第18节 相似三角形 课件 2025年九年级中考数学一轮考点精讲（广东）

第18节　相似三角形 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 ·了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段、黄金分割、相似多边形、相似比、图形的位似等概念 ·了解相似三角形的性质定理、判定定理 ·*了解相似三角形判定定理的证明 ·会 利 用图 形的 相 似解 决简 单 的实 际问题 ·掌握基本事实：两条 直 线 被 一 组 平行线所截，所得的对应线段成比例 —— 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 一次方程（组）及其应用 一、比例线段 （5年2考） 二、相似三角形 （5年5考） 线段的比 比例的性质 平行线分线段成比例 三、位似图形 相关概念 解法 黄金分割 特例 “A”字形和“8”字形相似模型总结 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、比例线段（5年2考） 1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD = m∶n或 = . 2. 比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若a∶b = c∶d或，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 4. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC > BC），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 ≈ 0.618. 3. 比例的性质 （1）如果 ，那么（abcd ≠ 0） （2）如果（b + d + … + n ≠ 0），那么 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 5. 平行线分线段成比例： （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 ，即有，，等. （2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 成比例 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 下列各组线段中，是成比例线段的是（　　） 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm 2 cm，5 cm，0.6 cm，8 cm C. 3 cm，9 cm，6 cm，18 cm D. 1 cm，2 cm，3.5 cm，4 cm 2. 若，则 . C 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 3. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DE分别交l1，l2，l3于点D，E，F. 若AB = 3，BC = 5，DE = 4，则EF =   . 4. 已知线段AB = 4，点P是线段AB的黄金分割点（AP > BP），则线段AP的长为 . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、相似三角形　5年5考 1. 性质： （1）相似三角形的对应角 ，对应边 （对应边的比叫做相似比）. （2）相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比. （3）相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 . 相等 成比例 相似比 相似比的平方 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 判定： （1）两角分别相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且 的两个三角形相似. （3）三边成比例的两个三角形相似. （4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 .（人教版独有） 夹角相等 相似 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 5. 如图，AD，BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　） A. AB∥CD B. ∠C = ∠B C. D. 6. 如图，△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则S△ADE∶S△ABC = . D 1∶4 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 三、位似图形 1. 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′ = k·OP（k ≠ 0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个位似多边形的相似比. 2. 性质： （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 . （2）位似图形对应顶点的连线或延长线相交于一点. （3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k ≠ 0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 . 相似比 |k| 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 7. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶AD = 1∶2，则AC∶DF = . 1∶3 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 8. △ABC的两个顶点A，B都在x轴的上方，点C的坐标是（0，0），以点C为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C，若△ABC与△A′B′C的位似比是1∶2，设点B的横坐标是3，则点B的对应点B′的横坐标是 . -6或6 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1 平行线分线段成比例 1. 如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，那么下面各等式中，错误的是（　　） A. BD∶DC = BE∶EA B. BD∶BC = AF∶AC C. BE∶EA = AF∶FC D. DF∶BA = DE∶CA D 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 如图，在△ABC中，BD∶DC = 5∶3，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，则BE∶EF的值为 . 点拨：如图析，过点D作DG∥AC交BF于点G，易证△AEF ≌ △DEG. ∵BD∶DC = 5∶3， ∴BG∶GF = 5∶3. 易得BE∶EF = （5 + 1.5）∶1.5 = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点2　相似三角形的性质与判定 3. 【教材变式】（母题源自人教版九下P58题11）如图1，在△ABC中，BC = 120，高AD = 60，正方形EFGH的顶点G，H在BC上，顶点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，设EF = x. 相似三角形对应高的比与相似比有什么关系呢？ 提示：相似三角形对应高的比等于相似比. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （1）求AN的长. 