精品解析：广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷

桂林市2024~2025学年度上学期期末质量检测 高二年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 根据如下两组数据，下列说法正确的是（ ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A. 和呈正相关，和呈正相关 B. 和呈负相关，和呈负相关 C. 和呈正相关，和呈负相关 D. 和呈负相关，和呈正相关 4. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 56.5 B. 58 C. 60 D. 62.5 7. 设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 第二次取到3号球的概率为 B. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C. 在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D. 如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则 A. B. C. D. 估计该市数学成绩在区间的考生约645人 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 13. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________. 14. 如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下： 甲组： 乙组： （说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主） （1）根据以上数据完成下列列联表： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 男 总计 （2）是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知直线经过点，圆. （1）若经过圆的圆心，求的方程； （2）若与相切，求的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，点为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. （1）求的方程； （2）直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市2024~2025学年度上学期期末质量检测 高二年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，进而求得直线的斜率. 【详解】直线可化为， 所以斜率为 故选：A 3. 根据如下两组数据，下列说法正确的是（ ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A. 和呈正相关，和呈正相关 B. 和呈负相关，和呈负相关 C. 和呈正相关，和呈负相关 D. 和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【解析】 【分析】由正、负相关的概念得解. 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D 4. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程来求得的值. 【详解】由于双曲线的一条渐近线为， 所以. 故选：A 6. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 56.5 B. 58 C. 60 D. 62.5 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入回归直线即可求得结果. 【详解】由表格数据知：，， 由线性回归方程为， ，解得. 故选：C. 7. 设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率. 【详解】设椭圆另一焦点为，不妨设在第二象限，连接，根据题意，作图如下： 因为为等边三角形，即可得：， 则， 则， 由椭圆定义可知：， 故可得：． 故选：B 8. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 第二次取到3号球的概率为 B. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C. 在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D. 如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式判断AB的正误，根据条件概率判断C的正误，根据先分组再分配的方法计算后可判断D的正误. 【详解】选项A： 设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球” 则 ， 故A选项正确. 选项B： 设为“第二次取号球”，则 ， 故，， ， 所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确. 选项C：，所以C选项错误. 选项D： 将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个， 先将个球分成组，有，，三种分法. 对于，有种方法； 对于，有种方法； 对于，有种方法. 所以不同的分配方法共有种，D选项正确. 故选：C 【点睛】方法点睛： 对于复杂的概率问题，常常采用分情况讨论，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.通过确定不同的事件及其发生的概率，以及在不同条件下目标事件发生的概率，来计算最终的概率. 在计算不同的分配方法时，采用先分组再排列的策略.对于不同的分组方式，需要注意是否存在重复情况，合理运用组合数和排列数公式进行计算. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB 10. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 11. 在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则 A. B. C. D. 估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率. 对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 13. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解. 【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则 ， 则， 故答案为：0.8 14. 如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法确定截面，进而计算出截面的面积. 【详解】依题意可知，正方体的棱长为3， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由于，则，为上靠近的三等分点，所以. 因为平面，，，所以， 则平面的一个法向量为. 设平面与棱的交点为，设，则. 因为，即，可得. 又因为在棱上，，，代入可得， 解得，所以. 设平面与棱的交点为，设，则. 因为，即，可得. 又因为在棱上，，，代入可得， 解得，所以. 其中，，，. ，所以，所以平面与正方体的截面为四边形， ， ，，所以四边形是等腰梯形， 高为， 所以面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 对于立体几何中求截面相关问题，建立空间直角坐标系，利用向量法是一种有效的方法.通过向量垂直关系确定平面与立体图形棱的交点坐标，从而确定截面形状. 在确定截面形状后，利用向量判断直线平行关系，结合几何图形性质计算边长、高，进而求出面积. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下： 甲组： 乙组： （说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主） （1）根据以上数据完成下列列联表： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 男 总计 （2）是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 10 10 20 男 4 16 20 总计 14 26 40 （2）有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关【解析】 【分析】（1）根据已知条件填写列联表. （2）计算的值，进而作出判断. 【小问1详解】 根据题目所给数据，填写列联表如下： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 10 10 20 男 4 16 20 总计 14 26 40 【小问2详解】， 所以有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关. 16. 已知直线经过点，圆. （1）若经过圆的圆心，求的方程； （2）若与相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心坐标，由两点得斜率，由点斜式写出直线方程，化简即得； （2）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得参数，得直线方程. 【小问1详解】 由题意可得：圆的圆心为，半径， 因为直线经过点，则直线的斜率为， 所以l的方程为，即. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为与相切，则，解得， 所以的方程为 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，点为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得. （2）利用向量法来求得点到平面的距离. （3）利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接， 依题意，底面为直角梯形，平面， 以为原点，分别为轴，与平行的方向为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设平面与平面的夹角为， 则. 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【小问1详解】 设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； 【小问2详解】 随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. （1）求的方程； （2）直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 【答案】（1） （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然， 联立，消去得：， 由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且， 于是得，则， 双曲线的渐近线为， 联立，消去得：， 设，，则. 当直线的斜率不存在时，，故， 综上，点与点的横坐标的积为定值3. ②6 【解析】 【分析】（1）由右顶点求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程. （2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值，注意等号成立条件. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线右顶点，所以， 由，得：， 所以，则双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由①，且，， 因为，分别在双曲线的两条渐近线上，不妨取， 则，当且仅当时取等号， 所以△周长的最小值为6. 【点睛】方法点睛：求最值问题常见方法：1，利用基本不等式求最值；2利用函数单调性求最值；3，利用换元法求最值；4，数形结合求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $