专题七 函数与几何综合专题课件 2025年中考数学一轮考点精讲（广东）

专题三 函数与几何综合专题 函数与几何综合题常作为中考压轴题.这类试题综合性强，灵活多变，思维难度大，对学生的几何直观、空间观念、推理能力有较高的要求 .分析该类问题要充分利用图形的性质和函数的性质，用分类讨论、数形结合的方法解决问题. 拓展延伸 返回目录 类型一 一次函数背景下的代几综合 反比例函数背景下的代几综合 类型二 二次函数背景下的代几综合 类型三 课后作业 ＊ 类型一 一次函数背景下的代几综合 （5年2考: 2024年第23题、2023年第23题） 对接中考 拓展延伸 返回目录 【中】1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一个动点. （1）如图1，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰直角三角形ABC.若OB = 3，则点C的坐标为 . （3，7） 对接中考 返回目录 解：如答图，过点E作EF⊥x轴于点F. ∴∠EFD = ∠BDE = ∠BOD = 90°， ∴∠BDO + ∠EDF = 90° ，∠BDO + ∠DBO = 90°. ∴∠DBO = ∠EDF. ∵BD = DE， ∴△BOD≌△DFE（AAS）. ∴BO = DF = 4，OD = FE. （2）如图2，若OB = 4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角三角形BDE，连接AE，求证：AE⊥AB. 对接中考 返回目录 ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA = OB = 4. ∴∠BAO = 45°. ∴OA = DF. ∴OA + AD = DF + AD，即OD = AF. ∴AF = EF. ∴∠EAF = 45°. ∴∠BAE = 90°. ∴BA⊥AE. 对接中考 返回目录 （3）如图3，在图1的基础上，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰直角三角形OBF.连接CF，交y轴于点P，直接写出线段BP的长度. 解：BP = 2. 点拨：如图析，过点C作CG⊥y轴于点G. 易证△ABO ≌ △BCG，∴BO = GC，AO = BG = 4. ∵BF = BO，∠OBF = 90°， ∴BF = GC，∠CGP = ∠FBP = 90°. 又∵∠CPG = ∠FPB，∴△CPG≌△FPB（AAS）. ∴BP = GP，∴BP = BG = 2. 对接中考 返回目录 【难】2.（ 2023广东）如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的顶点 A在 x轴的正半轴上 .如图 2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0° < α < 45°），AB交直线y = x于点E，BC交y轴于点F. 对接中考 返回目录 （1）当旋转角∠COF为多少度时，OE = OF（直接写出结果，不要求写解答过程）？ 解：当旋转角∠COF = 22.5°时，OE = OF. 对接中考 返回目录 （2）若点A（4，3），求FC的长. 解：如答图1，过点A作AG⊥x轴于点G， 则有AG = 3，OG = 4， ∴OA²= = 5. ∵四边形OABC是正方形， ∴OC = OA = 5，∠AOC = ∠C = 90°. 一般利用面积法、勾股定理、三角函数、相似三角形求线段长. 思路引导 对接中考 返回目录 （2）若点A（4，3），求FC的长. 又∵∠COF + ∠FOA = 90°， ∠AOG + ∠FOA = 90°， ∴∠COF = ∠GOA. ∴△AOG ∽ △FOC. ∴ = . ∴FC = = = . 对接中考 返回目录 （3）如图 3，对角线 AC交 y轴于点 M，交直线 y = x于点 N，连接 FN.将△OFN 与△OCF的面积分别记为与.设S = - ，AN = n，求S关于n的函数表达式. 对接中考 返回目录 解：如答图2，过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q. ∵四边形OABC是正方形， ∴OA = AB = BC = CO，∠B = ∠BCO = ∠COA = 90°.BC∥OA. ∴∠BCA = ∠OCA = 45°， 又∵∠FON = 45°，∴∠FCN = ∠FON = 45°. ∴F，C，O，N四点共圆. ∴∠OFN = ∠OCA = 45°. ∴∠OFN = ∠FON = 45°. ∴△FON是等腰直角三角形. ∴FN = NO，∠FNO = 90°.∴∠FNP + ∠ONQ = 90°. 对接中考 返回目录 又∵∠NOQ + ∠ONQ = 90°， ∴∠NOQ = ∠FNP. ∴△NOQ ≌ △FNP（AAS）. ∴NP = OQ，FP = NQ. ∵QP⊥BC， ∴∠QPC = ∠BCO = ∠COQ = 90°. ∴四边形OQPC是矩形. ∴CP = OQ，OC = PQ. ∴CP = PN. 