专题五- 最值专题 课件 2025年九年级中考数学一轮考点精讲（广东）

专题五 最值专题 最值问题可以分为几何最值和函数最值两类.在解决几何最值问题中，一般情况下是依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两个基本事实，进行思考；在解决函数最值问题中通常将所研究的问题转化为函数，再通过函数的性质，确定函数的最值.在本专题中总结了中考常用的相关模型和方法，有助于快速找到解题思路，提升几何直观、推理能力和空间观念等核心素养. 返回目录 类型一 运用“两点之间线段最短”的原理求最值 运用“垂线段最短”的原理求最值 类型二 类型三 运用“辅助圆”求最值 运用函数求最值 类型四 课后作业 ＊ 运用“两点之间线段最短” 的原理求最值 对接中考 拓展延伸 返回目录 对接中考 题型一　“将军饮马”求最值 类型 1.“两定一动”型 2.“一定两动”型 3.造桥选址模型 示例 定点A，B在直线l同侧，在直线l上找一个点P，使PA + PB最小   在∠MON的内部有一定点P，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使△PAB的周长最小   两条距离为d的平行线（l1和l2），定点A，B在直线外侧.分别在直线l1，l2上找点C，D，使得CD⊥l1，且AC + CD + BD最短   作法 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求 分别作点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OM，ON于点A，B，点A，B即为所求 将点A向下平移d到A′，连接A′B交l2于点D，过点D作DC⊥l1，连接AC,点C，D即为所求 返回目录 【易】1. 【教材变式】（母题源自北师大版七下P123题5）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO + PA的最小值为 . 对接中考 5 返回目录 【易】2. 如图，在∠AOB的内部有一点P，∠AOB = 45°，OP = 2，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小为 ． 对接中考 2 返回目录 【易】3. 如图，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF = 1，则GE + CF的最小值为 ． 对接中考 3 返回目录 拓展延伸 题型二　运用“逆等线”模型求最值 模型 示例 作法 思路 “逆等线” 模型 在△ABC中， D，E分别是AB，AC上的动点，且AD = CE，求BE + CD的最小值   （1）构造等角，过点C作CM∥AB，使∠ECF = ∠A. （2）截取等长，在CM上截取CF = AC. （3）连接EF，BF   易得△ADC ≌ △CEF， ∴BE + CD = BE + EF. BE + CD的最小值为线段BF的长 返回目录 拓展延伸 【中】4. 如图，△ABC中，∠ACB  =  60°，AB = 5，AC = 4，点D，E分别是AB，BC上的动点，且AD = BE，连接AE，CD，则AE + CD的最小值为 . 返回目录 拓展延伸 【中】5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE = CF，连接BF，DE，则BF + DE的最小值为_________. 返回目录 拓展延伸 【难】6. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在边AC和BC上，连接AE，BD.若AC + CD = 5，BC + CE = 8，则AE + BD的最小值为 . 点拨：如图析，构造△B'CN≌ △BDC， △CA'M ≌ △EAC，则点B'和点A'为定点；延长A'M和B'N交于点C'，当且仅当点B'，C，A'共线时，BD + AE = B'C + A'C ≥ A'B' = . 返回目录 运用“垂线段最短” 的原理求最值 对接中考 拓展延伸 返回目录 题型一　直接用垂线段最短求最值 原理 示例 作法 垂线段最短  如图，点 A 为直线 l 外一定点，点 P 为直线 l 上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小 过点A作直线l的垂线交直线l于点P，则AP的值最小 对接中考 返回目录 【易】7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 4，AC = 3，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为 . 对接中考 返回目录 【易】8. 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，点D在BC上，以AC为对角线作平行四边形ADCE，则DE的最小值是 . 对接中考 3 返回目录 【易】9. 如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y = x + 4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 . 2 对接中考 返回目录 题型二　运用“胡不归”模型和“瓜豆”模型求最值 模型 示例 作法 “胡不归”模型  如图，点 A 为直线 l 上一 定点，点B为直线l外一定 点，点P为射线上一动点， 试确定点 P 的位置，使 kAP + BP（0 < k < 1）的 值最小 一找：找到kAP； 二构：构造以AP为斜边的直角三角形，且sin∠NAP = k，则kAP = PN； 三转化：kAP + BP = BP + PN，当点B，P，N三点共线时，kAP + BP的值最小 “瓜豆”模型 （本质是旋转 相似三角形，即 △ABB′ ∽ △ACC′）  如图，点 B在直线 l上运动， 点A为直线l外一定点，若 在运动过程中保持∠BAC 大小不变，且AC = k AB （k为常数），求AC的最小值 在直线l上取两点B，B′，作∠ACC′ = ∠ABB′，则点C的运动轨迹也为一条直线. AB最短时，AC最短 对接中考 返回目录 【中】10. 如图，△ABC中，AB = AC = 10，tan A = 2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值为 . 4 对接中考 返回目录 【中】11. 如图，Rt△ABC中，AB = AC = 3，点O在AC上，且AO = 1，D为BC上任意一点，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为 . 对接中考 返回目录 【难】12. （2024四川凉山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AB = 2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN，CN.则2EN + BN的最小值为 . 点拨：如图析，连接AN，过点N作NP⊥BC.套用“胡不归”模型得2EN + BN = 2（AN + NP），A，P，N三点共线取到最小值. 拓展延伸 返回目录 【难】13. （2024吉林长春节选）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图1，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图.如图2，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB = AC = CD = 2 m，∠ACB = 30 °.