16.3 二次根式的加减 八大题型+实战演练-2024-2025学年人教版数学八年级下册

16.3 二次根式的加减【八大题型】 【人教版】 题型梳理 【题型1 能合并的二次根式】 1 【题型2 二次根式的加减】 3 【题型3 分母有理化】 4 【题型4 比较二次根式的大小】 8 【题型5 二次根式的混合运算】 10 【题型6 二次根式的化简求值】 12 【题型7 二次根式中的规律探究】 15 【题型8 二次根式的应用】 18 考点一•二次根式的加减 二次根式的加减： 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 注意：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 【题型1 能合并的二次根式】 【例1】在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的所有项之和为 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式等知识．先将化为最简二次根式，再找到规律即可解题． 【详解】解：∵，， ∴在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的有，，，…，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意； B、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可以为，，，， ∴或或或， 解得：或或或， 故答案为：． 【变式1-3】若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 【题型2 二次根式的加减】 【例2】张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，分别填入加减乘除在圆圈里面，根据二次根式的相关计算法则求出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； ∴“○”中可以填的符号是或， 故选：C． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 【变式2-2】已知，则整数的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴整数的值是4， 故选：C． 【变式2-3】我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【题型3 分母有理化】 【例3】阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式3-2】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 【变式3-3】已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 【变式4-1】比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 【变式4-2】已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将，进行分母有理化，再比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式4-3】的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 【详解】解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 考点二•二次根式的混合运算 【题型5 二次根式的混合运算】 【例5】按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先求得，即，然后利用运算程序计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】已知，求下列各式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：． 【变式5-2】估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数．先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D， 故选：D． 【变式5-3】幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【题型6 二次根式的化简求值】 【例6】已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 【变式6-2】【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【变式6-3】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 【题型7 二次根式中的规律探究】 【例7】观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【变式7-1】如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 【变式7-2】在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：，，，，……，通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察一系列等式，归纳总结得到一般性规律：被开方数中的前两个数是每位都是9，且位数与式子的序号相同，最后一个数是前边的数前面多一位1，等号右边是整数，第一位是1，后边0的个数是式子的序号，即可得到结果． 【详解】解：∵，，，，……， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的规律是解本题的关键． 【变式7-3】小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 【题型8 二次根式的应用】 【例8】某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用， （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费 根据题意求出通道的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，通道的总面积为： （2）由（1）小问可知：通道的总面积为： 购买地砖需要花费：（元） 【变式8-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 【变式8-2】一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 【变式8-3】快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算，先求出甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为，然后估计这两件礼品的底边边长的大小，于三款包装纸箱的尺寸比较即可得出答案． 【详解】解：从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱，理由如下： ∵甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，． ∴甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱． 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练其运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 3．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 5．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 6．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：灵活运用整体代入的方法可简化计算．也考查了分式的化简求值和分母有理化．．先计算，和的值，再运用通分、因式分解的方法把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ，，， ． 故答案为：． 7．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算； 如图，首先证明右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，然后求出是边长为的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 同理可得：右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形， 而是边长为的等腰直角三角形， ∴阴影部分长方形纸条的总面积为： ， 故答案为：． 8．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 9．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，把，，代入中计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 【答案】39 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 12．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以，估算无理数的大小，分母有理化． （）根据算术平方根的定义估算无理数即可解答； （）估算的值，确定，的值，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：，即 ∴的小数部分为：，即； （2）解：∵，其中是整数，且，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，， 且，求T的值． 【答案】(1)， (2) ，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得 ， ，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得 ，即可求解； （3） ，代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解： ， 理由如下： ； （3）解： ． 14．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 15．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 二次根式的加减【八大题型】 【人教版】 题型梳理 【题型1 能合并的二次根式】 1 【题型2 二次根式的加减】 2 【题型3 分母有理化】 2 【题型4 比较二次根式的大小】 3 【题型5 二次根式的混合运算】 4 【题型6 二次根式的化简求值】 5 【题型7 二次根式中的规律探究】 6 【题型8 二次根式的应用】 7 考点一•二次根式的加减 二次根式的加减： 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 注意：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 【题型1 能合并的二次根式】 【例1】在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的所有项之和为 【变式1-1】下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【变式1-3】若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【题型2 二次根式的加减】 【例2】张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】已知，则整数的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【题型3 分母有理化】 【例3】阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【变式3-3】已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 【变式4-1】比较大小： ①                 ② 【变式4-2】已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式4-3】的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 考点二•二次根式的混合运算 【题型5 二次根式的混合运算】 【例5】按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，求下列各式的值． (1)； (2) 【变式5-2】估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【题型6 二次根式的化简求值】 【例6】已知，求代数式的值． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【变式6-3】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【题型7 二次根式中的规律探究】 【例7】观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【变式7-1】如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【变式7-2】在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：，，，，……，通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【题型8 二次根式的应用】 【例8】某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 【变式8-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【变式8-3】快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 3．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 4．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 6．已知，，则的值为 ． 7．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    8．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 9．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示） 10．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 11．计算： (1)； (2)． 12．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 13．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，， 且，求T的值． 14．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 15．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$