对接中考 返回目录 ∴ = = = = + . = = CF × OC = ( PC - PF ) × ( PN + NQ ) = - . ∴S = - = . 又∵△ANQ为等腰直角三角形， ∴NQ = AN = n，∴S = = = . 对接中考 返回目录 【难】3. 在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形.如图1，AB是公共边，BC = BD，∠A = ∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形. 拓展延伸 返回目录 （1）如图 2，在线段 AD上找一点 E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由. 解：如答图所示，即为所求，在AD上取点E，使得CE = CD即可. 观察图2，可以联系前面学过的 “角分线相关的辅助线”解决问题. 思路引导 拓展延伸 返回目录 （2）在图2中，已知∠1 = ∠2，∠B + ∠D = 180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形. 证明：如答图，由（1）可知CE = CD， 则∠CED = ∠D， ∵∠CED + ∠CEA = 180°，∠B + ∠D = 180°， ∴∠B = ∠CEA， 又∵∠1 = ∠2，AC = AC， ∴△ABC ≌ △AEC（AAS）.∴BC = CE. ∴BC = CD，∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形. 拓展延伸 返回目录 （3）如图3，函数y = x +的图象与x轴交于点A，与函数y = x的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标. 拓展延伸 返回目录 解：点P的坐标为（2，0）或（0，2）. 点拨：当 x + = x时，解得x = 1. ∴y = ，∴B（1， ）. ∵△ABO与△ABP是共边偏差三角形，当点P在x轴上时，∴OB = BP， 如图析，过点B作BH⊥x轴于点H， 则PH = OH = 1，∴P（2，0）. 拓展延伸 返回目录 ∵函数y = x + 的图象与x轴交于点A，∴A（-2，0）. ∴tan∠BAH = ，∴∠BAH = 30°. ∵B（1，），∴tan∠BOH =， ∴∠BOH = 60°. ∴△OBP为等边三角形， ∴∠ABP = ∠ABO + ∠OBP = 90°， ∴点P关于点B的对称点P′的坐标为（0，2）. 拓展延伸 返回目录 类型二 反比例函数背景下的代几综合 （5年2考：2024年第23题、2020年第24题） 对接中考 拓展延伸 返回目录 【中】4. 如图，点 A（1，6）和点 B（3，m）是一次函数 y = -2x + b与反比例函数 y = （x > 0）的图象的两个交点，点C的坐标为（2，5）. 对接中考 返回目录 （1）求反比例函数的表达式及一次函数的表达式. 解：（1）把A（1，6）代入y = -2x + b中， 得6 = -2 × 1 + b， 解得b = 8.∴一次函数表达式为y = -2x + 8. 把A（1，6）代入y = （x > 0）中得6 = ， 解得k = 6. ∴反比例函数表达式为y = . 对接中考 返回目录 （2）设点M是y轴上的一个动点，当MA + MB最小时，求点M的坐标. 解：将B（3，m）代入y = -2x + 8中， 得m = 2，∴B（3，2）. 设点A关于y轴的对称点为A′（-1，6）， 如答图，连接A′B交y轴于点M， 则MA + MB最小，此时MA + MB = A′B. 设过点A′和B的直线为y = x + n， 对接中考 返回目录 将A′（-1，6），B（3，2）代入， 得解得 ∴y = -x + 5.当x = 0时，y = 5， ∴点M的坐标为（0，5）. . （2）设点M是y轴上的一个动点，当MA + MB最小时，求点M的坐标. 对接中考 返回目录 （3）在（2）的条件下，点 E 在直线 MD 上，其中 D，点 F 为坐标系内一点，当以 C，M，E，F为顶点的四边形为矩形时，直接写出点F的坐标. 思路引导 第（3）问中研究的“两定两动”型矩形存在性问题，本质是“两定一动”型直角三角形存在性问题.其中M，C是定点，点E在定直线MD上，所以先确定 Rt△MCE. 由“两线一圆”确定点E，经过平移确定点F. 对接中考 返回目录 解：点F的坐标为，或（0，-2 + 5）. 点拨：如图析， 将找以C，M，E，F为顶点的矩形CMEF先 转化为找Rt△CME.两定一动型，两线一圆 得到点E. 易得直线MD的表达式为y = - x + 5. 对接中考 返回目录 ①易得CM = 2，∠NM = 30°，∠CMD = 60°. ∴ = CM × cos 60°= 1. ∴MN = × cos 30° = ， = × sin 30° = . ∴∴ ②当x = 2时，y = -2 + 5， ∴ . 