16.2 二次根式的乘除 九大题型+实战演练-2024-2025学年人教版数学八年级下册

16.2 二次根式的乘除【十大题型】 【人教版】 题型梳理 【题型1 二次根式的乘法法则】 1 【题型2 积的算术平方根的性质】 2 【题型3 利用二次根式的乘法比较大小】 2 【题型4 把根号外的非负因数（式）移到根号内】 3 【题型5 二次根式乘法的实际应用】 4 【题型6 二次根式的除法法则】 5 【题型7 商的算术平方根的性质】 5 【题型8 最简二次根式】 6 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 6 【题型10 二次根式除法的应用】 6 考点一•二次根式的乘法 二次根式的乘法： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 （，） 积的算术平方根化简公式： （，） 注意：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如· （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 【题型1 二次根式的乘法法则】 【例1】若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【变式1-1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式1-2】计算： 【变式1-3】直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【题型2 积的算术平方根的性质】 【例2】设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝ ． 【变式2-1】若，则的取值范围是 ． 【变式2-2】写出一个含有二次根式的式子，使它与的积是有理数，则这个式子可以是 （只需要写出一个即可）． 【变式2-3】当时，化简的结果是 ． 【题型3 利用二次根式的乘法比较大小】 【例3】我们知道：无理数是无限不循环的小数．下面是探究无理数的大小过程： 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； …… 如此进行下去，可以得到的更加精确的近似值． （1）请仿照上面的思考过程，请直接写出无理数的大致范围？（精确到0.01） （2）填空：①比较大小：______（填“>、<或=”） ②若、均为正整数，，，则的最小值是______． （3）现有一块长，宽为的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？ 【变式3-1】比较大小：8 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【变式3-2】估计的大小应（　　） A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间 【变式3-3】比较下列各数的大小 (1)和 (2)和 【题型4 把根号外的非负因数（式）移到根号内】 【例4】将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】把根号外的因式移进根号内，结果等于(    )． A． B． C． D． 【变式4-2】若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 【变式4-3】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【题型5 二次根式乘法的实际应用】 【例5】农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】生物老师想设计一块长方形的实验基地，便与同学们进行实验观察，他把长方形基地设计成长为，宽为，则这块实验基地的面积是 ． 【变式5-2】交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时 超速.（填“已经”或“没有”） 【变式5-3】二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．    考点二•二次根式的除法 二次根式的除法： 类型 法则 逆用法则 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 最简二次根式： （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如，，，等都是最简二次根式. 注意：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 【题型6 二次根式的除法法则】 【例6】若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【变式6-3】当时，化简 ． 【题型7 商的算术平方根的性质】 【例7】已知，，则 ． 【变式7-1】能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【变式7-2】下列各式错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式7-3】化简下列各式： (1) (2) 【题型8 最简二次根式】 【例8】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【变式8-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】将 化为最简二次根式为 ． 【变式8-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 【例9】在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【变式9-1】计算： ． 【变式9-2】计算：． 【变式9-3】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 【题型10 二次根式除法的应用】 【例10】据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）． （1）求从40米高空抛物到落地时间； （2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能） 【变式10-1】在一条传输带上，有一件物品随传输带在秒的时间内匀速前进了56米，传输带与物体之间没有相对滑动，求传输带的速度． 【变式10-2】站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是 . 【变式10-3】已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．与计算结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 5．已知x是整数， 是整数，则x的最小值（  ） A．2 B．3 C．4 D．18 6．计算： ． 7．已知：，则 ． 8．我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为 ． 9．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 10．化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 11．计算∶ (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 14．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 15．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 二次根式的乘除【十大题型】 【人教版】 题型梳理 【题型1 二次根式的乘法法则】 1 【题型2 积的算术平方根的性质】 3 【题型3 利用二次根式的乘法比较大小】 5 【题型4 把根号外的非负因数（式）移到根号内】 7 【题型5 二次根式乘法的实际应用】 9 【题型6 二次根式的除法法则】 11 【题型7 商的算术平方根的性质】 12 【题型8 最简二次根式】 14 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 15 【题型10 二次根式除法的应用】 17 考点一•二次根式的乘法 二次根式的乘法： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 （，） 积的算术平方根化简公式： （，） 注意：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如· （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 【题型1 二次根式的乘法法则】 【例1】若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算，先计算，根据，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个数落在了数轴上的④段． 故答案为：④． 【变式1-1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式1-2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式1-3】直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积． 【题型2 积的算术平方根的性质】 【例2】设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝ ． 【答案】m2n 【分析】分解，用含，的式子表示，再用m，n代替即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟悉二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 【变式2-1】若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2-2】写出一个含有二次根式的式子，使它与的积是有理数，则这个式子可以是 （只需要写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵，且22是有理数， ∴这个式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键． 【题型3 利用二次根式的乘法比较大小】 【例3】我们知道：无理数是无限不循环的小数．下面是探究无理数的大小过程： 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； …… 如此进行下去，可以得到的更加精确的近似值． （1）请仿照上面的思考过程，请直接写出无理数的大致范围？（精确到0.01） （2）填空：①比较大小：______（填“>、<或=”） ②若、均为正整数，，，则的最小值是______． （3）现有一块长，宽为的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？ 【答案】（1）；（2）①>；②4；（3）他的方法可行，理由见解析． 【分析】（1）根据题目所给的求得近似值的方法进行仿照求得近似值即可； （2）①将两个数进行平方，平方后再进行比较即可；②要使得 有最小值，只需要求得和的最小值，再进行计算即可得到答案； （3）由题意可知只需要比较与4.1的大小，与3的大小即可得到答案. 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， （2）①∵， ∴ ∴ 故答案为：＞. ②∵，， ∴； ∵且为正整数 ∴a的最小值为3 ∵，， ∴ ∵且为正整数 ∴b的最小值为1 ∴的最小值为4； （3）∵两个正方形的面积分别为、 ∴两个正方形的边长分别为、 ∵， ∴ ∴这个方法可行 【点睛】本题主要考查了无理数的估值和比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式3-1】比较大小：8 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用平方法比较实数的大小是解决此题的关键． 