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM = DN，则钢丝绳MN长度的最小值为 m. 拓展延伸 返回目录 【难】13. （2024吉林长春节选）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图1，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图.如图2，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB = AC = CD = 2 m，∠ACB = 30 °.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM = DN，则钢丝绳MN长度的最小值为 m. 拓展延伸 点拨：如图析，借助平行四边形性质，构造PD = MN，可知P的轨迹为一条直线，当DP⊥AP时最短. 返回目录 运用“辅助圆”求最值 对接中考 拓展延伸 返回目录 对接中考 类型 1.定点定长型 2.等弦等角型 3.对角互补型 4.定弦定角型 示例 例1：如图，点A为定点，点B为动点，AB 为定长   例2：如图DC为△ACD和△BCD的公共边，点A，B 在CD的同侧，∠A = ∠B   例3：如图，由点A，B，C，D构成的四边形中，∠D + ∠B = 180°   例4：线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变   结论 点B的运动轨迹为以点A为圆心，AB长为半径的圆 A，B，C，D四点共圆 A，B，C，D四点共圆 点C的运动轨迹是△ABC的外接圆 返回目录 【易】14. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，点F在边AC上，并且CF = 1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，连接BP，则线段BP长的最小值是 . 对接中考 返回目录 【易】15. 如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC = ∠ADC = 45°，AC = 6，则AD的最大值为 . 对接中考 6 返回目录 【易】16. 如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 45°，BC = + 1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为 . 点拨：对角互补，P，D，C，E 四点共圆，PC 为圆 O 的直径 . 当 CP⊥AB 时，DE 最短 . 易得，DE = 对接中考 返回目录 【中】17. （2021广东）在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 3.点D为平面上一个动点，∠ADB = 45°，则线段CD长度的最小值为 . 对接中考 点拨：∠ADB = 45 °，AB = 2 ，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O，D，C三点共线时，CD的最小值 = OC - OD. 返回目录 拓展延伸 类型 定角定高型 示例  如图，已知直线 l 外一点 P，点 P 到直线 AB 的 距离为定值 h（定高），∠APB的度数为定值 （定角），则AB有最小值 作法 作△PAB的外接圆，连接PO，过O作OM⊥AB.PD ≤ OP + OM，当且仅当D，M重合时等号成立，AB有最小值 返回目录 拓展延伸 【难】18. 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，AD⊥BC于点D，且AD = 4，则△ABC面积的最小值为 . 点拨：如图析，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵OA + OE = AD时，BC最短， ∴r + r = 4，r = ，∴BC = ， S△ABC = BC × AD = × 4 × = . 返回目录 运用函数求最值 对接中考 拓展延伸 返回目录 【易】19. （2024江苏扬州）如图，点A，B，M，E，F依次在直线l上，点A，B固定不动，且AB = 2，分别以AB，EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN = 90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H.若BE = 10，当点M在点B，E之间运动时，HE的最大值为 . 点拨：设BM = x，EH = y，相似得y = - x2 + 5x = -( x - 5)2 + 12.5 ，最终求得答案. 对接中考 12.5 返回目录 【易】20. 如图，已知二次函数y = -x2 - 3x + 4的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则点P到直线AC距离的最大值是 . 点拨：如图析，作PM∥y轴交AC于点M，PM = - m2 - 3m + 4 -（m + 4）= -（m + 2）2 + 4，易得PM的最大值为4.易证△PMH为等腰直角三形，PH = PM = 4 × = 2. 对接中考 2 返回目录 拓展延伸 ※两点间距离公式 在平面直角坐标系中，点A（x1，y1）,B（x2，y2），则A，B两点间的距离为d = . ※均值定理 定理：a + b（a > 0，b > 0），当且仅当a = b时等号成立 代数证明： ∵（x - y）2 ≥ 0， ∴ x2 + y2 ≥ 2xy. 令a = x2，b = y2， ∴a + b， 当且仅当a = b时等号成立 几何证明： 如图，记线段AD = a，BD = b ， x = = OC ≥ CD = . 返回目录 拓展延伸 【中】21. y = +的最小值为 . 点拨：y = + =+. 如图析，看作x轴上有一动点C（x ，0）， 到定点A（1，1），B（4，2）距离之和 最短，用将军饮马求最小值即可. 3 返回目录 拓展延伸 【难】22. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB = 90°，AB = 2AC，D为BC边上的一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，交边AB于点E.若AC = 2，则线段BE的最大值为 . 返回目录 拓展延伸 点拨：如图析1，以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A（-4，0），点C（-4，2），则直线BC为y = x.记点D为（2m，-m）（- < m < 0），易证△ADF∽△DEF，∴ = .则EF = = . ∴BE = -2m - = = × . ∵ =12 - 5(2 + m) - = 12 - [5(2 + m) + ] ≤ 12 - 4. ∴BE的最大值为6 - . 返回目录 拓展延伸 【另解】要求BE最大值，即求AE的最小值， 即仅需求半径的最小值.当☉O与BC相切时， OD最小.如图析2，记AO = x，则OD = x， 由勾股定理可得得x2 + (2 - 2 )2 = (4 - x)2解得, 从而有BE = 4 - 2x = 6 - 2 . 【难】22. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB = 90°，AB = 2AC，D为BC边上的一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，交边AB于点E.若AC = 2，则线段BE的最大值为 . 6 - 2 返回目录 $$