对接中考 返回目录 【难】5.（ 2024广东）【问题背景】如图 1，在平面直角坐标系中，点 B，D是直线 y = ax（a > 0）上第一象限内的两个动点（OD > OB），以线段 BD 为对角线作矩形 ABCD，AD∥x轴 .反比例函数 y = 的图象经过点A. 对接中考 返回目录 【构建联系】（1）求证：函数y = 的图象必经过点C. 思路引导 设出点A，B的坐标，表示点D，C的坐标，代入反比例表达式验证即可. 解：设B（m，ma），则A. ∵AD∥x轴，∴D点的纵坐标为 . 将y = 代入y = ax中，得= ax， ∴x =.∴D∴C. 将x = 代入y = 中得y = am， ∴函数y = 的图象必经过点C. 对接中考 返回目录 （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值. 解：∵点B（1，2）在直线y = ax上， ∴a = 2. ∴y = 2x. ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2. ∵函数y = 的图象经过点A，C， ∴C，A（1，k）.∴D. ∴DC = k - 2. 对接中考 返回目录 ∵把矩形ABCD沿BD折叠， ∴∠BCD = 90°，AB = DC. ∴BE = BC = - 1 ，∠BED = ∠BCD = 90°. ∴ = = = 2. 如答图1，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴. ∴∠DHE = ∠EFB = 90°. （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值. 对接中考 返回目录 ∵DH⊥y轴，CF⊥y轴，∴∠DHF = ∠CFH = ∠BCD = 90°. ∴四边形DCFH是矩形. ∴HF = DC.∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线. ∴∠HED + ∠BEF = 90°，∠BEF + ∠EBF = 90°. ∴∠HED = ∠EBF.∴△DHE∽△EFB. ∴ = = = 2. ∵BF = 1，DH = ，∴HE = 2，EF = .∴HF = 2 + . ∵HF = DC，∴2 + = k - 2，∴k = . 对接中考 返回目录 【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E，A重合时，连接AC交BD于点P.以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP = 3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围. 思路引导 在动态的背景下，先画出草图，借助草图确定临界状态⊙O和△ABC 的位置，然后结合图形性质解题. 对接中考 返回目录 解：∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，点E，A重合，∴AC⊥BD. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形. ∴AB = BC = CD = DA ，AC = BD ，AP = AC. ∴∠DHE = ∠EFB = 90°. ∴∠ABD = ∠BDA = 45°. ∴AB = BD × sin 45° = BD = AP. 对接中考 返回目录 ①当⊙O过点B时，如答图2，过点D作DH∥x轴交y轴于点H. ∴∠OHD = 90°.∴HO = HD. ∵OB = AC，OP = 3， ∴OP = OB + BP = AC + BP = 2AP + AP = 3. ∴AP =.∴AD = 2，AC = BD = 2. ∴DO = BO + BD = 2AC = 4 . ∴HO = HD = 4.∴HA = HD - DA = 4 - 2 = 2. ∴A（2，4）. ∴k = 2 × 4 = 8. 对接中考 返回目录 ②当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C， 如答图3，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H. ∴∠OHD = 90°.∴HO = HD. ∵AO = OC = AC，∴△AOC为等边三角形. ∵OP⊥AC，∴∠AOP = × 60° = 30°. ∴AP = tan 30°× OP = × 3 = . 对接中考 返回目录 ∴AC = BD = 2. ∴AB = AD = AP = 2，OD = OP + PD = 3 +. ∴DH = OH = DO × sin 45°= 3 + . ∴HA = HD - DA = 3 + - 2 = 3 - . ∴A（3 - ，3 + ）. ∴k = （3 - ）×（3 + ）= 6. ∴当⊙O与△ABC的边有交点时， k的取值范围为6 ≤ k ≤ 8. 