通过比较8和的平方的大小可判断8和的大小． 【详解】解：∵， 而， ， 故答案为：． 【变式3-2】估计的大小应（　　） A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法法则可知＝，再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得4＜＜5，可得结果． 【详解】解：∵＝，16＜24＜25， ∴4＜＜5， 即4＜＜5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式3-3】比较下列各数的大小 (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 【题型4 把根号外的非负因数（式）移到根号内】 【例4】将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质．先判断出，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：B 【变式4-1】把根号外的因式移进根号内，结果等于(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析： 故选D. 【变式4-2】若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 【答案】 【分析】根据二次根式的性质变形即可得到答案. 【详解】解： ，， 把代数式中的m移进根号结果是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性质，熟知二次根式的性质和计算法则是解题关键. 【变式4-3】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【题型5 二次根式乘法的实际应用】 【例5】农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 【变式5-1】生物老师想设计一块长方形的实验基地，便与同学们进行实验观察，他把长方形基地设计成长为，宽为，则这块实验基地的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的面积及二次根式的乘法运算的应用，根据“矩形的面积长宽”列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可求出答案． 【详解】解：这块实验基地的面积是， 故答案为：． 【变式5-2】交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时 超速.（填“已经”或“没有”） 【答案】已经 【分析】把d、f的值代入公式进行计算即可得解． 【详解】∵d=24m，f=1.3，∴v=161616×5.59≈89.4km/h． ∵89.4＞80，∴肇事汽车当时已经超速． 故答案为已经． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，把已知数据代入公式进行计算即可，计算时要用计算器． 【变式5-3】二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法的应用，算术平方根的应用，先根据长方形的面积求出长方形的面积，即可得出圆的面积，然后根据圆的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴长方形的面积为：， ∵圆的面积等于长方形的面积， ∴圆的面积为， ∴圆的半径为． 故答案为：． 考点二•二次根式的除法 二次根式的除法： 类型 法则 逆用法则 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 最简二次根式： （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如，，，等都是最简二次根式. 注意：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 【题型6 二次根式的除法法则】 【例6】若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，二次根式的除法等知识，先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入，根据二次根式的除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式6-1】若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 【变式6-2】对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-3】当时，化简 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 【详解】由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【题型7 商的算术平方根的性质】 【例7】已知，，则 ． 【答案】-0.5706 【分析】把0.3256化为再利用 计算即可得到结果． 【详解】解：当时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是把0.3256化为． 【变式7-1】能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】下列各式错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：,故A项正确； ,故B项正确； ,故C项错误； ,故D项正确. 故选C. 【变式7-3】化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型8 最简二次根式】 【例8】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 【变式8-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 【变式8-2】将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 【例9】在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 【变式9-1】计算： ． 【答案】/ 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键． 【变式9-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式9-3】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 【答案】18 【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， 故答案为：18． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 【题型10 二次根式除法的应用】 【例10】据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）． （1）求从40米高空抛物到落地时间； （2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能） 【答案】（1）2s；（2）不正确，见解析；（3）90焦耳，严禁高空抛物 【分析】（1）将h=40代入t=进行计算即可； （2）将h=80代入t=进行计算即可，根据 t2与t1的比值即可得出结论； （3）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【详解】解：（1）由题意知h＝40米， t＝＝＝ ＝2（s）， （2）不正确， 理由如下：当h2＝80m时，t2＝＝＝4（s）， ∵4≠2×2， ∴不正确， （3）当t＝6s时，6＝，h＝180m， 鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（焦耳）， 启示：严禁高空抛物． 【点睛】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 【变式10-1】在一条传输带上，有一件物品随传输带在秒的时间内匀速前进了56米，传输带与物体之间没有相对滑动，求传输带的速度． 【答案】传输带的速度是米/秒 【分析】根据题意列出算式即可求解． 【详解】解：（米/秒）． 答：传输带的速度是米/秒． 【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式10-2】站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是 . 【答案】160 【分析】把h=2000代入公式进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 【变式10-3】已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法除法及求算术平方根，根据二次根式乘除法运算法则及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A成立，符合题意； B、，故B不成立，不符合题意； C、，故C不成立，不符合题意； D、，故D不成立，不符合题意； 故选：A． 2．与计算结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 4．计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据除数等于被除数除商成为解题的关键. 根据除数等于被除数除商列式计算即可. 【详解】解：∵， ∴□中的数为. 故选A. 5．已知x是整数， 是整数，则x的最小值（  ） A．2 B．3 C．4 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，由是整数可得是整数，进而得出的值为9或1，由此可解． 【详解】解： 是整数，且x是整数， 的值为9或1， x的值为2或18， x 的最小值为2． 故选：A． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 8．我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、根据新定义运算，理解新定义运算的法则是解题的关键，将代入新定义计算即可． 【详解】解：由新定义运算性质得： ， 故答案为：． 9．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 10．化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 【答案】5 【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解． 【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ， 故有：，则． 故答案为：5． 【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式． 11．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 13．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 14．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 15．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； （2）． 【点睛】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$