2025年中考数学一轮考点精讲课件 专题八 开放性解答专题 （广东）

专题八 开放性解答专题 本专题中的开放性解答题包括阅读与思考题，跨学科探究题和项目式学习题.阅读与思考题一般是给出数学阅读材料，要求学生仔细阅读并进行信息筛选和问题转化，从而解决题目中给出的问题（或任务），考查学生阅读能力、思维能力和学习能力.跨学科探究题和项目式学习题是要求学生能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题，建立数学模型，最终得到符合问题背景的模型进行解答，重点考查学生的学习能力、实践能力和创新意识. 返回目录 类型一 阅读理解 跨学科探究 类型二 项目式学习 类型三 类型一 阅读理解 对接中考 拓展延伸 返回目录 1. 阅读材料，并解决问题. 通过小学的学习我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数都可化为带分数，如： = = 2 + = .在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）. 对接中考 返回目录 解决下列问题： （1）分式是 （填“真”或“假”）分式. 假 对接中考 如： = = 1 - . 再如： = = = x + 1 + . 返回目录 对接中考 （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. 解：由题意得 = = 2 - . ∵的值为整数，∴的值为整数. ∴x + 1 = ±1.∴x = 0或x = -2. 返回目录 （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为5m - 11 + ，求m2 + n2 + mn的最小值. 解：由题意得 = = 5x - 1 - = 5m - 11 + . ∴5m - 11 = 5x - 1，-（x + 2） = n - 6.∴m = x + 2，n = -x + 4. ∴m2 + n2 + mn = （x + 2）2 + （-x + 4）2 + （x + 2）（-x + 4） = x2 + 4x + 4 + x2 - 8x + 16 - x2 + 2x + 8 = x2 - 2x + 28 = （x - 1）2 + 27. ∴当x = 1时，m2 + n2 + mn取得最小值，为27. 对接中考 返回目录 2. 阅读与思考 下面是博学小组同学的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务. 关于“等边半正多边形”的研究报告 研究对象：等边半正多边形. 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念─性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究. 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明. 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形. 拓展延伸 返回目录 如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形. 类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形 研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形 ABCDEF 是等边半正六边形， 那么AB = BC = CD = DE = EF = FA，∠A = ∠C = ∠E，∠B = ∠D = ∠F，且∠A ≠ ∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如 下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为　▲　°. 对角线：…… 拓展延伸 返回目录 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： . 240 拓展延伸 返回目录 （2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线 AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由. 解：∠BAD = ∠FAD. 理由如下：如答图，连接BD，FD. ∵六边形ABCDEF是等边半正六边形， ∴AB = BC = CD = DE = EF = FA，∠C = ∠E. ∴△BCD ≌ △FED.∴BD = FD. 在△ABD与△AFD中，AB = AF，BD = FD，AD = AD， ∴△BAD ≌ △FAD. ∴∠BAD = ∠FAD. 拓展延伸 返回目录 （3）如图4，已知△ACE是正三角形，☉O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）. 解：答案不唯一，如答图，六边形ABCDEF即为所求.例如： 拓展延伸 返回目录 类型二 跨学科探究 对接中考 拓展延伸 返回目录 3. 铈（shì）元素属于稀土元素，稀土元素又称“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域.如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线，点A为两条曲线的交点.下列说法正确的是（ ） A. 0～80 ℃时，硫酸铈的溶解度随温度的增加逐渐增大 B. 0～80 ℃时，硫酸铈的溶解度始终小于硝酸钾的溶解度 C. 40 ℃时，硝酸钾的溶解度为硫酸铈的溶解度的3倍 D. 点A表示的意义为t ℃时，硫酸铈的溶解度与硝酸钾的溶解度相等 对接中考 D 返回目录 4. 【材料阅读】阅读下列材料，并解决下列问题. 材料一：等高线的概念.在地图上，我们把地面上海拔相同的点连成的闭合曲线叫做等高线.例如，如图1，把海拔是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成了50米、100米、150米三条等高线. 对接中考 返回目录 材料二：利用等高线地形图求坡度的步骤如下（如图2）. ①根据A，B两点所在的等高线地形图，分别读出点A，B的高度；A，B两点的铅直距离等于A，B两点的高度差. ②量出A，B两点在等高线地形图上的距离，记为d；若等高线地形图的比例尺为1∶n，则A，B两点的水平距离 = dn. ③AB的坡度 = . 对接中考 返回目录 【问题解决】某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3（示意图），小明每天从家A沿着公路AB，BP到学校P，小丁每天从家C沿着公路CP到学校P.该山城等高线地形图的比例尺为1∶50 000，在等高线地形图上量得AB = 1.8厘米，BP = 3.6厘米，CP = 4.2厘米. （1）分别求出AB，BP，CP的坡度.（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计） 对接中考 返回目录 （1）分别求出AB，BP，CP的坡度.