精品解析：陕西省榆林市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度期末考试卷 高一数学 考试模块：必修第一册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合，进而求出，最后求出即可. 【详解】由或，所以， 所以，. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】函数， 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 4. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质以及举反例即可得到答案. 【详解】由“且”，则“且”，故充分性满足； 反之，若“且”，取，显然成立， 但并不满足“且”，故不满足必要性. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算出，再由展开公式即可. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：B. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果. 【详解】由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 故选：C 7. 给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（ ） A. 自然数集是闭集合 B. 无理数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【解析】 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 8. 已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ） A. B. -1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法依次求出，进而探讨函数的性质求得答案. 【详解】对任意实数x，y，都有，， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 任意，则，因此， 取，得，则，， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式，利用赋值法求解是解决问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题正确的是（ ） A. 若且，则为第二象限角 B. 将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数值符号判断A；利用任意角的意义判断B；利用余弦函数的性质判断C；利用轴对称的性质判断D. 【详解】对于A，由，为第二、四象限角， 由，得为第一、二象限角，或终边在轴的正半轴， 因此为第二象限角，A正确； 对于B，将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，B错误； 对于C，， 因为，得，所以，C正确； 对于D，， 因此的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 11. 已知奇函数与偶函数的定义域均为R，在区间上都是增函数，则（ ） A. B. 在区间上是减函数 C. 是奇函数，且在区间上是增函数 D. 是偶函数，且在区间上是增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A根据偶函数在区间上是增函数即可判断，对于B根据奇函数与的单调性相反，偶函数在轴两边单调性相反即可判断，对于C，举反例即可判断，对于D因为所在区间无法确定，在区间上单调性不能确定. 【详解】对于A：因为为偶函数，偶函数图像关于轴对称，所以在轴两边单调性相反，又因为在区间上都是增函数，所以同号，所以，故A正确； 对于B：因为为奇函数，在区间上都是增函数，则有在也为增函数，所以在为减函数，又因为为偶函数， 在区间上都是增函数，所以在为减函数，所以在区间上是减函数，故B正确； 对于C：令，因为为奇函数与为偶函数，所以，所以， 所以为奇函数，令，满足题意，在上为减函数，故C错误； 对于D：令，因为为奇函数与为偶函数，所以，所以， 所以为偶函数，且，因为在区间上都是增函数，所以，而所在区间无法确定，所以的正负号无法确定，所以单调性不能确定，，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】举例，再分析其定义域与单调性即可. 【详解】举例，其定义域为定义域为，且为减函数， 故答案为：（答案不唯一）. 13. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数的零点为，的零点为，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系可得，再利用零点的意义，结合函数的单调性即可求得答案. 【详解】依题意，， 而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 而，即，因此， 则，所以. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想将函数化成是求解的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知________.请从下列两个条件中任选一个作答. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足. （1）求的值； （2）求的值. 注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选①，；选②， （2）选①，或；选②，或 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得； （2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果. 【小问1详解】 条件①：因为角的终边与单位圆的交点为， 可得，，由三角函数的定义可得 条件②：因为角满足，又因为， 即，可得 又，∴， 即. 【小问2详解】 无论选择①还是②均可得到， ， 当时，； 当时，； 16. 已知二次函数． （1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质以及不等式，建立不等式组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分二次函数存在一个或两个零点的情况，结合零点的定义以及零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 因为为二次函数，所以， 又因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得． 【小问2详解】 当在上仅有一个零点时，由，解得， 此时零点为，符合题意； 当在R上有两个零点时，，即且， ①当时，，则由解得另一个零点为，符合题意； ②当时，，则由解得另一个零点为，符合题意； ③当时，由零点存在定理，则，即，解得 综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 【答案】（1） （2） 由题意得， 则， 因为 ，且其定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 【解析】 【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式； （2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可. 【小问1详解】 由最值得， 由相邻两零点距离得，则，即， 此时， 因为，则该函数一个最高点为， 代入点得：， 则，即， 又因为，所以， 故. 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）； （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. （1）若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； （2）求证：是的“4重覆盖函数”； （3）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；不是的“2重覆盖函数”，理由如下： 设，则， 令， 则， 由，得，所以，得. 函数的定义域为，且， 当时，函数与直线只有1个交点， 所以不是的“2重覆盖函数”. （2） 设，定义域为，则， 又，所以，解得，即的值域为； 的定义域为，且， 当时，，令， 则且， 所以函数与直线有2个交点， 即函数与直线在上有2个交点； 同理当时，函数与直线在上亦有2个交点， 所以是的“4重覆盖函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合三角的恒等变换和三角函数的图象与性质求出的值域，结合新定义可得当时函数与直线在上只有1个交点，即可判断； （2）分别求出函数的值域，结合新定义证明函数与直线在上有4个交点即可； （3）分类讨论两种情况下的性质，结合的值域，根据新定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为，即， 由，得，所以的值域为； 函数的定义域为， 因为为的“2重覆盖函数”， 所以函数图象与有2个交点. 当时，，与有一个交点， 所以当时，函数与有且只有一个交点， 下面讨论当时，函数情况 若，与有且只有一个交点，满足题意； 若，函数开口向下，对称轴为， 此时， 此时函数与有2个交点，不满足题意； 若，函数开口向上，对称轴为， 当即时，函数对称轴，由于， 故函数与有且只有一个交点，所以； 当即时，此时， 要使函数与有且只有一个交点， 只需，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度期末考试卷 高一数学 考试模块：必修第一册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 3. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 4. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（ ） A. 自然数集是闭集合 B. 无理数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合，为闭集合，则也为闭集合 8. 已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ） A. B. -1 C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题正确的是（ ） A. 若且，则为第二象限角 B. 将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 C. D. 的图象关于直线对称 10. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 11. 已知奇函数与偶函数的定义域均为R，在区间上都是增函数，则（ ） A. B. 在区间上是减函数 C. 是奇函数，且在区间上是增函数 D. 是偶函数，且在区间上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 13. ________. 14. 已知函数的零点为，的零点为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知________.请从下列两个条件中任选一个作答. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足. （1）求的值； （2）求的值. 注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分. 16. 已知二次函数． （1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. （1）若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； （2）求证：是的“4重覆盖函数”； （3）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $