4.3.1等比数列的概念讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 知识点1 等比数列的概念 ① 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0)。 ② 对等比数列定义的理解 （1）由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0。由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列。 （2）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒。 （3）定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列。当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列。 （4）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n>3,项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则此数列不是等比数列。 （5）等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断或是否为非零常数q。 （6）对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列。各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列。因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列。 例1-1（2022·湖北武汉二中高二期中）多选）下面各数列一定是等比数列的有（ ）。 A.-1,-2,-4,-8 B.1,2,3,4 C.x,x,x,x D. 例1-2（2023·全国高二专项练习）若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数列：①a+b,b+c,c+d;②ab,bc,cd;③a-b,b-c,c-d，必成等比数列的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 例1-3（2022·北京城区月考）若数列是公比为10的正项等比数列，则·是（ ）。 A.公比为的等比数列 B．公比为的等比数列 C.公差为的等差数列 D．公差为2的等差数列 知识点2 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项。此时， 由等比数列的定义可知： 反之，若，则，即a，G，b成等比数列。 综上，a，G，b成等比数列 。 辨析比较 （1）在等比数列中，任取相邻的三项，则是与的等比中项。由此可得等比数列的第二种判定方法-等比中项法，即判断是否成立。 （2）“a,G,b成等比数列”与“b”是不等价的。前者可以推出后者，但后者不能推出 前者。如G=a=0,b=1,满足而0,0,1不成等比数列。因此，“成等比数列”是“”的充分不必要条件。 （3）等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 例2-1（2022·湖北恩施期末）已知a是1,2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab=（ ）。 A.6 B.-6 C.±6 D.±12 例2-2（2022·山东枣庄期中）（多选）如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（ ）。 A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 0ac=-9 例2-3（2022·湖南三湘名校教育联盟高二月考）已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则（ ）。 A.0 B.1 C.3 D.2 知识点3 等比数列的通项公式 ① 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为公比为q，则这个等比数列的通项公式为。 ② 等比数列通项公式的推导 设等比数列的首项为，公比为q，则方法一（归纳法）：由等比数列的定义可知,···，归纳得当n=1时，上面的等式两边均为，所以等式也成立。 综上，当时， 方法二（迭代法）：根据等比数列的定义，得 方法三（累乘法）：根据等比数列的定义，得，以上各式两边分别相乘，得，即0 ③ 等比数列通项公式的变形及其应用 因为是等比数列，所以 ,，所以，所以 这表明： （1）在已知等比数列中任一项及公比q的前提下，可以利用求等比数列中任意项； （2）已知等比数列中的和两项，就可以利用求公比，其中m可大于n，也可小于n。 例3-1（2022·四川成都高二期末）在等比数列 中，,，则q=( )。 A. B. C.3 D. 例3-2（2022·山东济南历城二中模拟预测）在等比数列中，已知26，则（ ）。 A.20 B.12 C.8 D.4 例3-3（2022·辽宁渤海大学附中考试）已知递增等比数列中，，若，则n=( )。 A.5 B.6 C.7 D.8 知识点4等比数列与指数型函数的关系 ① 等比数列的图像 等比数列的通项公式，还可以整理为，当q≠1，且时是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列的图像是函数的图像上一些孤立的点。例如，以1为首项，2为公比的等比数列的通项公式为1·，还可以写成。由此可见，表示这个等比数列的各点都在函数的图像上，如图4-3-1-1所示。 ② 等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为q，则 （1）当或时，等比数列为递增数列； （2）当或时，等比数列为递减数列； （3）当q=1时，等比数列为常数列（这个常数列中各项均不等于0）； （4）当q<0时，等比数列为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号）。显然，等比数列的单调性要比等差数列的单调性 最小项为复杂得多。 例4-1（2022·西南四省名校联考）设为等比数列的前n项之积，18,，则的最大值为 。 例4-2（2022·河北石家庄二中模拟预测）（多选）已知数列为等比数列，首项0，公比q∈(-1,0)，则下列叙述正确的是（ ）。 A.数列的最大项为 B.数列的最小项为 C.数列为递增数列 D.数列为递减数列 知识点5 等比数列在实际问题中的应用 等比数列在实际问题中应用广泛，解决这类问题要注意以下几点： （1）能建立等比数列模型的实际问题，必须是离散型的问题，且这些离散的量之间是倍数关系的问题。 （2）求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要。 （3）处理有关等比数列的实际应用题时，关键是认真分析题意，建立适当的等比数列模型，再进一步利用等比数列的有关知识加以解决即可。 例5（福建高考）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+(b-a)。这里，被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数 恰好使得(c-a)是（b-c）和（b-a）的等比中/项。据此可得，最佳乐观系数的值等于 。 基础达标 1．（2022·江西临川一中月考·知识点2）等比数列的各项均为正数，且，则 A.10 B.5 C.3 D.4 2．（2022·广西贵港高二期末·知识点2）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则。 A.2n+1 B.3n-2 C.16-3n D.13-2n 3．（2022·广东佛山南海中学高二阶段练习·知识点3）设等比数列的前n项和为，公比为q，若，则q= 。 4．（2022·上海复旦实验中学高二期末）已知在数列中，，则的通项公式 。 5．（2022·安徽安庆二中高二期末·知识点1，3）已知等差数列的前n项和为，等比数列各项均为正数， （1）求数列的通项公式； （2）求使得的n的最小值。 高考提升 6．（2022·黑龙江哈尔滨第六中学校高二期末）（多选）已知等比数列各项均为正数，其前n项积为若，则下列结论正确的是。 A..q>1 B. C.是中最小的项 D.使成立的n的最大值为18 7．（多选）已知数列的前n项和为且为非零常数），则下列结论中正确的是。 A.数列为等比数列 B.当p=1时， C.当时， D. 8．（2022·山东德州教育科学研究院高二期中）（多选）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率。设经过n年之后，该项目的资金为万元（取lg2≈0.30,lg3≈0.48)。。则下列叙述正确的是。 A. B.数列的递推关系是 C.数列000}为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 9．（2022·吉林东北师大附中模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）。用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案······若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中，挖去的白色三角形个数为 ，挖去去的面积为 。 10．已知各项都为正数的数列满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求的通项公式。 竞赛培优 11．（2020·江苏高考·能力点3,5）已知数列的首项，前n项和为设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列。 （1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为"λ∼3"数列，且若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1等比数列的概念 知识点1 等比数列的概念 ① 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0)。 ② 对等比数列定义的理解 （1）由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0。由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列。 （2）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒。 （3）定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列。当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列。 （4）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n>3,项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则此数列不是等比数列。 （5）等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断或是否为非零常数q。 （6）对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列。各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列。因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列。 例1-1（2022·湖北武汉二中高二期中）多选）下面各数列一定是等比数列的有（ ）。 A.-1,-2,-4,-8 B.1,2,3,4 C.x,x,x,x D. 解：根据等比数列的定义，A，D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C 不一定是等比数列。故选AD 例1-2（2023·全国高二专项练习）若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数列：①a+b,b+c,c+d;②ab,bc,cd;③a-b,b-c,c-d，必成等比数列的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 解：若a,b,c,d为1,-1,1,-1，则a+b,b+c,c+d不成等比数列，①不符合；由a,b,c,d必非零且公比为q,则ab，bc，cd也非零且公比为，②符合；若a,b,c,d为1,1,1,1，则a-b,b-c,c-d不成等比数列，③不符合。