对接中考 返回目录 【难】6.（2024四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = -x + m与直线y = 2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y = （k < 0）图象上. （1）求a，b，m的值. 解：把A（2，a）代入y = 2x， 得a = 2 × 2 = 4，∴A（2，4）， 将A（2，4）代入y = -x + m得4 = -2 + m， ∴m = 6.∴直线的表达式为y = -x + 6. 将B（b，0）代入y = -x + 6得0 = -b + 6，∴b = 6， ∴a的值为4，m的值为6，b的值为6. 拓展延伸 返回目录 （2）若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标和k的值. 思路引导 第（2）问问题的本质是“三定一动”型平行四边形存在性问题 . 点 O，A，B 已知，可通过平移得到点C的坐标. 解：C的坐标为（4，-4）或（-4，4），k的值为-16. 点拨：如图析，点C的坐标可通过平移得到， 由于反比例函数k < 0 ，∴点舍去. 拓展延伸 返回目录 （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，请求出k的值. 解：如答图，设直线AC的表达式为y = px + q， 把A（2，4）代入得4 = 2p + q，∴q = 4 - 2p. ∴直线AC的表达式为y = px + 4 - 2p. 在y = px + 4 - 2p中，令y = 0得x = , ∴D. ∵点E与点D关于y轴对称，∴E. ∵B（6，0），∴BE = 6 - = ,BD = 6 - = . 拓展延伸 返回目录 ∵△ABD与△ABE相似， ∴E只能在B左侧. ∴∠ABE = ∠DBA. ∵△ABD与△ABE相似， ∴ = ,即BE·BD = . ∵A（2，4），B（6，0），∴= 32. ∴ × = 32，解得p = 1. 经检验，p = 1满足题意，∴直线AC的表达式为y = x + 2. 拓展延伸 返回目录 ∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似， ∴直线AC与反比例函数y = （k < 0）图象只有一个交点. ∴x + 2 = 只有一个解， 即 + 2x - k = 0有两个相等的实数根， ∴Δ = 0，即 + 4k = 0，解得k = -1. 拓展延伸 返回目录 类型三 二次函数背景下的代几综合 （5年4考：2024年第23题、2022年第22题、2021年第25题、2020年第25题） 对接中考 拓展延伸 返回目录 【中】7. 如图1，抛物线y = a+ bx - 3与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式，并直接写出其顶点D的坐标. 解：由题意得y = a（x + 3）（x - 1）= a（ + 2x - 3）= a + bx - 3， ∴a = 1.∴抛物线的表达式为y = + 2x - 3. ∴D（-1，-4）. 对接中考 返回目录 （2）如图 2，连接 AC，DC，直线 AC 交抛物线的对称轴于点 M.若点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，且 = 2，求点P的坐标. 解：如答图，在直线AC上方作直线PF∥AC， 交抛物线于点P，交x轴于点F，过点A作AN⊥PF于点N. 令 x = 0，则y = -3，∴C（0，-3）. 设直线AC的表达式为y = kx + n， 将A（-3，0），C（0，-3） 代入得 解得 对接中考 返回目录 ∴直线AC的表达式为y = -x - 3. ∵AO = CO， ∴∠CAB = 45°. 在y = -x - 3中，当x = -1时，y = -2.则M（-1，-2）. ∴MC = = ，MD = -2 -（-4） = 2， CD = = . ∴ = + .∴△MCD是等腰直角三角形. ∵PF ∥AC，∴∠PFA = 45°. ∵ = 2，∴AN = 2CD = 2. 对接中考 返回目录 ∵AN⊥PF，∴∠ANF = 90°. ∴AF = = 4.∴F（1，0）. ∵PF∥AC， ∴直线PF的表达式为y = -x + t. 将点F（1，0）代入得t = 1. ∴直线 PF 的表达式为 y = -x + 1. 当 + 2x - 3 = -x + 1 时，解得 x = 1 或-4， 即点 P 的坐标为（1，0）或（-4，5）. 对接中考 返回目录 （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，N的坐标为（-1， ）或（-1，-） 或（-1，-1）或（-1，-3 + ）. 点拨：由两圆一线得到符合条件的点N有3种情况. 