意义 9 题型08 向量夹角的计算 10 题型09 求投影向量 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 知识点01向量的线性运算 1、向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． （4）向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2、向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 3、向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点02向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 5、平面向量数量积的运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 题型01向量加法的法则 【例1】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·辽宁大连·期末）已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）填空： （1） ； （2） ． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 题型02 向量加法法则的几何应用 【例2】（21-22高一上·辽宁辽阳·期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 题型03 向量减法的法则 【例3】（23-24高一上·北京西城·期末）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 题型04 向量减法法则的几何应用 【例4】（22-23高一上·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·浙江杭州·期中）若 ，则 的取值范围是（    ） A．[3，7] B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    题型05 向量数乘的有关计算 【例5】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，为线段上的一点，且 ，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（22-23高一·全国·单元测试）已知，若记，则 ． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）若向量表示小船沿东北方向行驶了，则向量和的意义分别是什么？ 题型06 向量的线性运算的几何应用 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）设四边形中，且，则这个四边形是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 题型07 平面向量数量积的几何意义 【例7】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（20-21高一上·贵州黔东南·阶段练习）若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·单元测试）设向量，，且在方向上的投影为，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 题型08 向量夹角的计算 【例8】（23-24高一·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024高一·上海·专题练习）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 题型09 求投影向量 【例9】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为 . 【变式3】（21-22高一上·浙江绍兴·期中）已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为 ；（）的最小值是 ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一上·辽宁锦州·期末）如图，在等腰梯形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京丰台·期末）化简后等于（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）化简（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁·期末）已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，则（    ） A．的坐标为 B． C．的坐标为5 D． 6．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知中，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为钝角三角形 B．当时，为锐角三角形 C．当为锐角三角形时， D．当为边长为2的等边三角形时， 三、填空题 7．（2023高一·全国·专题练习）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 8．（20-21高一上·新疆喀什·期末）已知向量，的夹角为，且，则 ． 四、解答题 9．（20-21高一上·江西宜春·期末）已知. （1）求与的夹角； （2）求. 10．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 12．（22-23高一上·北京昌平·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 13．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知平面向量，的夹角为，且，，. (1)当，求； (2)当时，求的值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京西城·期末）正方形的边长为1，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知菱形的边长为1，若，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知平面向量，下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 三、填空题 7．（22-23高二上·贵州六盘水·期末）已知单位向量，，且，则 . 8．（22-23高一上·辽宁·期末）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为 . 四、解答题 9．（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知， (1)求的值； (2)求与的夹角. 10．（20-21高一·全国·课后作业）在中，，记，且为正实数）， （1）求证：； （2）将与的数量积表示为关于的函数； （3）求函数的最小值及此时角的大小． 11．（20-21高二上·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点． (1)求； (2)求． 13．（21-22高一上·浙江宁波·期末）在如图所示的平面图形中，已知，，，，求： (1)设，求的值； (2)若，且，求的最小值及此时的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$