第2节 整式与因式分解 课件 2025年九年级中考数学一轮考点精讲（广东）

第2节 整式与因式分解 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 ·了解代数式 ·了解整数指数幂的意义和基本性质 ·了解乘法公式的几何背景 ·理解用字母表示数的意义 ·理解整式的概念 ·理解乘法公式 ·能用代数式表示简单的数量关系 ·能进行简单的整式运算 ·能用提公因式法、公式法进行因式分解 ·能利用公式进行简单的计算和推理 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 整式与因式分解 一、代数式 （5年3考） 列代数式 二、整式及其运算 （5年4考） 三、因式分解 （5年2考） 定义 代数式求值——直接代入求值、整体代入求值、化简求值 整式的相关概念——单项式、多项式 整式的运算 定义 方法——提公因式法、公式法、*十字相乘法 整式的加减法、幂的运算、整式的除法、整式的混合运算 整式的乘法　　　　　乘法公式 特殊形式 互逆变形 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、代数式（5年3考） 1. 定义：用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有字母和运算符号的式子表示出来. 3. 代数式求值：（1）直接代入求值. （2）整体代入求值. （3）化简求值. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 若m = 2，则3m - 1 = 　　. 2. 【教材变式】（母题源自北师大版七上 P92 题 3）一个长方形的宽为a cm，长比宽的 2 倍多1 cm，则这个长方形的周长为　　　　cm. 5 （6a + 2） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、整式及其运算（5年4考） 单项式 定义：表示数与字母的乘积的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 a，，-5a3b 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 1. 整式的相关概念： 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式. 其中，每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项 次数：一个多项式中，次数 　 的项的次数叫做这个多项式的次数 续表 最高 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 整式的加减法 整式加减的实质是先去括号，再合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项 幂的运算 （1）同底数幂的乘法：am ⋅ an = 　　　（a ≠ 0，m，n都是整数） （2）幂的乘方：(am )n = 　　（a ≠ 0，m，n都是整数） （3）积的乘方：(ab)m = 　（a ≠ 0，m是整数） （4）同底数幂的除法：am ÷ an = 　　　（a ≠ 0，m，n都是整数） （5）负指数幂：a-p = 　　 (a ≠ 0, p是正整数) （6）零指数幂：a0 = 　 ( a ≠ 0) 2. 整式的运算： am + n amn ambm am - n 1 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘：-2am ·3an = 　　 　. （2）单项式与多项式相乘：m( a + b + c) = 　 　 　. （3）多项式与多项式相乘：(a + b)( m + n) = 　 　 　. （4）平方差公式：( a + b)( a - b) = 　　 （几何背景如图1） （5）完全平方公式：( a ± b) 2 = 　 　 　（几何背景如图2） -6a2mn 续表 ma + mb + mc am + an + bm + bn a2 - b2 a2 ± 2ab + b2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 整式的除法 （1）单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 （2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加 整式混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 续表 注意：数的运算律在整式的运算中依然成立. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 3.（2024四川内江）下列单项式中，ab3的同类项是 （　　） A. 3ab3 B. 2a2b3 C. -a2b2 D. a3b 4.（2022广东改编）单项式3xy的系数为　 ，次数为　 . 5. 计算：（1）a2 - 3a2 = 　 . （2）7xy2·xy = 　 . （3）（-a）5 ÷ a3 = 　 . （4）-2x（2y - 3） = 　 . （5）（2m - 1）（2m + 1） = 　 . （6）（2a - 1）2 = 　 . （7）（-2n - 1）（3n - 4） = . A 3 2 -2a2 7x2y3 -a2 -4xy + 6x 4m2 - 1 4a2 - 4a + 1 -6n2 + 5n + 4 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 三、因式分解（5年2考） 1. 定义：把一个 化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 2. 方法 提公因式法：am + bm + cm = m（　　　　） 多项式 a + b + c 公式法 a2 - b2 = . (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = . (a ± b)2 *十字相乘法：x2 +（p + q）x + pq = . ( x + p) ( x + q) 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 6. 因式分解： （1）（2020广东）xy - x = . （2）（2023广东）x2 - 1 = . （3）（2024江苏盐城）x2 + 2x + 1 = . x（y - 1） (x + 1)(x - 1) (x + 1)2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1　代数式 1. 【教材变式】（母题源自人教版七上P59题1）某品牌洗衣机标价a元，打八折出售，则售价为 元. 2.（2020广东）已知x = 5 - y，xy = 2，计算3x + 3y - 4xy = . 3.（2024云南）按一定规律排列的代数式2x，3x2，4x3，5x4，…，则第n个代数式为 . 0.8a 7 （n + 1）xn 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 4. 【教材变式】（母题源自人教版七上 P70题 9）下图是由完全相同的小等腰梯形拼成的，观察下图并填表（单位：cm）： 小等腰梯形个数 1 2 3 4 5 … n 图形周长 5a 8a . . . … . (3n + 2)a 11a 14a 17a 拓展问　如果有 100个这样的小等腰梯形，则所拼成图形的周长是 cm ，每一个小梯形的面积是 cm2. 