解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH = EF = x，∠HEF = ∠EHG = 90°，EF∥BC. 又∵AD是△ABC的高，∴∠HDN = 90°. ∴∠ANE = ∠ADH = 90°，四边形EHDN是矩形. ∴ND = EH = x. ∵EF∥BC，∴△AEF ∽ △ABC.∴. ∵BC = 120，AD = 60，∴AN = AD - ND = 60 - x. ∴，解得x = 40.∴AN = 60 - x = 20. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）如图2，将图1中的正方形EFGH改为矩形EFGH，求矩形EFGH的面积S与x之间的函数关系式，并求当x是多少时S最大，最大值为多少. 解：由（1）知，∴. ∴.∴. ∴. ∴当x = 60时，S最大，且最大值为1 800. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 “A”字形相似模型总结 方法总结 模型特点 两个三角形中有一组公共角∠A 模型展示 “A”字型（DE∥BC）： 已知：∠ADE = ∠B, 结论：△ADE∽△ABC 反“A”型： 已知：∠ADE = ∠C, 结论：△ADE∽△ABC “字母”型： 已知：∠ADC = ∠ACB 结论：△ADC∽△ACB， AC2 = AD·AB 模型总结 “A”字形相似模型有一个公共角,关键是找另一组等角或夹公共角的两边对应成比例 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 4. 如图，ABCD中，点E在AD上，且AE = 2DE，连接CE并延长交BA的延长线于点F. （1）判断AF与AB的数量关系，并说明理由. 你还有其他方法判断AF与AB的数量关系吗？ 提示：由相似易得 = ,得 = . = ,则AF = 2AB. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 4. 如图，ABCD中，点E在AD上，且AE = 2DE，连接CE并延长交BA的延长线于点F. （1）判断AF与AB的数量关系，并说明理由. 解：AF = 2AB.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB = CD. ∴∠DCE = ∠F，∠D = ∠EAF. ∴△DCE ∽ △AFE.又∵AE = 2DE, ∴.∴AF = 2DC.∴AF = 2AB. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）点是线段上一点，满足∠FCG = ∠FCD，CG交AD于点H. ①若AG = 1，FG = 4，求GH的长. 解：①∵AG = 1，FG = 4，∴AF = AG + FG = 5. 由（1）可知AF = 2AB = 2CD，∴AB = CD = . ∵AB∥CD，∴∠FCD = ∠F. ∵∠FCG = ∠FCD，∴∠F = ∠FCG.∴CG = FG = 4. ∵AG∥CD，∴∠GAH = ∠D，∠HGA = ∠HCD. ∴△HGA ∽ △HCD.∴. ∴. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 ②若，S△AHG = 4，则S四边形ABCH = . 点拨：由①易得，由AB = CD可得， 可证△GAH ∽△GBC，则， 因为S△AHG = 4，所以S△GBC = 49，所以S四边形ABCH = S△GBC - S△GAH = 49 - 4 = 45. 45 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 “8”字形相似模型总结 方法总结 模型特点 有一组隐含的等角（对顶角∠AOB = ∠DOC） 模型展示 “8”字型： 已知：∠A = ∠D， 结论：△AOB ∽ △DOC 反“8”字型： 已知：∠A = ∠C或 = ， 结论：△AOB ∽ △COD 模型总结 若题干未明确相似三角形对应顶点，需分∠A = ∠D或∠A = ∠C两种情况讨论 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点3　相似三角形的应用 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB = 1 m，AC = 1.6 m，AE = 0.4 m，那么CD为 m. 3 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 6. 小孔成像是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）的烛焰AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成的像为DC，经测量可知DC = 3 cm，蜡烛到小孔的距离为28 cm，光屏到小孔的距离为40 cm.此时烛焰AB的高为 cm. 2.1 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1 2 3 4 5 6 1. 生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2 m，则约为 m.（结果保留两位小数） 1.24 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2. 如图，∠ACB = 90°，CD是AB边上的高，若AD = 8，BD = 2，则CD的长是 . 5 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若△CDE的面积为12，则△DEF的面积为  . 4 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. （2023广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 . 15 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. 如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD = CA，过点D作DE∥CB，且DE = DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB = ∠CFA，CF = 1，求BF的长. 解：∵CD = CA，DE∥CB，∴AF = EF. ∴CF是△ADE的中位线.∴DE = 2. ∵DE = DC，CD = CA，∴AC = 2CF = 2. ∵∠CAB = ∠CFA，∠ACF = ∠BCA，∴△CAF ∽ △CBA. ∴，即.解得BC = 4.∴BF = BC - FC = 3. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 解：如答图，连接BD交AE于点O， 连接AC交BD于点G， ∵AD = CD = 2，AB = CB = 4， ∴BD垂直平分AC. 在Rt△ABD中，， 素养提升 6. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB = ∠DCB = 90°，AD = CD = 2，AB = CB = 4，在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF，求的值. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 ∵AB·AD = BD·AG，∴ × 4 × 2 = × 2·AG. 解得AG = .∴AC = 2AG = . ∵AE⊥BF，BD⊥AC，∴∠DBF + ∠EOB = 90°， ∠CAE + ∠DOA = 90°，∠CDB + ∠DCA = 90°. 又∵∠EOB = ∠DOA，∴∠DBF = ∠CAE. ∵∠DCB = 90°，∴∠ACE + ∠DCA = 90°. ∴∠ACE = ∠CDB.∴△BDF ∽ △ACE.∴. 素养提升 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 1 2 3 4 5 6 1.24 5 4 15 略 略 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$