预习07 余弦定理（六大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习07 余弦定理 知识点 1 ：余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 知识点 2 ：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 考点01 已知两边及一角解三角形 【方法点拨】直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 【例1】的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【例2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式1-1】在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 【变式1-2】记内角，，的对边分别为，，．已知，则 ． 【变式1-3】设的三个内角的对边分别为，已知，则 . 考点02 已知三边解三角形 【方法点拨】先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解. 【例3】已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【例4】若三角形的三边之比为3∶5∶7，则其最大角等于 . 【变式2-1】在中，若，则 . 【变式2-2】在中，已知，，，求，，． 【变式2-3】在中，是边的中点，若，，，则 ． 考点03 求边或角的取值范围 【例5】若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则a的取值范围为 . 【例6】若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 【变式3-1】在中，角所对的边分别是，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 【变式3-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点04 余弦定理判断三角形形状 【方法点拨】利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断. （2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. 【例7】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【例8】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【变式4-1】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-2】（多选）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式4-3】在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 考点05 余弦定理的实际应用 【例9】某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【例10】苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市风凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B（A为东塔塔底，B为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C，并测得米．在点C测得东塔顶的仰角为45°，在点C测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【变式5-1】笔峰塔矗立在淦河岸边，是咸宁市现存古迹之一．小张同学为测量笔峰塔的高度，如图，选取了与塔底部D在同一水平面上的两点，在A点和B点处测得C点的仰角分别为 和 ，测得米，，则笔峰塔的高度 为（    ） A．20米 B．25米 C．米 D．米 【变式5-2】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 【变式5-3】如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 考点06 余弦定理与平面图形结合 【例11】如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【例12】如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 【变式6-1】如图，在四边形中，，且，. (1)求的面积； (2)若，求的长. 【变式6-2】一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【变式6-3】在中，为中点，，，求的长． 1．（2023-24高二上·贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．（2023-24高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2023-24高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．（2024·广东肇庆·一模）在中，角，，所对边长分别为，，，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高一下·广东湛江·期中）（多选）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24高三上·江苏苏州·开学考试）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 10．（2024高三·全国·专题练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 11．（2023-24高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 12．（202023-24高一下·全国·课后作业）在中，角的对边分别为，且，求角. 13．（2023-24高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 14．（2023-24高一下·全国·课后作业）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，且最大角为，求此三角形的最大边长． 15．（2023-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点. (1)求的长； (2)求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习07 余弦定理 知识点 1 ：余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 知识点 2 ：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 考点01 已知两边及一角解三角形 【方法点拨】直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 【例1】的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 【例2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 【变式1-1】在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得， 联立，解得（均大于）， 所以． 故选：B． 【变式1-2】记内角，，的对边分别为，，．已知，则 ． 【答案】 【详解】由，故， 则，故. 故答案为：. 【变式1-3】设的三个内角的对边分别为，已知，则 . 【答案】 【详解】由余弦定理知， 所以，所以. 故答案为： 考点02 已知三边解三角形 【方法点拨】先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解. 【例3】已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【详解】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 【例4】若三角形的三边之比为3∶5∶7，则其最大角等于 . 【答案】/ 【详解】由题意，三角形三边之比为，可设三边分别为为， 设三角形的最大角为（其中）， 由余弦定理得， 所以，即三角形的最大角为. 故答案为：. 【变式2-1】在中，若，则 . 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 【变式2-2】在中，已知，，，求，，． 【答案】，， 【详解】由余弦定理得． ，， ， ，． ， ，，． 【变式2-3】在中，是边的中点，若，，，则 ． 【答案】/ 【详解】 如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点， 则四边形为平行四边形，，， ∴， ∴ . 