2025年中考数学一轮考点精讲课件 第19节 锐角三角函数及其应用 （广东）

第19节 锐角三角函数及其应用 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 ·知道 30°，45°，60°角 的三角函数值 ·利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A， cos A，tan A） ·能用锐角三角函数 解直角三角形； ·能用锐角三角函数 的相关知识解决一些简单的实际问题 —— 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 锐角三角函 数及其应用 一、锐角三角函数 （5年5考） 应用常识 二、解直角三角形 （5年5考） 三、三角函数的实际应用（5年1考） 定义、常用关系 实际背景下解直角三角形的一般策略 定义：正切tan、正弦sin、余弦cos 特殊角的三角函数 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、锐角三角函数（5年5考） 1. 定义：sin A = = cos A = = tanA = = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 特殊角的三角函数值 α sin α cos α tan α 30° 1111 45° 1 60° 1111 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P4题 1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 12，AC = 5，则下列三角函数表示正确的（ ） A A. sin A = B. cos A = C. tan A = D. tan B = 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 2. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P8例 1）计算： （1）sin 30° + cos 45° = . （2）sin 45° + sin 60° = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、解直角三角形（5年5考） 1. 解读：在直角三角形的6个元素（三条边，三个内角）中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可解. （ 1 ）三边关系：a2 + b2 = c2 （勾股定理） （ 2 ）两锐角关系 ：∠A + ∠B = 90° （3）边角关系：sin A = cos B = ，cos A = sin B = ，tan A = 111111 （4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 （5）面积关系：S = ab = ch 2. 常用关系 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 3. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下 P17题 2）在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. （1）a = 19，c = 19，则b = ，∠A = ，tan B = . （2）a = 3，∠B = 30°，则tan A = ，tan B = ， tan A·tan B = ，c = . 19 45° 1 1 2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 三、三角函数的实际应用（5年3考） 仰角、俯角 坡角、坡度（坡比） 方向角 应用常识： 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 坡角为α， 坡度（坡比）i = 1111 = tan α 点A在点O的北偏东 方向点B在点O的 方向点C在点O的111111111111111111 方向 60° 北偏西20° 南偏东45°（或东南） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 4. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P4随堂练习题2）如图，某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为100 m，则山的坡度为 . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1 锐角三角函数 1. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P69题6）如图，在△ABC中，∠C = 90°，点M在边BC上，MN⊥AB. （1）若BN = 3，MN = 4，则sin B = 111 1，cos B = 111 1 ，tan B = 111 1. 利用相似的直角三角形探索并理解三角函数是本题的关键. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）若AB = 10，BC = 5，则sin∠BMN = 11 1 ， cos∠BMN = ，tan∠BMN = . （3）若cos∠BMN = ，则sin B = ，sin A = ，tan A = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 如图，在 4 × 4的正方形网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A，B，D在⊙O 上，点E是线段CD与⊙O的交点.则tan∠AED的值为 . 1 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则tan A = ，sin∠AOB = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点2 解直角三角形 4. 【教材变式】 （母题源自人教版九下P85题14） （1）如图1，在△ABC中，若tan B = ，cos C = ，AC = ，则BC = . （2）如图2，在△ABC中，∠B = 30°，BC = 10，∠ACB = 135°，则点A到直线BC的距离为 . 3 非直角三角形是否可解呢？ 提示：结合已知角作高，将已知角放到直角三角形中. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 方法总结 实际背景下解直角三角形的一般策略 解题步骤 图示 解题策略 （1）直接求解：在构造的直角三角形中，已知AB或AC时，可直接求解. （2）列方程式求解：已知BC的长度时，一般设AD的长度为x（可利用比例关系设未知数），然后用已知角的三角函数表示出其他边长，根据高都为AD，列方程解决问题. “背靠背”型：已知两个内角，内部作高 “子母”型：已知一个内角一个外角，外部作高 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点3 锐角三角函数的应用 5. 【教材变式】 （母题源自人教版九下P78题7）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面成 60°角，则金字塔原来高度为 m. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点3 锐角三角函数的应用 6. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P11题6）公园中一处台阶的形状如图所示，其中线段AB = BC = 6 m，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，如果每一级台阶的高度不超过20 cm，那么这段台阶数最少为 . （最后一级台阶的高度不足 20 cm，按一级台阶计算，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈ 1.73） 37 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 7. 【教材变式】 （母题源自北师大版九下P21题4）如图，一艘货轮以36 n mile/h的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行40 min后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离. （参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73.结果精确到0.01 n mile） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵一艘货轮以36 n mile/h的速度航行，向北航行40 min后到达C点， ∴AC = 36 × = 24. ∵∠A = 45°，∠1 = 75°， ∴∠ACD = 45°，∠B = 30°. ∴DC = AC × sin 45°= 24 × = . ∴BC = 2CD = ≈ 33.84（n mile）. 答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.84 n mile. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A = 70°，∠C = 45°，AB = 60，则点A到BC的距离为 . （用三角函数表示） 1 2 3 4 5 60sin 65° 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2. 如图，sin β = ，tan α = . 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于 . 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度AB.数学小组设计的方案如图所示，他们在点 C处用高 1.5 m 的测角仪CD测得塔顶A的仰角为 37°，然后沿CB方向前行 7 m到达点F处，在F处测得塔顶 A的仰角为 45°.请根据他们的测量数据求塔高 .（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75，sin 53° ≈ 0.80，cos 53° ≈ 0.60，tan 53° ≈ 1.33） 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 解：如答图，延长DE交AB于点G. 四边形GBFE和四边形EFCD是矩形. ∴BG = CD = EF = 1.5，DE = CF = 7. 在Rt△AGE中，∠AEG = 45°，∴tan 45° = = 1.∴AG = GE. 设GE = AG = x m，∵DE = 7，∴GD = EG + DE = x + 7. 在Rt△AGD中，∠ADG = 37°，∴tan 37° = ≈ 0.75.∴AG = 0.75GD. ∴x = 0.75（x + 7），解得x = 21. ∴AB = AG + GB = 21 + 1.5 = 22.5（m）. ∴塔高AB约为22.5 m. 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. 如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢ABCD的长AB = 4 m，卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转. A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为 0.7 m，货厢对角线 AC，BD的交点 G可视为货厢的重心，测得∠CAB = 23.6°，假设该车在水平地面上进行卸货作业.卸货时，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故 .若 tan∠BAN = 1，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由. （参考数据：sin 23.6° ≈0.40，cos 23.6° ≈ 0.92，tan 23.6° ≈ 0.44，sin 68.6° ≈ 0.93，cos 68.6° ≈ 0.36，tan68.6° ≈ 2.55） 素养提升 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 解：该货车不会发生事故，理由如下， 如答图，分别过点G，C，B作GE⊥AN，CF⊥AN，BH⊥AN，垂足分别为E，F，H， 则∠AEG = ∠AFC = 90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴AG = GC = AC. 在Rt△ABC中，AC = ≈ = , ∴AG = AC = . 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 在Rt△ABH中，tan∠BAH = 1， ∴∠BAH = 45°. ∴∠GAE = ∠CAB + ∠BAH = 23.6°+ 45°= 68.6°. 在Rt△GAE中， AE = AG·cos∠GAE ≈ ×0.36 = ≈ 0.78. ∵0.78 > 0.7， ∴货车不会发生事故. 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 1 2 3 60sin 65° 4 略 5 略 1 2 3 4 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$