302a a2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点2　整式及其运算 5.（2024广东）下列计算正确的是 （　　） A. a2·a5 = a10 B. a8 ÷ a2 = a4 C. -2a + 5a = 7a D.（a2）5 = a10 6.（2020广东）如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项，那么m + n = . 7.（2021广东）已知9m = 3，27n = 4，则32m + 3n = . 8.（2024四川乐山）已知a - b = 3，ab = 10，则a2 + b2 = . D 4 12 29 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 9. 计算： （1）5a2 + 2a - 1 - 4（3 - 8a + 2a2）. 解：原式 = 5a2 + 2a - 1 - 12 + 32a - 8a2 = -3a2 + 34a - 13. （2）4（x + 1）2 - （2x + 5）（2x - 5） 解：原式 = 4（x2 + 2x + 1） - （4x2 - 25） = 4x2 + 8x + 4 - 4x2 + 25 = 8x + 29. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 10.（2020广东）先化简，再求值：（x + y）2 + （x + y）（x - y） - 2x2，其中x = ，y = . 解：原式 = x2 + 2xy + y2 + x2 - y2 - 2x2 = 2xy. 当x = ，y = 时，原式 = 2 . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 11. 【新课标 代数推理】　观察等式：32 - 12 = 8 × 1，52 - 32 = 8 × 2，72 - 52 = 8 × 3，92 - 72 = 8 × 4，… （1）写出192 - 172的结果. （2）按上面的规律归纳一个一般结论（用含n的等式表示，n为正整数）. 解：192 - 172 = （19 + 17）×（19 - 17） = 36 × 2 = 72. 解：由题意可得（2n + 1）2 - （2n - 1）2 = 8n. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （3）请运用所学知识，推理说明（2）中结论是正确的. 证明：∵（2n + 1）2 - （2n - 1）2 = [（2n + 1）+（2n - 1）][（2n + 1）-（2n - 1）] = （2n + 1 + 2n - 1）（2n + 1 - 2n + 1） = 4n × 2 = 8n， ∴（2n + 1）2 - （2n - 1）2 = 8n是正确的. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点3　因式分解 12. 因式分解： （1）（y + 2x）2 - （x + 2y）2. 解：原式 = ［（y + 2x） + （x + 2y）］［（y + 2x） - （x + 2y）］ = （3x + 3y）（x - y） = 3（x + y）（x - y）. 因式分解的结果需要检查是否分解彻底. （2）4x3 - 4x2 + x. 解：原式 = x（4x2 - 4x + 1） = x（2x - 1）. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1 2 3 4 5 6 因式分解： （1）2a2 - 4a + 2 = . （2）x2 + 2x - 3 = . 2（a - 1）2 （x + 3）（x - 1） 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 2.（2024广东广州）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U = IR1 + IR2 + IR3.当R1 = 20.3，R2 = 31.9，R3 = 47.8，I = 2.2时，U的值为 . 220 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 3. 如图，我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理.观察下列图形，找出可以推出的代数公式，并将其对应关系的序号填在横线上. 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 公式①：（a + b + c）d = ad + bd + cd. 公式②：（a + b）（c + d） = ac + ad + bc + bd. 公式③：（a - b）2 = a2 - 2ab + b2. 公式④：（a + b）2 = a2 + 2ab + b2. 图1对应公式 　　，图2对应公式 　　，图3对应公式 　　，图4对应公式 　　. ① ② ④ ③ 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 4.（2024甘肃）先化简，再求值：[ ( 2a + b)2 - ( 2a + b) ( 2a - b) ] ÷ 2b，其中a = 2，b = -1. 解：原式 = ［4a2 + 4ab + b2 -（4a2 - b2）］ ÷ 2b = （4a2 + 4ab + b2 - 4a2 + b2） ÷ 2b = （4ab + 2b2） ÷ 2b = 2a + b. 当a = 2，b = -1时，原式 = 2 × 2 - 1 = 3. 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 5. 【教材变式】（母题源自北师大版七上 P89题 5）如图 1、图 2，某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形（图中阴影部分表示可折叠部分）.已知折叠前圆形桌面的直径为a m. 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 （1）如果一块正方形桌布的边长为a m，并按图3所示把它铺在折叠前的圆形桌面上，计算桌布垂下部分的面积. （2）如果按图4所示把这块桌布铺在折叠后的正方形桌面上，计算桌布垂下部分的面积. 解：桌布垂下部分的面积 = a2 - π = a2（m2） 解：由题可知，圆形桌面折成正方形后其边长为 a m， 桌布垂下部分的面积 = a2 - = a2（m2）. 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 6. （2024河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132 × 23，运算结果为 3 036.图 2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是 （　　） A. 20左边的数是16 B. 20右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6 000 D. 运算结果可以表示为4 100a + 1 025 D 素养提升 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 D （1）2（a - 1）2 （2）（x + 3）（x - 1） 220 ① ② ④ ③ 略 略 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$