故选B 例1-3（2022·北京城区月考）若数列是公比为10的正项等比数列，则·是（ ）。 A.公比为的等比数列 B．公比为的等比数列 C.公差为的等差数列 D．公差为2的等差数列 解：数列是公比为的正项等比数列，则 设 ·, 则，即 是公比为的等比数列。故选A。 知识点2 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项。此时， 由等比数列的定义可知： 反之，若，则，即a，G，b成等比数列。 综上，a，G，b成等比数列 。 辨析比较 （1）在等比数列中，任取相邻的三项，则是与的等比中项。由此可得等比数列的第二种判定方法-等比中项法，即判断是否成立。 （2）“a,G,b成等比数列”与“b”是不等价的。前者可以推出后者，但后者不能推出 前者。如G=a=0,b=1,满足而0,0,1不成等比数列。因此，“成等比数列”是“”的充分不必要条件。 （3）等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 例2-1（2022·湖北恩施期末）已知a是1,2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab=（ ）。 A.6 B.-6 C.±6 D.±12 解：依题意知-解得，所以ab=±6。故选C。 例2-2（2022·山东枣庄期中）（多选）如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（ ）。 A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 0ac=-9 解：b是-1，-9的等比中项，±3。由等比数列奇数项符号相同，得b<0-b=-3，而b又是a，c的等比中项，∴ac，即ac=9。故选BC 例2-3（2022·湖南三湘名校教育联盟高二月考）已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则（ ）。 A.0 B.1 C.3 D.2 解：是公差为1的等差数列，设的公差为d,∴又是与的等比中项，即，解得。故选C。 知识点3 等比数列的通项公式 ① 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为公比为q，则这个等比数列的通项公式为。 ② 等比数列通项公式的推导 设等比数列的首项为，公比为q，则方法一（归纳法）：由等比数列的定义可知,···，归纳得当n=1时，上面的等式两边均为，所以等式也成立。 综上，当时， 方法二（迭代法）：根据等比数列的定义，得 方法三（累乘法）：根据等比数列的定义，得，以上各式两边分别相乘，得，即0 ③ 等比数列通项公式的变形及其应用 因为是等比数列，所以 ,，所以，所以 这表明： （1）在已知等比数列中任一项及公比q的前提下，可以利用求等比数列中任意项； （2）已知等比数列中的和两项，就可以利用求公比，其中m可大于n，也可小于n。 例3-1（2022·四川成都高二期末）在等比数列 中，,，则q=( )。 A. B. C.3 D. 解：由题意知，解得q=3。故选C。 例3-2（2022·山东济南历城二中模拟预测）在等比数列中，已知26，则（ ）。 A.20 B.12 C.8 D.4 解：设的公比为q,则，解得，所以。故选C。 例3-3（2022·辽宁渤海大学附中考试）已知递增等比数列中，，若，则n=( )。 A.5 B.6 C.7 D.8 解：设等比数列的公比为q，由题意可得解得或。 因为是递增数列，所以则由，得，解得q=2， 所以2. 由，得，解得n=8。故选D。 知识点4等比数列与指数型函数的关系 ① 等比数列的图像 等比数列的通项公式，还可以整理为，当q≠1，且时是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列的图像是函数的图像上一些孤立的点。例如，以1为首项，2为公比的等比数列的通项公式为1·，还可以写成。由此可见，表示这个等比数列的各点都在函数的图像上，如图4-3-1-1所示。 ② 等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为q，则 （1）当或时，等比数列为递增数列； （2）当或时，等比数列为递减数列； （3）当q=1时，等比数列为常数列（这个常数列中各项均不等于0）； （4）当q<0时，等比数列为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号）。显然，等比数列的单调性要比等差数列的单调性 最小项为复杂得多。 例4-1（2022·西南四省名校联考）设为等比数列的前n项之积，18,，则的最大值为 。 解：设等比数列的公比为q。由题意得解得 ，于是当n=4或n=5时， 取得最大值，最大值为 例4-2（2022·河北石家庄二中模拟预测）（多选）已知数列为等比数列，首项0，公比q∈(-1,0)，则下列叙述正确的是（ ）。 A.数列的最大项为 B.数列的最小项为 C.数列为递增数列 D.数列为递减数列 解：对于A，由题意知，当n为偶数时，当n为奇数时，1)<0,∴最大。综上所述，数列的最大项为正确；对于B，当n为偶数时，最小；当n 为奇数时，综上所述，数列的正确；C，D都错误。故选AB。 知识点5 等比数列在实际问题中的应用 等比数列在实际问题中应用广泛，解决这类问题要注意以下几点： （1）能建立等比数列模型的实际问题，必须是离散型的问题，且这些离散的量之间是倍数关系的问题。 （2）求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要。 （3）处理有关等比数列的实际应用题时，关键是认真分析题意，建立适当的等比数列模型，再进一步利用等比数列的有关知识加以解决即可。 例5（福建高考）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+(b-a)。这里，被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数 恰好使得(c-a)是（b-c）和（b-a）的等比中/项。据此可得，最佳乐观系数的值等于 。 解：已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中，把c=a+(b-a）代入上式，得·(b-a)，即因为b>a，所以b-a≠0，所以，即1=0，解得或（舍去）。答 基础达标 1．（2022·江西临川一中月考·知识点2）等比数列的各项均为正数，且，则 A.10 B.5 C.3 D.4 2．