2025年上海市长宁区中考数学一模试卷

2025年上海市长宁区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积(    ) A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 没有变化 D. 无法确定 2.在直角坐标平面xOy内有一点，那么射线OA与x轴正半轴的夹角的正弦值等于(    ) A. B. C. D. 3.如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 5.二次函数的图象一定不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列说法正确的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.如果，那么______. 8.已知线段，，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是______. 9.计算：______. 10.已知抛物线的开口向下，那么k的取值范围是______. 11.如果两个相似三角形的对应中线之比为2：3，那么它们的对应高之比为______. 12.已知点D、E分别在的边AB、AC上，如果，那么的值为______时， 13.如图，，如果，，，那么BE的长是______. 14.如图，点A位于点C的北偏西方向，点B位于点C的东北方向，线段AB为一条东西向的公路的一部分，如果点C到公路AB的距离是米，那么公路AB的长为______米结果保留根号 15.已知在中，，，那么的正弦值等于______. 16.如图，已知在中，高AD、BE相交于点F，，，那么EF的长为______. 17.如图，在矩形ABCD中，，点E在边AD上，联结BE，将沿着BE翻折，点A的对应点是点F，联结如果，那么点F到CD的距离为______. 18.如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点A、点D画AG、DH交边BC、边EF于点G、点H，如果AG分割得到的两个三角形与DH分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为______. 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： 20.本小题10分 如图，已知在中，中线AD、BE交于点G，交AD于点 如果，求GD和AF的长； 如果，那么______用含向量、的式子表示 21.本小题10分 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角.如图，在中，，是黄金角，点D在边AC上，且，联结 找出图中相等的线段并说明理由； 如果，求BD的长. 22.本小题10分 如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为接着让无人机飞到点E处，，CE与底板BR平行，测得米. 求坡道AB的坡度； 已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，，测得米，此时在点P处测得点F的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由. 参考数据：，， 23.本小题12分 如图，在中，点D、E分别在边AB、BC上，联结CD、AE交于点F，， 求证：； 如果点E是边BC的中点，求证： 24.本小题12分 如图，在直角坐标平面xOy内，以点C为顶点的抛物线经过点，且与y轴交于点B，对称轴为直线 求抛物线的表达式； 平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点 ①联结AB，如果点P在x轴上且新抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点D，如果点P在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点P的坐标. 25.本小题14分 已知在中，，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且，联结 如图1，如果，，求的余切值； 如图2，联结CD交EF于点G，如果，求的值； 如果，，，与相似，求AD的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍， 相似比为1：3， 面积的比为：1：9， 即：面积扩大为原来的9倍， 故选： 周长扩大为原来的n倍则面积扩大为原来的倍． 本题考查了相似三角形的性质的知识，解题的关键是了解面积比等于相似比的平方． 2.【答案】A  【解析】解：过点A作轴，垂足为B， 在中，由题意得：， ， ，， ， 故选： 构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：两个非零向量、方向相反，且， ， 故选： 由两个非零向量、方向相反，且，判断出可得结论． 本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的有关性质． 4.【答案】A  【解析】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 时，y随x的增大而增大， ， 故选： 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】C  【解析】解：， 抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线与y轴正半轴相交， 抛物线过一、二、四象限， 抛物线不经过第三象限． 故选： 根据二次函数图象与系数的关系解答即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 6.【答案】D  【解析】解：， ， 则不能得到，故不符合题意； B.， ， ， ∽， 不能得到，故不符合题意； C.， ， ， ∽， ， ，故不符合题意； D.， ， ， ∽， ， ，故符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定和性质判断即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：设， 则，， 代入得：， 故答案为： 设，得出，，再代入求出即可． 本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 8.【答案】  【解析】解：线段c是线段a，b的比例中项， ， 解得， 线段的长是正数， 故答案为： 根据线段比例中项的概念，得出a：：b，则，即可得到答案． 本题考查了比例线段，正确记忆如果a：：c，那么b叫做a，c的比例中项是本题关键． 9.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 利用平面向量的加法法则计算即可． 本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则． 10.【答案】  【解析】解：抛物线的开口向下， ， 故答案为： 由二次函数图象与系数的关系可得． 本题主要考查了二次函数图象的开口方向和二次项系数a的关系，，开口向上，，开口向下．然后解不等式就可． 11.