故答案为：. 考点03 求边或角的取值范围 【例5】若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，设长度分别为1，2，a的三支木棒分别为的三边， 则即， 显然角B为锐角， 当时，由余弦定理得， 或，故； 当时，由余弦定理得， ，故； 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 【例6】若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 【答案】,, 【详解】 由题意知钝角三边长分别为3，4，， 设为钝角， 则， ． 由于两边之差小于第三边，． ． 设为钝角， 则， ，即． 由于两边之和大于第三边，． ． 综上，或． 故答案为：,,． 【变式3-1】在中，角所对的边分别是，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当时取等号， ，即3，即， . 故选:C. 【变式3-2】若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：因为， 所以此三角形的最大边为， 设此边所对应的角为，则为钝角， 由余弦定理可得， 即有， 整理得，解得， 又因为， 即，所以的取值范围为：. 故答案为： 【变式3-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由余弦定理可得： ，当且仅当时取等号． 又，，所以． 故选：C． 考点04 余弦定理判断三角形形状 【方法点拨】利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断. （2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. 【例7】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 【例8】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 【变式4-1】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【变式4-2】（多选）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 【变式4-3】在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 考点05 余弦定理的实际应用 【例9】某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 【例10】苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市风凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B（A为东塔塔底，B为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C，并测得米．在点C测得东塔顶的仰角为45°，在点C测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示:为东塔，为西塔， 设苏州双塔的高度为米，依题意可得米，米． 因为0.75，所以由余弦定理得， 解得． 故选：B. 【变式5-1】笔峰塔矗立在淦河岸边，是咸宁市现存古迹之一．小张同学为测量笔峰塔的高度，如图，选取了与塔底部D在同一水平面上的两点，在A点和B点处测得C点的仰角分别为 和 ，测得米，，则笔峰塔的高度 为（    ） A．20米 B．25米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】依题意，， 设，在、中，，， 所以，, 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以笔峰塔的高度为25米, 故选:B. 【变式5-2】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 【答案】A 【详解】连接， 因为米，米，， 所以为等边三角形，故米，又， 所以，又米， 在中， 由余弦定理可得（米）， 所以天坛最下面一层的圆的周长为（米） 故选：A. 【变式5-3】如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题可得， ， 当时，，即， 又，（千米）； （2）在中，设，则， ， ， ， ， （千米）， 折线段赛道的长度为千米. 考点06 余弦定理与平面图形结合 【例11】如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）因为 所以 ， ，即； （2），且， ， ， ； （3） 【例12】如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 连接分别交，与点，连接如下图所示：    则,, 此时的周长取得最小值，其最小值为的长度； 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以； 根据对称性可知， 在中，由余弦定理可得， 所以. 即周长的最小值是. 故选：D 【变式6-1】如图，在四边形中，，且，. (1)求的面积； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵，∴. 设，则. 由得，， ∴，即， 整理得， ∵， ∴，故，，即， ∴，即，∴，， ∴的面积为. （2）由（1）得，，. ∵，∴. 在中，由余弦定理得， 即，解得或. 【变式6-2】一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【答案】 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：.    【变式6-3】在中，为中点，，，求的长． 【答案】 【详解】在中，设, 则由正弦定理， 即，得，所以， ， 所以， 所以， 由正弦定理得：，即． 1．（2023-24高二上·贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：. 2．（2023-24高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 4．（2023-24高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 5．（2023-24高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 6．（2024·广东肇庆·一模）在中，角，，所对边长分别为，，，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 由余弦定理得：， 为三角形内角， 的最大值为． 故选：C． 7．（2023-24高一下·广东湛江·期中）（多选）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，得， 由，得．又，，所以． 故选:AD． 8．（2023-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 9．（2023-24高三上·江苏苏州·开学考试）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【详解】由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去）， 故答案为：． 10．（2024高三·全国·专题练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 【答案】 【详解】由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 11．（2023-24高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】由及余弦定理得：，整理得， 则，当且仅当，即时取等号， 此时，，则， 故答案为： 12．（202023-24高一下·全国·课后作业）在中，角的对边分别为，且，求角. 【答案】. 【详解】在中， ， ，，. 13．（2023-24高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得，解得， 因为，所以. （2）由（1）可知，， 又， 在中，由余弦定理可得， 解得，所以，由勾股定理的逆定理可得， 所以为直角三角形. 14．（2023-24高一下·全国·课后作业）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，且最大角为，求此三角形的最大边长． 【答案】最大边长为14． 【详解】解   因为， 所以且， 又，所以，所以， 则，所以， 所以为最大边，故，，． 由余弦定理，得， 即，解得或． 又，所以， 即此三角形的最大边长为14． 15．（2023-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，根据余弦定理, 即，得， 所以的长为； （2）在中，，，， 所以， 点分别是的中点， 所以，， ，， 所以    2 学科网（北京）股份有限公司 $$