第21节 矩形与菱形课件 2025年中考数学一轮考点精讲（广东）

第21节 矩形与菱形 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 —— 理解矩形和菱形的概念，以及它们之间的关系 —— 探索并证明矩形和菱形的性质定理和判定定理 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 矩形与菱形 一、矩形（5年2考） 概念 二、菱形（5年3考） 边、角、对角线、对称性、直角三角形斜边中线的性质 性质 判定 角、角 + 边、对角线 概念 边、角、对角线、 对称性、面积计算 边、边 + 角、对角线 性质 判定 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、矩形（5年2考） 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 矩形的性质与判定： 名称 文字语言 几何语言 性质 边 对边平行且相等 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，AB∥CD ，AD = BC，AB = CD 角 四个角都是直角 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90° 对角线 对角线互相平分且相等 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = CO，BO = DO，AC = BD 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴是直线EG，FH（E，F，G，H分别为矩形ABCD各边中点）；对称中心是点O 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 名称 文字语言 几何语言 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，O为AC的中点，∴OB = OA = OC = AC 判定 角 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（概念） ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 90 ° （条件不唯一），∴四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD 是平行四边形，AC = BD， ∴四边形ABCD是矩形 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. AB = AD B. AC⊥BD C. AC = BD D. ∠ACB = ∠ACD C 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 （1）四边形ABCD为 答案答案 . （2）若AB = 6，BC = 8，点E，F分别为AO和AD的中点，则AO =答案，EF =答案. （3）若AB = AO = 2 ，则∠ADB =答案答案，S四边形ABCD =答案答案. 矩形 5 2.5 30° 4 2. 如图，　ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OAD = ∠ODA. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、菱形（5年3考） 1. 概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2.菱形的性质与判定： 名称 文字语言 几何语言 性质 边 四条边相等，对边平行 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC = CD = AD，AD∥BC，AB∥CD 角 对角相等 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC 对角线 对角线互相平分且垂直 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA = OC，OB = OD，AC⊥BD 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴是直线AC，BD；对称中心是点O 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 名称 文字语言 几何语言 判定 角 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ，AB = AD （条件不唯一）， ∴四边形ABCD是菱形 四条边相等的四边形是菱形 ∵AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 面积公式 ： （1）S菱形ABCD = CD·AE. （2）S菱形ABCD = AC·BD，即菱形的面积等于对角线乘积的一半. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 3. 【教材变式】 （母题源自人教版八下P60题6）如图1，AE∥BF，AC平分∠BAD交BF于点C，BD平分∠ABC交AE于点D，交AC于点O，连接CD. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 （1）四边形ABCD为 答案答 . （2）当OC = 3，OB = 4时. ①四边形ABCD的周长为 案答 ，面积为 案答 . ②如图2，点P为AB的中点，连接OP，则OP的长为 案答 . ③如图3，过点A作AG⊥CD于点G，则AG的长为 案答 . 菱形 20 24 2.5 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1　矩形的性质和判定 1. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E， ∠BDE = 15°，连接OE，则∠COE = 答案答 . 75° 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 2. 【教材变式】 （母题源自北师大版九上P17例题4）如图，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的一条角平分线. （1）如图1，若AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AB = AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （1）如图1，若AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.求证：四边形ADCE是矩形. ∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠DAC = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM. ∴∠DAE = ∠DAC + ∠CAN = （∠BAC + ∠CAM） = × 180° = 90°. ∵CE⊥AN，∴∠AEC = 90°. ∴∠ADC = ∠DAE = ∠AEC = 90°. ∴四边形ADCE是矩形. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （2）如图2，若点E是△ABC外一点，连接AE，DE，CE，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形. 证明:∵AB = AC，AD平分∠BAC，∴BD = CD. ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD = AE，AE∥CB.