【答案】2：3  【解析】解：两个相似三角形的对应中线之比为2：3， 它们的对应高之比为2：3， 故答案为：2： 根据相似三角形的性质进行判断即可． 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：时， 理由如下：如图： ， ， ， ， ， ∽， ， 故答案为： 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 13.【答案】  【解析】解：， ， ，，， ， ， 故答案为： 由直线，利用平行线分线段成比例，即可求出BE的长． 本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆相关知识点是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：过点C作于点D， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ， 即公路AB的长为 故答案为： 过点C作于点D，由题意得，，，在和中解直角三角形即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点A作于点H，过点C作于点 ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 如图，过点A作于点H，过点C作于点利用勾股定理求出AH，再利用面积法求出CK可得结论． 本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 16.【答案】  【解析】解：的高AD、BE相交于点F， 于点D，于点E， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为： 由的高AD、BE相交于点F，得，则，所以，求得，，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地求出BE的长及BF的长是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：过点F作于点P， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据题意画出图形，根据，，得出，再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果． 本题考查了矩形的性质，翻折变换折叠问题，掌握折叠的性质是解题的关键． 18.【答案】1  【解析】解：，，，， ，， ， 设，则， ， 作的角平分线AG，作，DH交EF于点H， ，， ，，，， ∽，∽， 作于点M，于点N，则， ， ，， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ， 故答案为： 设，则，作的角平分线AG，作，DH交EF于点H，则∽，∽，作于点M，于点N，则，，由，得，则，所以，同理，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19.【答案】解：原式   【解析】把锐角三角函数值直接代入进行计算即可． 本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的混合运算的方法是正确解答的关键． 20.【答案】  【解析】解：中线AD、BE交于点G， 点G为重心， ， ， ， ，， ， ； ， ， ，， ， 故答案为： 根据三角形的重心，得出比例式，即可求解； 先求出，即可得到 本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． 21.【答案】解：，理由如下： ，且是黄金角， 又， 点D是线段AC的黄金分割点， ， ， 由知， 又， ∽， 又，，   【解析】根据所给“黄金角”的定义，结合即可解决问题． 根据题意得出∽，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 本题主要考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质及解直角三角形，熟知黄金分割的定义及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】解：作，则，， ， ， ， 坡道AB的坡度为； ，，， ， 作， ， ， ， 货车可以进入该车库．  【解析】作，求出的值，即可得到坡道AB的坡度； 作，求出FI的长度即可判断． 本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 23.【答案】证明：， ， ， ∽， ， ； ，， ∽， ， ， ∽， ∽， ， ， ， 是BC中点， ， ，   【解析】证明∽，即可得到； 证明∽，得到，∽，得到，由此得到，再根据E是BC的中点，得出 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24.【答案】解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为 抛物线表达式为， 故， ①当点P在x轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过B点时，有， 解得：，舍去； 当的图象的对称轴左边图象过A点时，有， 解得：，舍去 故t的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点P为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又D点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知PE为DC中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即 时，满足题意． 故 ， ， 即，故， 故  【解析】先由对称轴求出b的值，再把A点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； ①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过B点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过A点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即 时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据 ，解出t的值即可得解． 本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 25.【答案】解：， ， ， ∽， ， ， ； 过点E作交CD于M，过点F作交CD于N， ，，， ， ， ， ； 由题意得，∽∽，需分类讨论， ①当时，易得∽，≌，即， 设， 由，得：， 解得：； ②当时，为等边三角形， 设，则，，， ，即， 解得； 综上所述：或  【解析】解：先证明∽，得出，即可得到； 过点E作交CD于M，过点F作交CD于N，得到，，，由此得出，再根据，得出，得到； 由题意得，∽∽，需分类讨论，①当时，②当时，两种情况进行讨论． 本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，分类讨论等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$