（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计） 解：A，B两点的水平距离 = 1.8 × 50 000 = 90 000（厘米） = 900（米）， AB的坡度 = （200 - 100） ÷ 900 = . B，P两点的水平距离 = 3.6 × 50 000 = 180 000（厘米） = 1 800（米）， BP的坡度 = （400 - 200） ÷ 1 800 = . 对接中考 返回目录 （1）分别求出AB，BP，CP的坡度.（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计） C，P两点的水平距离 = 4.2 × 50 000 = 210 000（厘米） = 2 100（米）， CP的坡度 = （400 - 100） ÷ 2 100 = . 对接中考 返回目录 （2）假设当坡度在到时，小明和小丁步行的平均速度均为1.3米/秒，当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均为1米/秒.若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，那谁先到学校？（参考数据： ≈ 9.055， ≈ 1.414） 解：∵ ＜ ＜ ，∴小明在路段AB，BP上步行的平均速度均为1.3米/秒. ∵ ＜ ＜ ，∴小丁在路段CP上步行的平均速度为1米/秒. 对接中考 返回目录 （2）假设当坡度在到时，小明和小丁步行的平均速度均为1.3米/秒，当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均为1米/秒.若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，那谁先到学校？（参考数据： ≈ 9.055， ≈ 1.414） 斜坡AB的长度 = = ≈ 905.5（米）， 斜坡BP的长度 = = ≈ 1 811（米）， 对接中考 返回目录 （2）假设当坡度在到时，小明和小丁步行的平均速度均为1.3米/秒，当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均为1米/秒.若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，那谁先到学校？（参考数据： ≈ 9.055， ≈ 1.414） 斜坡CP的长度 = = ≈ 2 121（米）， ∴小明从家到学校的时间 = （905.5 + 1 811）÷ 1.3 ≈ 2 090（秒），小丁从家到学校的时间约为2 121秒.因此小明先到学校. 对接中考 返回目录 5.光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的折射率.现有一块折射率为的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是A1A2，B1B2，C1C2，D1D2的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线的交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，截面ABCD如图2所示，已知α = 60°，CD = 10 cm，求矩形ABCD的面积. 拓展延伸 返回目录 拓展延伸 解：由题意可得 = . ∵α = 60°，∴sin α = .∴sin β = . ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点， ∴AD = 2OD，∠D = 90°.∴∠OCD = β. ∴sin∠OCD = = sin β = . 在Rt△ODC中，设OD = x，OC = 3x， 由勾股定理得CD = = . 返回目录 拓展延伸 ∴tan∠OCD = = . ∵CD = 10，∴OD = 10 × = . ∴AD = 2OD = . ∴矩形ABCD的面积 = AD·CD = × 10 = （cm2）. 返回目录 类型三 项目式学习 对接中考 拓展延伸 返回目录 6. 项目式学习 项目主题：优化大豆种植密度. 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物 之一，大豆在我国已有五千多年的栽培历史，古称“菽”.某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系. 研究步骤： （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； 对接中考 返回目录 （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论. 试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： 对接中考 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x/株 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y/粒 51 46 41 36 31 26 返回目录 （1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y与x的函数关系式为 （30 ≤ x ≤ 80）. （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植数量的方案. 对接中考 一次 y = -0.5x + 66 解：设单位面积试验田中大豆的总产量为w粒. 根据题意得w = xy = -0.5x2 + 66x. ∵-0.5 < 0，∴w有最大值. ∵30 ≤ x ≤ 80， ∴当x = - = 66时，w最大. ∴当单位试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大. 返回目录 7. 项目式学习 问题情境 中国古代运用“土圭之法”判别四季.如图1，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索. 方案设计 如图2，在示意图中，杆AB垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD． 拓展延伸 返回目录 问题解决 已知∠ACB = 73.4°，∠ADB = 26.6°，求春分和秋分时日影长度． （结果精确到0.1尺.参考数据：sin 26.6° ≈ 0.45，cos 26.6° ≈ 0.89，tan 26.6° ≈ 0.50，sin 73.4° ≈ 0.96，cos 73.4° ≈ 0.29，tan 73.4° ≈ 3.35） 拓展延伸 返回目录 拓展延伸 解：在Rt△ABC中，AB = 8，∠ACB = 73.4°， ∴tan 73.4° = ≈ 3.35.∴BC = ≈ 2.4. 在Rt△ABD中，AB = 8，∠ADB = 26.6°， ∴tan 26.6° = ≈ 0.50.∴BD = = 16.0. 根据题意得，春分和秋分时日影的长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，即 = 9.2（尺）， ∴春分和秋分时日影长度为9.2尺． 返回目录 $$