设点N（-1，m），易得 = 18， = 4 + ， = 1 + ， 对接中考 返回目录 ①当AC = AN时，18 = 4 + ，解得m = ± ， ∴点N（-1，± ）. ②当AC = CN时，18 = 1 + ， 解得m = -3 + 或-3 - （舍去）， ∴N（-1，-3 + ）. ③当AN = CN时，4 + = 1 + ，解得m = -1，∴N（-1，-1）. （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 对接中考 返回目录 【中】2.（2024四川广安）如图，抛物线y = - + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0）. 对接中考 返回目录 （1）求此抛物线的函数表达式. 解：∵抛物线y = - + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0）， ∴y = - ( x + 1) ( x - 3) = - + x + 2. 对接中考 返回目录 （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD + PE是否有最大值.若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由. 解：当x = 0时，y = 2.∴C（0，2）. 设直线BC的表达式为y = kx + 2. ∴3k + 2 = 0.解得k = - ， ∴直线BC的表达式为y = - x + 2. 对接中考 返回目录 设P ,∴D， ∴PD = ,PE = t，∴2PD + PE = . ∵ ＜0， ∴当t = = 时，有最大值，此时P. 对接中考 返回目录 （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB = 45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 如图析，在解决 45°角或正方形存在性问题时，要构造一线三垂直全等模型，然后通过对应边相等建立方程，求出点的坐标. 思路引导 对接中考 返回目录 （3）点M的坐标为或 . 点拨：如图析，以CB为对角线作正方形CTBK， 过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ交直线TQ于G. 则OB = GQ = 3， 设TQ = GB = m，则CQ = TG = 3 - m. ∴QO = 3 - m - 2 = 1 - m.∴T（m，m - 1）. 由TC = TB可得 + = + ， 解得m = ，∴T . 对接中考 返回目录 求出直线CT的表达式为y = -5x + 2. -5x + 2 = + x + 2,解得x = 0（舍去）或. ∴M.平移易得. 同理可得直线CK的表达式为y = x + 2. x + 2 = x + 2. 解得x = 0（舍去）或.∴M. 对接中考 返回目录 3.（2024内蒙古包头）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y = -2 + bx + c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM. （1）求该抛物线的函数表达式. 解：∵顶点为M（2，d）， ∴- = 2.∴b = 8.∴y = -2 + 8x + c. 将点A（1，0）代入y = -2 + 8x + c得-2 + 8 + c = 0， 解得c = -6，∴抛物线的表达式为y = -2 + 8x - 6. 拓展延伸 返回目录 （2）如图 2，若 C 是 y 轴正半轴上一点，连接 AC，CM. 当点 C 的坐标为时，求证：∠ACM = ∠BAM. 证明：如答图1，过点M作MN⊥x轴于点N. ∵y = -2 + 8x - 6 = -2 + 2， ∴M（2，2）. ∵A（1，0），C ， ∴AC = ，AM = ，CM = . 拓展延伸 返回目录 ∵ = +， ∴△ACM是直角三角形，且∠CAM = 90°. ∴tan∠ACM = 2. 在Rt△AMN中，tan∠MAB = 2， ∴∠ACM = ∠BAM. （2）如图 2，若 C 是 y 轴正半轴上一点，连接 AC，CM. 当点 C 的坐标为时，求证：∠ACM = ∠BAM. 拓展延伸 返回目录 （3）如图3，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E.当 = 时，3与2是否相等？请说明理由. 解：32，理由如下： 如答图2，过点D作DH⊥x轴于点H. ∵M（2，2），∴M′（2，-2）. ∵OE∥DH， = . 当y = 0时，-2 + 8x - 6 = 0，解得x = 1或x = 3. ∴B（3，0）∴ = ，解得= . 拓展延伸 返回目录 设直线AM′的表达式为y = kx + m ， ∴ 解得 设直线AM′的表达式为y = -2x + 2.∴D. ∴AD = ，DM′ = . 设 B 点到 AM'的距离为 h， ∴3 = × 3 × h = h， 2 = × 2 × h = h.∴3 = 2. 拓展延伸 返回目录 $$