∴AE = CD. ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB = DE. ∵AB = AC，∴AC = DE.∴四边形ADCE是矩形. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点2　菱形的性质和判定 3. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若BD = 6，则四边形CODE的周长是 答案答 . 12 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 4. 【教材变式】 （母题源自北师大版九上P7题3）如图1，将平行四边形纸片ABCD对折，使点A与点C重合，展开后，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.连接AF，CE，EF. （1）求证：四边形AFCE是菱形. 证明：由折叠可知AF = CF，AE = CE，∠AEF = ∠CEF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEF = ∠CFE. ∴∠CEF = ∠CFE.∴CF = CE.∴AE = CE = CF = AF. ∴四边形AFCE是菱形. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （1）求证：四边形AFCE是菱形. 证明：另解　如答图1，连接AC交EF于点O. 由折叠可知，EF垂直平分AC， 则OA = OC，EF⊥AC. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO. ∴△AEO ≌ △CFO（AAS）. ∴OE = OF.又∵OA = OC， ∴四边形AFCE为平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形. 你还有哪些方法证明四边形AFCE 是菱形？提示：邻边相等的平行四边形是菱形等. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （2）如图2，在四边形AFCE中，连接AC， 过点E作EP⊥AE交AC于点P，点G为CF上一点， 连接PG，当∠CPG = 45°时，求证：EP + CG = CE. 证明：如答图2，连接FP， ∵四边形AFCE为菱形， ∴∠FAP = ∠EAP，AF = AE = CF = CE. 思路引导 结合菱形的性质可知，若证EP + CG = CE，则证明EP = FG 即可，根据菱形的对称性，连接 FP，则FP = EP，所以只需证FP = FG即可. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 又∵AP = AP，∴△AFP ≌ △AEP（SSS）. ∴FP = EP，∠AFP = ∠AEP = 90°. ∵∠CPG = 45°，∴∠FPG = 180° - ∠CPG - ∠APF = 135° - ∠APF. ∵AF = CF，∴∠FAC = ∠FCA. ∴∠FGP = ∠GCP + ∠CPG = ∠FAC + 45° 　　 = （90° - ∠APF） + 45° = 135° - ∠APF. ∴∠FPG = ∠FGP.∴FP = FG = EP.∴CE = CF = FG + CG = EP + CG. （2）如图2，在四边形AFCE中，连接AC， 过点E作EP⊥AE交AC于点P，点G为CF上一点， 连接PG，当∠CPG = 45°时，求证：EP + CG = CE. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 6.在边AD上取一点E，使BE = BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 答案答 . 2 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2. （2024广西）如图，两张宽度均为 3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形 ABCD 的周长为答案答 cm. 8 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O.过点A作AF⊥BD于点F，若∠CAF = 2∠ACB，则∠BAF = 答案答 . 22.5 ° 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为（-4，0），点D的坐标为（-1，4），反比例函数y = （x > 0）的图象恰好经过点C，则k的值为 答 . 16 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. （2024四川广元）如图，已知矩形ABCD. （1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如答图1所示，直线EF即为所求. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （2）连接AE，CF.求证：四边形AFCE是菱形. 证明：如答图2，设EF与AC的交点为O， ∵直线EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE = CE，OA = OC. ∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB. ∴∠ECO = ∠FAO，∠CEO = ∠AFO. ∴△OCE ≌ △OAF（AAS）.∴OE = OF. ∴四边形AFCE为平行四边形. 又∵AE = CE，∴四边形AFCE是菱形. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 解：四边形GEHF为矩形.证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB = CD， ∠BAD = ∠BCD，∠B = ∠D. ∴∠DAE = ∠AEB，∠DFC = ∠BCF. ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠BAE = ∠DAE = ∠BAD，∠BCF = ∠DCF = ∠BCD. 素养提升 6. 如图，在　ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠BCD的平分线CF交AD于点F，G，H分别是AE，CF的中点，连接FG，EH，EF. （1）若EF = AF，请判断四边形GEHF的形状，并进行证明. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 ∴∠BAE = ∠AEB = ∠DCF = ∠BCF.∴AE∥CF. ∵∠BAE = ∠DCF，AB = CD，∠B = ∠D， ∴△ABE ≌ △CDF（ASA）.∴AE = CF. ∵G，H分别为AE，CF的中点， ∴GE = AE，FH = CF.∴GE = FH. ∴四边形GEHF是平行四边形. ∵EF = AF，G为AE的中点，∴GF⊥AE.∴∠FGE = 90°. ∴四边形GEHF是矩形. 素养提升 （1）若EF = AF，请判断四边形GEHF的形状，并进行证明. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 （2）当四边形GEHF为菱形时，EF与AF满足的条件为 答案答案. EF⊥AF 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 1 2 3 4 2 8 22.5 ° 16 5 （1）略 6 （1）略 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$