（2022·广西贵港高二期末·知识点2）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则。 A.2n+1 B.3n-2 C.16-3n D.13-2n 3．（2022·广东佛山南海中学高二阶段练习·知识点3）设等比数列的前n项和为，公比为q，若，则q= 。 4．（2022·上海复旦实验中学高二期末）已知在数列中，，则的通项公式 。 5．（2022·安徽安庆二中高二期末·知识点1，3）已知等差数列的前n项和为，等比数列各项均为正数， （1）求数列的通项公式； （2）求使得的n的最小值。 高考提升 6．（2022·黑龙江哈尔滨第六中学校高二期末）（多选）已知等比数列各项均为正数，其前n项积为若，则下列结论正确的是。 A..q>1 B. C.是中最小的项 D.使成立的n的最大值为18 7．（多选）已知数列的前n项和为且为非零常数），则下列结论中正确的是。 A.数列为等比数列 B.当p=1时， C.当时， D. 8．（2022·山东德州教育科学研究院高二期中）（多选）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率。设经过n年之后，该项目的资金为万元（取lg2≈0.30,lg3≈0.48)。。则下列叙述正确的是。 A. B.数列的递推关系是 C.数列000}为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 9．（2022·吉林东北师大附中模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）。用上面的方法可以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案······若最大的三角形边长为2，则操作4次后得到的第5个图案中，挖去的白色三角形个数为 ，挖去去的面积为 。 10．已知各项都为正数的数列满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求的通项公式。 竞赛培优 11．（2020·江苏高考·能力点3,5）已知数列的首项，前n项和为设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列。 （1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为"λ∼3"数列，且若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。 答案解析 基础达标 1．C【解析】：等比数列的各项均为正数，且 则。故选C。 2.B 【解析】因为，所以解得又成等比数列，所以，设公差为d，所以·(7+3d)，整理得。因为d≠0，所以d=3，从而。故选B。 3.1或 【解析】因为 所以 或 【解析】因为，所以，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以 5．（1）设等差数列的首项为，公差为d,由，可得，由， 可得，故 设等比数列的公比为q(q>0)，由， 可得，故q=2,。 （2）若，即，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，1<4;； 当n=4时，,2<5；当n=5时，4<6当n=6时，,8>7，所以n的最小值为6。 高考提升 6．AC【解析】对于A，因为1，所以，所以，所以q>1。故A正确。 于B，因为，所以n≥2时，，所以数列为递增数列。因为，所以，所以。故B错误。对于C，因为数列各项均为正数，前n项积为且n≤9时，有，所以，即时，有，所以,即，所以是中最小的项。故C 正确。对于D，因为1，而，所以使成立的n的最大值为17。故D错误。故选AC。7.AC 【解析】由2），得当n≥3时，，则，即 又，所以数列是首项为p，公比为的等比数列，故A正确；当p=1时，，故B不正确；的通项公式为等价于 可得故C正确； ，则，故D不正确。故选AC。 8．ACD【解析】根据题意，经过1年之后，该项目的资金为2200（万元），故A正确；，故B不正确；因为，则1000），即数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列，故C正确；，即。令 4000，则，至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，故D正确。故选ACD。 9.40 【解析】观察题图中黑色三角形以及白色三角形的个数，设白色三角形的个数为，黑色三角形的个数为，可以知道，故，则，即操作4次后得到的第5个图案中，挖去的白色三角形个数为40。由题意可知，设图中黑色三角形的面积为则，每次挖去的白色三角形面积都是上一个图案中对应的黑色三角形面积的,故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图案中黑色部分面积的，故图中黑色三角形面积构成首项为，公比为的等比数列，故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为则挖去的面积为 10．（1）证明：数列的各项均为正数，且,:是以为首项，3为公比的等比数列。 (2): 又是公比为3的等比数列，2·，两边同除以可得，令，得。又: .数列为常数列，即 .，即 竞赛培优 11．（1）因为等差数列是"λ∼1"”数列，所以，即也即(λ-1)，若λ=1，此式对一切正整数n均成立。若λ≠1，则恒成立，故0，而，这与是等差数列矛盾。所以λ=1 （2）因为数列是数列，所以，即。因为，所以，所以 。令，则，即，解得，即也即，所以数列是公比为4的等比数列。因为，所以则当n≥2时， （3）假设存在各项非负的数列 N＊）为"λ∼3"”数列，则，即因为，而，所以，则综上所述， 令，则，即 ①若λ≤0或λ=1，则（＊）只有一解为1，即符合条件的数列只有一个，此数列为1,0,0,0,⋯。 ②若λ>1，则(*)可化为 。，因为，所以， 则(*)只有一解为，即符合条件的数列只有一个，此数列为1,0,0,0,⋯。 ③若0<λ<1，则的两根分别在（0,1）与（(1,+∞)内，则方程（＊）有两个解，其中一个为1，另一个大于1，记此解为t，则或 由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同的结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的数列有无数多个。综上所述，能存在三个各项非负的数列为“"λ∼3"”数列，λ的取值范围是0<λ<1。 学科网（北京）股份有限公司 $$